關于一類高階微分方程的復振蕩結果

胡夢薇，黃志剛，孫桂榮

（1.蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇蘇州215009；2.許昌電氣職業(yè)學院，河南許昌461000）

關于一類高階微分方程的復振蕩結果

胡夢薇，黃志剛，孫桂榮

（1.蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇蘇州215009；2.許昌電氣職業(yè)學院，河南許昌461000）

運用微分方程復振蕩理論，研究了系數(shù)是整函數(shù)的高階微分方程解的零點分布問題，在對方程的某個系數(shù)做小的擾動的情況下，得到了方程的超越解的零點收斂指數(shù)都為無窮.

復微分方程；整函數(shù)；增長級；零點收斂指數(shù)

0前言及主要結果

我們假定讀者熟悉Nevanlinna理論的基本概念和基本結果［1,2］.例如T（r,f），N（r,f）和m（r,f）的定義.此外，對于復平面上的亞純函數(shù)f，定義ρ（f）和λ（f）分別表示f的增長級和零點收斂指數(shù)如下.

考慮齊次線性微分方程

這里，k≥2且A0,A1,···,Ak-2是整函數(shù).Hille在文獻［3］中證明了方程（0.1）的所有解都是整函數(shù).近年來，許多學者研究了方程（0.1）的系數(shù)Aj的增長級與方程的解f的零點收斂指λ（f）之間的關系，特別是在文獻［4-6］中得到，如果k=2，超越整函數(shù)A0的增長級ρ（A0）≤，則式（0.1）不可能有兩個線性無關解f1,f2，使得max｛λ（f1）,λ（f2）｝＜∞.相應k＞2時的結果，文獻［7］中已經證明了.另一方面，即使讓方程的系數(shù)增長級很小，方程（0.1）也可能存在無零點的解.如f=eB，B是整函數(shù)，那么當k=2時，只須使得-A==B′′+（B′）2，f滿足是（0.1）的解且f無零點；同樣，k＞2時也有類似的結果.

在文獻［8］中，Abdullah Alotaibi和J.K Langley得到了這樣的結果：如果對方程（0.1）的系數(shù)A0做一點小的擾動，即把A0用A0+h來代替，這里函數(shù)h的增長級小于A0，那么方程解的零點收斂指數(shù)都為無窮.注意到文獻［7］中只考慮對系數(shù)A0做變化的情況，如果繼續(xù)考慮對方程（0.1）的任意一個系數(shù)做一點小的擾動，會有什么樣的結果呢？本文研究了這個問題，得到了下面的結果.

定理0.1設k≥2，A0,A1,···,Ak-2是整函數(shù)，其中As（s/=0）是超越的并且有ρ（Aj）＜ρ（As）＜（j/=s）.現(xiàn)在假定f是方程（0.1）的超越解，并且λ（f）＜ρ（As）.令h（/≡0）,Bj（0≤j≤k-2,j/=s）是整函數(shù)并且ρ（Bj）＜ρ（Bs），那么，對于

方程

不存在超越解g，使得λ（g）＜∞.

1引理

引理1.1［9］假設f（z）是超越亞純函數(shù)，且H=｛（k1,j1）,（k2,j2）,···,（kq,jq）｝是不同整數(shù)對的有限集合，滿足ki＞ji≥0（i=1,2,···q），ε＞0是已給定的常數(shù)，那么

（i）存在一線測度為零的集合E?［-（π/2）,3π/2），如果φ∈［-（π/2）,3π/2）E，那么存在常數(shù)R0=R0（φ）＞1，使得對所有滿足argz=φ和|z|≥R0的z以及對所有（k,j）∈H，有

（ii）存在一集合E?（1,∞）有有限對數(shù)測度，使得對所有滿足|z|/∈E∪［0,1］的z，及對所有（k,j）∈H，有

（iii）存在一集合E?［0,∞）有有限對數(shù)測度，使得對所有滿足|z|/∈E的z和對所有（k,j）∈H，有

引理1.2［10］設k≥1，A0,A1,···,Ak-1是有限級整函數(shù).令ρ=max｛ρ（A0）,···, ρ（Ak-1）｝.

如果方程wk+Ak-1w（k-1）+···+A0w=0有某解f/≡0滿足λ（f）＜∞，則

（a）f可表示為f=veh，其中v,h是有限級整函數(shù)，且ρ（h）≤ρ；

（b）f′/f是有限級的.

引理1.3［1］假設f是解析函數(shù)，令F=f′/f.那么對于整數(shù)k，有

這里的Pk-2（F）是F的常系數(shù)微分多項式，當k≤2時，它恒為零；當k＞2時，它的次數(shù)為k-2.

引理1.4設A0,A1,···,Ak-2（k≥2）是有限級整函數(shù)，其中As（s/=0）是超越的，且對于j/=s有ρ（Aj）＜ρ（As）＜.假定f是方程（0.1）的非零解，且λ（f）＜∞.那么存在一個正對數(shù)密度集合E0∈［1,∞），使得對充分大的r∈E0，以及對所有的z：|z|=r，有

證明由微分方程復振蕩理論的結果可知方程（0.1）存在無窮級解f，且λ（f）＜∞.由引理1.2，f可表示為f=weh，其中w,h是有限級整函數(shù)，因為ρ（f）=∞，所以h必是超越整函數(shù).現(xiàn)在存在一個R集?使得對充分大的不在?的z，對m=1,2,···,k,有

我們用?1表示將R集?中的每個圓盤的半徑增大一倍所得到的R值集，在這樣的區(qū)域上估計解f.如果ρ（As）＞0，可取σ,τ使得對于j/=s，有

由條件ρ（Aj）＜ρ（As）＜可知，存在正對數(shù)密度集E1，使對任意的r∈E1，當z滿足|z|=r= E0=E1E時，這里E=?r：z=reiθ∈?1?，有

并且如果有ρ（As）=0，定義σ=0，則對于j/=s，也總是有

現(xiàn)在我們在|z|=r上估計h′.由（1.4），存在N＞0，使得如果點z在|z|=r滿足|h′（z）|≥|z|N，則易驗證有

其中p=1,···,k.將f=weh代入（0.1）且兩邊除以f，由式（1.5）、（1.6），在|z|=r上滿足|h′（z）|≥|z|N的點z有

上式兩邊同除以As（h′）s，然后整理得

對于每個充分大的n，我們知道圓|z|=r與?1不相交.對于圓|z|=r上的任何點z′，由式（1.2）和?1的結構知，存在一個固定的正整數(shù)λ，使得圓盤Dn=B?z′,r?與R-集?不相交，并在此圓盤上有式（1.4），（1.5）成立.

如果存在無窮多個n，比如說nk，使得在Dn上滿足|h′（z）|≥|z|N的點z有|h′（z）|≤ exp，則由式（1.4），當nk足夠大時，式（1.7）的左邊趨于零，所以此時式（1.7）不成立，因此當n足夠大時，在Dn上滿足|h′（z）|≥|z|N的點z，必有|h′（z）|＞exp（r）成立.從而由式（1.7），在Dn上滿足|h′（z）|≥|z|N的點z，一致地有

以及

應用式（1.8），若在Dn上定義A的一個單值分支，在Dn上，由（1.9）式得

于是，在Dn上，有

把h代入f=weh得

.那么

則在Dn中有f=WeG，由于當n足夠大時rn→∞,（1.2）在Dn中成立.另外，當n→∞時，對于任意的0＜ε＜由條件可得

由于在Dn中，f=weh=WeG，因此f′/f=w′/w+h′=W′/W+G′，由此得W′/W= w′/w+h′（z）-crAs（z）1k-s.據(jù)此，由式（1.2）和（1.11），存在M5＞0，當n足夠大時，在Dn中有下面的估計式

又因為W（m）?W可表示為W′/W的常系數(shù)微分多項式，以及由Cauchy積分導數(shù)公式

和式（1.16），有估計式

可知存在正的常數(shù)M6，當n足夠大時，有估計式

其中q=1,···,k.應用引理1.3于f′/f=W′/W+G′，根據(jù)式（1.2），（1.13）-（1.15）及式（1.17），當n足夠大時，在Dn內，我們有

其中p=2,3,···,k，特別由式（1.13），得

將f=WeG代入（0.1），兩邊同除以f，并根據(jù)式（1.2），（1.5），（1.13）-（1.15），（1.17）-（1.19），再在兩邊同時除以（G′）k-1，當n足夠大時，在Dn內得

進一步得

即

把式（1.20）代入式（1.12）便得式（1.1）.再由有限覆蓋定理可以把Dn延拓到整個|z|=r即S（0,r）中，引理得證.

結合cos πρ定理以及級與零點收斂指數(shù)定義，容易得到

引理1.5［10］假設A（z）是超越整函數(shù)且其增長級ρ（A）=ρ＜.整函數(shù)f滿足λ（f）＜ρ（A），則存在集合E2?［1,∞），，那么對于任意的σ＜ρ，成立

2定理的證明

假定方程（0.1）有超越解f滿足定理0.1的條件，且存在式（0.3）的超越解g使得λ（g）＜∞.由引理1.2，可設

這里P,Q,U,V都是有限級整函數(shù).令

取σ1,σ2，使得

由引理1.5，存在集合E1?［1,∞），且logdensE1＞0，使得

同樣，對于|z|=r∈E1，由式（1.2），（2.3）和（2.4），有

根據(jù)引理1.1，存在測度有限的集合E?［1,∞），以及正整數(shù)M0，有

由式（2.6），（2.8）-（2.10），對|z|=r∈E0，有

根據(jù)引理1.4，這里的c,d可能與r有關，但與z無關.

下面的引理對證明定理0.1很重要.

引理2.1對于上面的式（2.7）、（2.11）中的c,d，對r∈E0，有c=d.

證明假設d=wc，其中wk=1.（2.7）式兩邊同時乘以w，然后與（2.11）式聯(lián)合，得

在|z|=rn上，對上式兩邊積分，當rn→∞,且rn∈E0時，根據(jù)輻角原理有

為了證明定理0.1，應用引理2.1及式（2.7）和（2.11），當rn→∞,rn∈E0時，有

因此，

由式（2.2）和（2.6），得

因為U,V是整函數(shù)，令Q0=U′-V′,那么易知Q0是多項式，那么式（2.2）變?yōu)?/p>

對式（0.3）變形并且結合式（2.2），然后應用引理1.3得

然后，對式（0.1）做同樣的處理，有

把F=G+M代入式（2.16），然后與式（2.15）相減得到

對上式變形得

這里的P2s-2（G,M），Pk+s-2（G,M）都是關于G,M的微分多項式，并且關于G的最高次分別不超過2s-2,k+s-2.

我們斷言M/≡0.若M≡0，則由式（2.15）和（2.16）聯(lián)立得h≡0，這與h/≡0矛盾.因此，由式（2.17）得

由式（2.18）得

這里的C0是正數(shù).因為G,M是有限級的，然后結合式（2.2）-（2.4），（2.6），（2.11），（2.13），（2.18），（2.19）以及引理1.5，對充分大的r∈E0，得到

［1］HAYMAN W.Meromorphic Functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

［2］LAINE I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations［M］.New York：Walter de Gruyter，1993.

［3］HILLE E.Ordinary Differential Equations in the Complex Domain［M］.Mineola，NY：Dover Publication，1997.

［4］ROSSI J.Second order differential equations with transcendental coefficients［J］.Proc Amer Math Soc，1986，97：61-66.

［5］SHEN L C.Solution to a problem of S.Bank regarding the exponent of convergence of the solution of a differential equation f′′+Af=0［J］.Kexue Tongbao，1985，30：1581-1585.

［6］BANK S，LAINE I.On the oscillation theory of f′′+Af=0 where A is entire［J］.Trans Amer Math Soc，1982，273：351-363

［7］LANGLEY J.On entire solutions of linear differential equations with one domain coefficient［J］.Analysis，1995，15：187-204.

［8］ALOTAIBI A，Langley J.On solutions of linear differential equations with entire coefficients［J］.J Math Anal Appl，2010，367：451-460.

［9］GUNDERSEN G.Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function，plus similar［J］.J London Math Soc，1988，37（2）：88-104.

［10］高仕安，陳宗煊，陳特為.線性微分方程的復振蕩理論［M］.武漢：華中理工大學出版社，1998.

（責任編輯王善平）

An oscillation result for some higher order linear differential equations

HU Meng-wei，HUANG Zhi-gang，SUN Gui-rong
（1.Department of Mathematics，University of Science and Technology of Suzhou，Suzhou Jiangsu215009，China；2.Xuchang Eelectrical Vocational College，Xuchang Henan461000，China）

The distribution of zeros of solutions of higher order linear differential equations with entire coefficients was investigated by using complex oscillation theory of linear differential equations.It was proved that the exponent of convergence of zeros of every transcendental solution of the equations is infinite if given a small perturbation to one of the coefficients.

complex differential equations；entire function；growth of order；exponent of convergence of zeros

O174.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.009

1000-5641（2015）01-0075-09

2013-12

國家自然科學基金（11001057）；江蘇省自然科學基金（BK2010234）；江蘇省青藍工程，蘇州科技學院研究生科研創(chuàng)新工程項目（SKCX12S 043）

胡夢薇，女，碩士，研究方向為復分析.E-mail：mengweihu1121@163.com.