張 鵬，舒燕菲

(武漢科技大學(xué)管理學(xué)院， 湖北 武漢，430081)

具有交易成本的均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合優(yōu)化

張 鵬，舒燕菲

(武漢科技大學(xué)管理學(xué)院， 湖北 武漢，430081)

考慮到資產(chǎn)收益率的模糊不確定性，提出具有交易成本和交易量限制的均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合優(yōu)化模型。運(yùn)用可能性理論將該模型轉(zhuǎn)化為顯式的線性規(guī)劃問(wèn)題，并采用改進(jìn)的旋轉(zhuǎn)算法進(jìn)行求解。最后通過(guò)實(shí)證研究證明該模型和算法的有效性，討論了資產(chǎn)收益率為梯形模糊數(shù)的情況下投資者針對(duì)現(xiàn)有投資組合的調(diào)整策略。

投資組合；均值-絕對(duì)偏差；交易成本；旋轉(zhuǎn)算法；資產(chǎn)收益率；模糊數(shù)

投資組合優(yōu)化要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是收益與風(fēng)險(xiǎn)的平衡。Markowitz[1]最早用數(shù)量化方法解決投資組合優(yōu)化問(wèn)題，分別采用均值和方差來(lái)度量投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)。但均值-方差模型存在較大的局限性，其要求資產(chǎn)收益率呈多元正態(tài)分布，而很多情況下收益率是非正態(tài)分布的，因此研究人員又提出了一些其他的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。張鵬等[2]用絕對(duì)偏差代替方差，提出了具有風(fēng)險(xiǎn)控制和基數(shù)約束的均值-絕對(duì)偏差投資組合優(yōu)化模型；張鵬[3]還用半絕對(duì)偏差度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)；黃金波等[4]和柴尚蕾等[5]用CVaR作為指標(biāo)，研究投資組合風(fēng)險(xiǎn)估量與管理問(wèn)題；Huang[6]用熵來(lái)度量投資組合風(fēng)險(xiǎn)，認(rèn)為熵值越小，投資組合收益包含的不確定性越低，風(fēng)險(xiǎn)越小。

實(shí)際情況下，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是模糊不確定的。為了更有效地解決實(shí)際問(wèn)題，模糊集理論被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)管理，因此，許多學(xué)者研究了資產(chǎn)收益為模糊數(shù)情況下的投資組合優(yōu)化問(wèn)題。鄧雪等[7]提出了收益率為梯形模糊數(shù)的均值-方差投資組合模型；劉勇軍等[8]提出了具有現(xiàn)實(shí)約束的模糊多準(zhǔn)則投資組合優(yōu)化模型；馬勇等[9]研究了模糊隨機(jī)環(huán)境中的歐式障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題；潘東靜等[10]將不確定性環(huán)境下的VaR和CVaR的投資組合優(yōu)化模型進(jìn)行了對(duì)比研究；劉宣會(huì)等[11]研究了在部分信息下的投資組合優(yōu)化問(wèn)題。

上述模型僅僅考慮了在投資初期如何選擇最優(yōu)投資策略，但由于金融市場(chǎng)的變化和投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的改變，現(xiàn)有投資組合在整個(gè)投資期內(nèi)并不總是有效的，因此投資者可能會(huì)在投資期內(nèi)對(duì)投資組合進(jìn)行調(diào)整，而調(diào)整投資組合會(huì)產(chǎn)生交易成本。Zhang等[12-13]考慮了單位買進(jìn)賣出成本和每種資產(chǎn)單位交易成本對(duì)投資組合的影響，分別提出了不同的投資組合優(yōu)化模型。在上述研究的基礎(chǔ)上，本文基于可能性理論，分析了可能性均值和可能性絕對(duì)偏差，綜合考慮交易成本和交易量限制，提出了均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合優(yōu)化模型，并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)算法求解。最后通過(guò)實(shí)證研究說(shuō)明在資產(chǎn)收益率為梯形模糊數(shù)的情況下，投資者如何對(duì)現(xiàn)有投資組合進(jìn)行調(diào)整。

1 模糊均值和絕對(duì)偏差

下面介紹本文中的一些定義。模糊數(shù)A是滿足常態(tài)性、模糊凸性和連續(xù)成員函數(shù)的實(shí)線R模糊集。它的水平集[A]γ=[a1(γ),a2(γ)]，γ∈[0,1]，模糊數(shù)A的上、下可能性均值[14]為

(1)

(2)

式中：Pos表示可能性。

定義1[14]假設(shè)A是模糊數(shù)，它的水平集[A]γ=[a1(γ),a2(γ)] (γ∈[0, 1])，則其可能性均值為

(3)

定義2 假設(shè)A、B是模糊數(shù)，它們的水平集為[A]γ=[a1(γ),a2(γ)] (γ∈[0, 1])和[B]γ=[b1(γ),b2(γ)] (γ∈[0, 1])，A和B的可能性絕對(duì)偏差為

(4)

假設(shè)A是梯形模糊數(shù)，A=(al,bl,αl,βl)，則A的隸屬函數(shù)為

(5)

其中αl和βl為正數(shù)。模糊數(shù)A=(al,bl,αl,βl) 的水平集為[Al]γ= [al-(1-γ)αl,bl+(1-γ)βl],γ∈[0,1]。

根據(jù)定義1可知Ai的上、下可能性均值以及可能性均值分別為

(6)

(7)

(8)

2 均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合模型

2.1 問(wèn)題描述和符號(hào)說(shuō)明

2.2 投資組合的可能性收益和風(fēng)險(xiǎn)

(9)

(10)

根據(jù)定義2，可得到投資組合x(chóng)=(x1,x2,…,xn,xf)的可能性絕對(duì)偏差(風(fēng)險(xiǎn))為

(11)

(12)

(13)

去絕對(duì)值后式(13)化為

(14)

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，式(15)轉(zhuǎn)化為

(16)

根據(jù)式(8)，式(16)可以轉(zhuǎn)化為

(17)

證畢。

2.3 投資組合模型

假設(shè)投資者的目標(biāo)是風(fēng)險(xiǎn)最小化，則具有交易成本和交易量限制的均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合模型為

(18)

模型(18)中，第一個(gè)約束條件表示調(diào)整后的投資組合凈收益率不低于給定的期望值r0；第二個(gè)約束條件表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例必須超過(guò)給定的下界；第三個(gè)約束條件表示第i種資產(chǎn)投資比例的上下界限制。模型(18)的經(jīng)濟(jì)意義是指在滿足上述三個(gè)約束條件的情況下，投資者如何調(diào)整投資組合以使其風(fēng)險(xiǎn)最小。

(19)

一般來(lái)說(shuō)，投資組合收益越大，風(fēng)險(xiǎn)越高。但最低期望收益率r0也不能無(wú)限大，即在r0超過(guò)某個(gè)值的前提下要求風(fēng)險(xiǎn)最低時(shí)，可能不存在最優(yōu)解，因此有必要確定r0的取值范圍。

假設(shè)在投資過(guò)程中，投資者只關(guān)注收益而不考慮風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)，投資組合可以獲得最大收益，即可得到r0的最大值。

(20)

3 實(shí)證研究

下面分兩種情況討論交易成本對(duì)投資組合的影響。用pi表示單位買進(jìn)成本，qi表示單位賣出成本，其中i=1,2,…,30。

(1)每種資產(chǎn)的買進(jìn)和賣出成本相同。

當(dāng)Ci=pi=qi=0，即不存在交易成本時(shí)，比較r0取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)投資策略，如表1所示。

為了考察交易成本對(duì)投資組合的影響，令Ci=pi=qi=0.005，比較r0取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)投資策略，如表2所示。

從表1和表2中可以看出，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)和收益是正相關(guān)的，即在r0的取值區(qū)間內(nèi)，期望收益率越高，投資風(fēng)險(xiǎn)越大。同時(shí)，在期望收益率一定的前提下，單位交易成本越高，投資風(fēng)險(xiǎn)就越大。

(2)每種資產(chǎn)的買進(jìn)和賣出成本不同。

4 結(jié)語(yǔ)

考慮到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的模糊不確定性，本文提出了具有交易成本和交易量上下界限制的均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合模型，并用改進(jìn)的線性規(guī)劃旋轉(zhuǎn)算法進(jìn)行求解。通過(guò)實(shí)證研究證明了模型和算法的有效性，說(shuō)明了交易成本對(duì)投資組合的影響：?jiǎn)挝唤灰壮杀静煌瑫r(shí)對(duì)應(yīng)的投資調(diào)整策略也不相同；在期望收益率一定的情況下，單位交易成本越高，投資風(fēng)險(xiǎn)就越大。

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[責(zé)任編輯 尚 晶]

Optimization of mean-absolute deviation fuzzy portfolio selection with transaction cost

ZhangPeng,ShuYanfei

(College of Management, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Considering the fuzzy uncertainty of the return on assets, this paper proposes a mean-absolute deviation fuzzy portfolio selection model with transaction cost and threshold constraints. Based on the possibility theory, the model is transformed into an explicit linear programming problem. An improved pivoting algorithm is adopted to obtain the optimal portfolio strategy. Finally, an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed model and algorithm，and show the investors how to adjust the portfolio selection when the return on assets is trapezoidal fuzzy number.

portfolio selection; mean-absolute deviation; transaction cost; pivoting algorithm；return on assets；fuzzy number

2014-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71271161).

張 鵬(1975-)，男，武漢科技大學(xué)教授，博士.E-mail：zhangpeng300478@aliyun.com

F224.9；O221.2

A

1674-3644(2015)03-0235-06