吳璋，朱敏

（華東師范大學(xué)計(jì)算中心，上海200062）

一種改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型

吳璋，朱敏

（華東師范大學(xué)計(jì)算中心，上海200062）

通過統(tǒng)計(jì)具有圖像增強(qiáng)能力的局部區(qū)域信息，提出了一種改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型.結(jié)合非負(fù)核函數(shù)和具有矯正圖像誤差特點(diǎn)的灰度集群思想，定義了一種新的符號(hào)壓力函數(shù)（SPF），此函數(shù)能夠很好處理灰度不均勻、對象邊界不明確的問題.并且，引入懲罰項(xiàng)，確保水平集函數(shù)的適應(yīng)性.真實(shí)圖像和合成圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型收斂迅速，具有抗噪性，對分割目標(biāo)圖像敏感，能夠處理弱邊界的多目標(biāo)圖像.

一種改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型；弱邊界；灰度不均勻；圖像分割

0引言

在圖像分割中得到廣泛應(yīng)用的活動(dòng)輪廓模型（也稱為蛇模型）［1］具有閾值分割、邊緣檢測、區(qū)域生長等經(jīng)典圖像分割方法的特點(diǎn).其基本思想為：通過來自輪廓自身的內(nèi)部能量和圖像整體特征決定的外部能量的共同作用，能量遞減曲線在能量最小的原則下移動(dòng)，并最后停止于目標(biāo)邊緣附近，從而達(dá)到圖像分割的效果.活動(dòng)輪廓模型可分為兩類：基于邊緣［2］和基于區(qū)域的模型.由Chan和Vese［3-4］提出的基于Mumford-Shan模型的無邊緣活動(dòng)輪廓模型（CV模型）是一種基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型，不但能夠處理邊緣模糊、目標(biāo)離散狀的分割問題，而且可以分割缺乏明顯紋理特征的圖像.雖然，CV模型只能應(yīng)用于二相位圖像中，無法分割灰度不均勻圖像.

Zhang等人通過構(gòu)造一個(gè)具有輪廓內(nèi)外區(qū)域信息的符號(hào)壓力函數(shù)（SPF），提出了一種新型規(guī)劃水平集方法（SPF方法）［5］.該模型收斂迅速，可分割多目標(biāo)圖像，然而，該模型同樣存在CV模型不可分割灰度不均勻圖像的缺點(diǎn).為此，本文通過結(jié)合由Li等人提出的一種基于水平集的新型區(qū)域模型（ICP模型）［6］，利用灰度集群思想，重新構(gòu)造SPF函數(shù)，提出了一種改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型，通過更多的區(qū)域均值信息來確定邊界，從而達(dá)到分割灰度不均勻圖像的目的；并且，在分割弱邊界圖像時(shí)，本文模型比ICP模型［6］分割效果更佳.

首先，針對SPF函數(shù)的特點(diǎn)，本文模型靈活運(yùn)用核函數(shù)的控制作用，在運(yùn)用灰度集群性質(zhì)的同時(shí)兼顧其原有能量方程的意義，提出符合SPF函數(shù)性質(zhì)、具有灰度集群性質(zhì)的新型SPF函數(shù).然后，通過引入懲罰項(xiàng)，確保水平集函數(shù)的適應(yīng)性，從而達(dá)到水平集函數(shù)形式簡單、能夠矯正圖像誤差和分割灰度不均勻圖像的效果.本文結(jié)構(gòu)是：第1節(jié)，首先介紹并分析了CV模型的特點(diǎn)；然后對于CV模型中所存在的問題，在第2節(jié)中提出一種改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型；并且，通過第3節(jié)的實(shí)驗(yàn)和論證，充分闡述該模型在處理噪聲環(huán)境下圖像、凹陷邊界圖像、灰度不均勻圖像和弱邊界圖像的優(yōu)越性；最后，第4節(jié)做出總結(jié).

1背景

1.1CV模型

設(shè)?為圖像域，并且I：?→?為灰度級(jí)圖像.閉合輪廓C將圖像域?劃分為內(nèi)部和外部兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域，圖像I可通過分段光滑函數(shù)對圖像處理而得的水平集尋找理想最優(yōu)閉合輪廓獲得分割.該模型能量函數(shù)是

其中：L（C）為輪廓C的長度；等號(hào)右邊第二和第三項(xiàng)分別為內(nèi)部區(qū)和外部區(qū)的灰度值及標(biāo)量c1和c2的平方誤差，即實(shí)際圖像與“分片常數(shù)”圖像之間的偏離；μ≥0，λ1,λ2≥0為各項(xiàng)的權(quán)重系數(shù).只有當(dāng)輪廓C位于兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域邊界時(shí)，式（1）得到極小值，則圖像I可獲得全局最優(yōu)分割.

設(shè)u為根據(jù)閉合輪廓C構(gòu)造的水平集函數(shù)，即｛C|u（x）=0｝.并設(shè)u為內(nèi)正外負(fù)的符號(hào)距離函數(shù)，即閉合輪廓C將圖像域?分成兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域?1=｛u（x）＞0｝和?2=｛u（x）＜0｝.然后，采用變分水平集方法，先在式（1）中引入Heaviside函數(shù)H（u）=·(1+arctan).為Dirac函數(shù)，可以將式（1）改為水平集函數(shù)u的泛函，即

這樣，在函數(shù)u固定的條件下，相對于c1,c2最小化式（2），可得

即c1,c2分別是輸入圖像I在當(dāng)前曲線輪廓C的內(nèi)部和外部的平均值.在c1,c2固定的條件下，相對于u最小化式（2），則可得

于是根據(jù)CV模型，通過方程式（3）、（4）的聯(lián)立，求穩(wěn)態(tài)解，便得到分割結(jié)果.

1.2SPF方法

Zhang等人通過構(gòu)造一個(gè)具有輪廓內(nèi)外區(qū)域信息的符號(hào)壓力函數(shù)（SPF），提出了一種新型規(guī)劃水平集方法［5］，此后簡稱SPF方法.文獻(xiàn)［5］中SPF函數(shù)與水平集函數(shù)的演化方程為

其中，c1,c2與CV模型中式（3）相同.

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中提出的SBGRLS水平集方法，則可得到水平集函數(shù)的演化方程為

其中，氣球力α可以使輪廓線膨脹或者收縮，對抗輪廓線自然收縮的趨勢，其取值與具體應(yīng)用相關(guān).

該模型收斂迅速，可分割多目標(biāo)圖像，然而，該模型同CV模型都只運(yùn)用了圖像的全局區(qū)域信息，以致不能處理圖像的灰度不均勻情況.

1.3ICP模型及其灰度集群性質(zhì)

Li等人通過灰度集群思想（Intensity Clustering Property）［6-7］，提出了一種基于水平集的新型區(qū)域模型，簡稱ICP模型.

首先，設(shè)?為圖像域，并且I：?→?為灰度級(jí)圖像.定義J為理想分割圖像，包含內(nèi)部和外部兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域，且每個(gè)區(qū)域都有一個(gè)標(biāo)量c1和c2；b為緩慢變化的誤差算子；n為零均值的Gaussian噪音誤差.則圖像I可以表示為I=bJ+n.假定對于?y∈?，定義一個(gè)以r為半徑的y的鄰域Oy=｛x：|x-y|≤r｝，則圖像分割而得的區(qū)域?1,?2包含了每個(gè)點(diǎn)鄰域分割而得的區(qū)域Oy∩?i,i=1,2.所以，對于y的鄰域Oy中每一點(diǎn)x的誤差算子b（x）都接近b（y），從而對于?x∈Oy∩?i,i=1,2，b（x）J（x）≈b（y）ci.于是圖像I可以改為：對于?x∈Oy∩?i,i=1,2，I（x）=b（y）ci+n（x）.

因?yàn)槭剑?）通過以mi≈b（y）ci,i=1,2為標(biāo)量獲得分割，則mi≈b（y）ci,i=1,2為式（7）的關(guān)鍵作用因子.根據(jù)文獻(xiàn)［7］，非負(fù)核函數(shù)K：?2→［0,+∞）具有局部適應(yīng)性.由非負(fù)核函數(shù)K的性質(zhì)，當(dāng)x遠(yuǎn)離y時(shí)，K（y-x）會(huì)劇減，甚至趨近于0，則獲得公式

顯然，融入灰度集群性質(zhì)的εy具有局部適應(yīng)性，εy計(jì)算了｛Oy∩?1｝和｛Oy∩?2｝分割鄰域Oy時(shí)的能量，局部適應(yīng)性函數(shù)εy越小，分割效果越好.定義圖像域?的最優(yōu)分割為?1,?2，而局部適應(yīng)性函數(shù)εy是?中任意一點(diǎn)y的最小能量.基于以上分析，現(xiàn)可計(jì)算?中每一點(diǎn)y的εy，并且由ε=Rεydy，則可得到

該模型可分割灰度不均勻圖像，但分割弱邊界圖像時(shí)，仍存在一定的問題，出現(xiàn)過分割現(xiàn)象.

2一種改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型

把本來屬于一個(gè)整體的目標(biāo)分成了多個(gè)，即為過分割現(xiàn)象.SPF方法，通過定義SPF函數(shù)使輪廓停止在模糊邊緣的區(qū)域輪廓模型，避免出現(xiàn)過分割現(xiàn)象，具有全局選擇分割性.所以可通過構(gòu)造SPF函數(shù)以避免ICP模型所存在的過分割問題.

而基于區(qū)域的圖像分割方法的關(guān)鍵在于其特定的區(qū)域描述符，用以描述所分區(qū)域的不同灰度值.對于灰度有誤差的圖像，其灰度不均勻可能導(dǎo)致區(qū)域邊緣的灰度交疊問題，無法通過區(qū)域描述符給出較精確的分割邊界.因此，圖像分割應(yīng)該直接以像素的灰度為基礎(chǔ).但SPF方法和CV模型只運(yùn)用了圖像的全局區(qū)域信息，以致不能處理圖像的非同質(zhì)的情況.而ICP模型的灰度集群思想便是以像素的灰度為基礎(chǔ)的圖像分割，所以可將灰度集群思想融入SPF函數(shù)的構(gòu)造中，以解決灰度不均勻問題.

從CV模型的角度來看，式（9）相當(dāng)于式（1）等號(hào)右邊的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，是水平集演化的主要作用力，可將其表示為平方差公式，即

而2（c1-c2）只相當(dāng)于該速度項(xiàng)b（y）×K（y-x）（I（x）-b（y）（c1+c2）/2）的系數(shù)，不具有水平集演化的積極作用，則可只選取其速度項(xiàng)參與水平集演化方程的構(gòu)造.所以，水平集演化的主要作用力部分可得到Hamilton-Jacobi類型偏微分方程式

b（y）×K（y-x）（I（x）-b（y）（c1+c2）/2）＜0時(shí)，根據(jù)Hamilton-Jacobi類型偏微分方程式的演化規(guī)律，輪廓沿法向演化.反之，沿逆法向演化.此外，鑒于誤差算子b和非負(fù)核函數(shù)K的性質(zhì)，式（11）在演化迅速的同時(shí)，還可解決灰度不均一的問題.

于是，可重新構(gòu)造SPF函數(shù)為

該SPF函數(shù)分子和分母均利用了區(qū)域統(tǒng)計(jì)信息，具有基于區(qū)域模型的優(yōu)點(diǎn).鑒于c1,c2滿足min（I）≤c1,c2≤max（I），所以min（I）＜b（y）（c1+c2）/2＜max（I），式（12）符合SPF函數(shù)對于I（x）輪廓內(nèi)外符號(hào)相反的特點(diǎn)，可作為SPF函數(shù)使用，則相應(yīng)的水平集函數(shù)演化方程為

在水平集函數(shù)演化過程中，為了防止水平集函數(shù)出現(xiàn)陡坡或平坦的表面，傳統(tǒng)水平集方法會(huì)在迭代數(shù)次后，將水平集函數(shù)u初始化為符號(hào)距離函數(shù)，且u滿足|?u|≡1［5,8］.本模型因?yàn)镾PF函數(shù)對于I（x）輪廓內(nèi)外符號(hào)相反的特點(diǎn)，可進(jìn)行該簡易初始化.

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中給出的SBGFRLS水平集方法可知：消去式（13）中的規(guī)則項(xiàng)div（?u/|?u|）|?u|，可以擴(kuò)大水平集函數(shù)捕獲到的目標(biāo)邊界范圍，并且簡化計(jì)算量.但由于為了確保水平集函數(shù)u的適應(yīng)性，可通過定義懲罰項(xiàng)［2］取代div（?u/|?u|）|?u|項(xiàng)，即懲罰項(xiàng)為

該項(xiàng)可表示水平集函數(shù)u和符號(hào)距離函數(shù)的偏差.根據(jù)文獻(xiàn)［9-10］可知，用|?u|代替δ（u）能夠增大作用力范圍，于是，結(jié)合式（2）可獲得能量方程

其中，權(quán)重系數(shù)μ≥0，ν＞0.

此時(shí)，式（15）等號(hào)右邊的第一和第四項(xiàng)已經(jīng)運(yùn)用了局部區(qū)域信息，并且比邊界模型具有更廣泛的目標(biāo)邊界捕獲范圍，則可去除?spfKb（I（x））·?u項(xiàng).于是，包含了SPF函數(shù)和懲罰項(xiàng)的水平集函數(shù)演化方程可簡化為

最后，選取Gaussian核函數(shù)為

其中：a為歸一化常數(shù)，于是K（u）=1，而σ為Gaussian函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差；ρ為鄰域Oy的半徑.注意，鄰域Oy的半徑ρ要根據(jù)灰度不均勻的程度選取.c1,c2和b的計(jì)算公式是

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1實(shí)驗(yàn)條件與算法步驟

所有實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行環(huán)境是Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU E7400，Windows 7旗艦版2.80 GHz 4.00 GB RAM PC，MATLAB 2013 a.以下實(shí)驗(yàn)中，SPF方法和改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型的參數(shù)均選取為μ=0.001×2552，ν=1，步長為Δt=0.1，α的取值根據(jù)具體應(yīng)用選取.

3.2算法的實(shí)現(xiàn)

在算法的具體實(shí)現(xiàn)過程中，其步驟如下.

Step1：初始化圖像.

其中，ρ＞0且為常數(shù)，?0是圖像域?的子集，其邊界為??0.

Step2：計(jì)算c1（u）和c2（u）.

Step3：計(jì)算

Step4：檢驗(yàn)u是否收斂，若不收斂，則返回Step2.

3.3實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與分析

圖1是某灰度不均勻圖像的分割結(jié)果.該灰度不均勻圖像的背景圖像灰度不均勻，并且中心目標(biāo)圖像還含有陰影部分，不易進(jìn)行圖像分割.圖1（a）、圖1（c）和圖1（e）分別是SPF方法、ICP模型和改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型的對灰度不均勻圖像的初始化.圖1（b）和圖1（d）分別是SPF方法迭代80次和ICP模型迭代150次的分割結(jié)果.這兩種情況下的分割效果均不佳，將部分背景圖像當(dāng)作中心目標(biāo)圖像.圖1（f）是改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型迭代50次的分割結(jié)果，耗時(shí)5.111 780 s.雖然此時(shí)中心目標(biāo)圖像的上方略有瑕疵，但已經(jīng)能夠?qū)⒅行哪繕?biāo)圖像和背景圖像較精確分割.由此可見，改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型能夠較精確分割且收斂速度快，僅對分割目標(biāo)區(qū)域敏感，比SPF方法適用于分割灰度不均勻圖像.

圖2是細(xì)胞圖像的分割結(jié)果，控制迭代次數(shù)皆為80次.該圖像是通過顯微鏡觀察而得的真實(shí)圖像，大小為60×80像素，目標(biāo)圖像邊緣部分模糊，并且含一定噪點(diǎn).圖2（a）、圖2（c）和圖2（e）分別是SPF方法、ICP模型和改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型的對細(xì)胞圖像的初始化.圖2（b）是SPF方法的分割結(jié)果，此時(shí)分割輪廓尚不能很好地勾勒出目標(biāo)圖像邊緣，將部分背景圖像當(dāng)作中心目標(biāo)圖像，不能達(dá)到準(zhǔn)確分割的目的，耗時(shí)1.517 816 s.圖（d）是ICP模型的分割結(jié)果，此時(shí)出現(xiàn)過分割現(xiàn)象，將部分中心目標(biāo)圖像當(dāng)作背景圖像，耗時(shí)5.470 844 s.圖2（f）是改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型的分割結(jié)果，此時(shí)分割輪廓緊貼兩個(gè)目標(biāo)圖像邊緣，耗時(shí)5.317543 s，比ICP模型略快.由此可見，在相同迭代次數(shù)時(shí)，改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型不僅收斂速度較快，分割效果較好，在噪聲環(huán)境下，能夠準(zhǔn)確分割出多個(gè)邊緣模糊的分割目標(biāo).

圖3是某高斯噪聲合成圖像的分割結(jié)果.該高斯噪聲合成圖像除了含有大量噪點(diǎn)外，中心目標(biāo)圖像含有一條狹長的深渠.圖3（a）是SPF方法、ICP模型和改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型對高斯噪聲合成圖像進(jìn)行的相同初始化.圖3（b）、圖3（c）和圖3（d）分別是以上三個(gè)模型迭代80、迭代100和迭代45次的分割結(jié)果.分割效果均十分明顯，不僅能夠有效分割較深的凹陷邊界，而且能夠不被噪聲環(huán)境干擾.由此可見，改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型僅對分割區(qū)域敏感，不會(huì)導(dǎo)致過分割，而且具有良好的抗噪性能.

圖4是某帶噪合成圖像的分割結(jié)果.該帶噪合成圖像下方的目標(biāo)圖像含有兩個(gè)細(xì)窄的像素尖角.圖4（a）是SPF方法、ICP模型和改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型對帶噪合成圖像進(jìn)行的相同初始化.圖4（b）、圖4（c）和圖4（d）分別是以上3個(gè)模型迭代80、迭代80和迭代50次的分割結(jié)果，分割效果均十分明顯.而圖4（e）、圖4（f）和圖4（g）分別是圖4（b）、圖4（c）和圖4（d）中的像素尖角部分.此時(shí)尖角部分的圖像背景灰度雜亂，SPF方法只運(yùn)用了圖像的全局區(qū)域信息，沒有運(yùn)用灰度集群思想，所以圖4（e）中像素尖角部分沒有得到分割.雖然圖4（f）分割了像素尖角，但分割輪廓不如圖4（g）緊貼尖角邊緣，因?yàn)楸疚哪Ｐ腿谌肓四軌蚴馆喞Ｖ乖谀：吘壍腟PF函數(shù).由此可見，改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型比SPF方法和ICP模型分割更為精確.

表1則分別是3個(gè)模型4次分割圖像的迭代次數(shù)和耗時(shí)對比.由于采用SBGFRLS水平集方法，SPF方法收斂速度最快，而本文模型因引入了懲罰項(xiàng)，增加了一定的計(jì)算量，僅比ICP模型略快.但SPF方法并不能分割灰度不均一圖像，而ICP模型和改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型可以，ICP模型在處理弱邊界問題時(shí)仍有不足，而改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型可以避免過分割，則可稱：在處理灰度不均一及弱邊界問題時(shí)，改進(jìn)的水平集主動(dòng)輪廓模型計(jì)算效率較好，收斂速度快.

4結(jié)論

本文將圖像的灰度集群性質(zhì)應(yīng)用于SPF函數(shù)，提出了一種基于區(qū)域的改進(jìn)水平集主動(dòng)輪廓模型.相對于SPF方法，本文模型僅對分割目標(biāo)區(qū)域敏感，能夠?qū)叶炔痪鶆驁D像進(jìn)行分割.并且，針對ICP模型所不能較好處理弱邊界分割問題，本文模型對弱邊界的對象進(jìn)行區(qū)域內(nèi)特征提取從而達(dá)到精確分割的效果.此外，本文模型初始化簡單，迭代收斂迅速.

然而，由于本文模型的能量函數(shù)基于圖像的區(qū)域信息，則初始輪廓位置對分割效果有一定影響.在具體應(yīng)用時(shí)，除了需要選取適合的初始輪廓，還要求選取適當(dāng)?shù)膮?shù)α.

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（責(zé)任編輯李藝）

An improved active contour model based on level set method

WU Zhang，ZHU Min
（Computing Center，East China Normal University，Shanghai200062，China）

By using the local regional information which has the ability to enhance the image，an improved active contour model based on level set method is proposed. Defining a novel SPF function with a nonnegative kernel function and local intensity clustering property，the novel model could draw upon intensity information in local regions at a controllable scale.In addition，the penalizing term which can be called distance regularization term drives the motion of the zero level set toward desired locations. Experimental results for real and synthetic images show the desirable proposed method performances and the model efficiency on intensity inhomogeneities and weak boundaries.

an improved active contour model based on level set method；weak boundary；intensity inhomogeneity；image segmentation

O948

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.020

1000-5641（2015）01-0161-11

2014-04

國家863計(jì)劃曙光EB級(jí)云存儲(chǔ)系統(tǒng)研制（2013AA01A211）

吳璋，女，碩士研究生，研究方向?yàn)閳D像處理與模式識(shí)別.E-mail：naruto wu@126.com.

朱敏，女，高級(jí)工程師，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閳D像處理與模式識(shí)別等.

E-mail：mzhu@cc.ecnu.edu.cn.