王孝良，賴曉晨，王劍楠，那 賀

（1.大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024；2.中冶焦耐工程技術(shù)有限公司，遼寧 大連 116023）

0 引 言

我國近年在高速鐵路建設(shè)上投入了大量人力物力，已建和在建的鐵路已超出世界現(xiàn)有高速鐵路長度的總和.相比原有鐵路的運行速率，高速鐵路任何微小的失誤及故障都可能導致重大安全事故.由于高速鐵路的安全等級要求高，人力檢測無論從工作強度上還是從測量精度上都無法滿足要求.自動化監(jiān)測分析技術(shù)作為鐵路的主要輔助監(jiān)測、維護手段，成為高速鐵路健康發(fā)展的必要條件.

列車－軌道安全監(jiān)測系統(tǒng)除了需要強大的軟硬件監(jiān)測設(shè)備支撐之外，對采集到的列車－軌道狀態(tài)數(shù)據(jù)的處理也是分析列車運行情況的重要一環(huán).從各種監(jiān)測數(shù)據(jù)中得出列車及軌道的狀態(tài)，是耦合動力學研究的最終目的［1－2］.這就需要通過模型的仿真［3］，找出振動數(shù)據(jù)與系統(tǒng)安全狀態(tài)的關(guān)系［4－5］.利用耦合動力學模型進行先決實驗［6］，再利用實驗環(huán)境進行驗證，成為分析研究列車－軌道動力響應(yīng)的優(yōu)選方案.

1 動力學模型的建立

1.1 列車動力學模型

在對列車進行受力分析時，可將列車的車體、轉(zhuǎn)向架、輪對3個主要部分進行重點分析［7］，同時將對列車－軌道的耦合動力作用影響不大的牽引、控制、受流、制動、連接等裝置在動力學模型中進行忽略，以在保證系統(tǒng)精度的情況下，盡可能減小分析的復(fù)雜度.車體主要包含底架、端墻、側(cè)墻和車頂?shù)炔糠?，可簡化為一個單獨的剛體作為研究對象［8］.轉(zhuǎn)向架裝置主要由構(gòu)架、彈簧懸掛、輪對軸箱和基礎(chǔ)制動裝置等組成，對列車的承載、轉(zhuǎn)向、減振與制動起著重要作用［3］.

在對列車進行垂向動力分析的過程中，視列車為車體、轉(zhuǎn)向架、一系懸掛、二系懸掛、輪對五部分，簡化成如圖1所示的彈性－阻尼系統(tǒng).考慮CRH3客運列車為四軸列車，遂在側(cè)視圖中取用4個輪對，它們與軌道間的相互作用視為單純的彈性力.客運列車系統(tǒng)包含一系懸掛與二系懸掛，將連接輪對與構(gòu)架之間的一系懸掛和連接構(gòu)架與車體之間的二系懸掛視為彈性與阻尼共同作用.

本系統(tǒng)僅考慮列車的垂向運動與點頭運動，將列車的動力方程進行分解，得到Hamilton 動力方程的一般形式：

其中列車的節(jié)點位移向量

列車系統(tǒng)的剛度矩陣為

列車系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣為

系統(tǒng)的強迫力矩陣為

其中Ti（i＝1，2，3，4）的值如下：

圖1 客運列車垂向動力學模型Fig.1 Vertical dynamics model of train carriage

列車系統(tǒng)中各項參數(shù)采用CHR3 型號的車輛標準作為運算依據(jù)，各參數(shù)值如表1所示.

表1 列車系統(tǒng)的各項參數(shù)Tab.1 The parameters for the train carriage

1.2 CRTSⅡ型軌道結(jié)構(gòu)及動力學模型

CRTS系列軌道具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)，其中CRTSⅡ型縱向板式無砟軌道目前在我國實際鋪設(shè)的高速鐵路無砟軌道中占據(jù)比例較大，應(yīng)用比較廣泛.本文就以CRTSⅡ作為軌道研究對象.圖2為路基上CRTSⅡ型軌道結(jié)構(gòu)的斷面示意圖.

圖2 CRTSⅡ型軌道的斷面示意圖Fig.2 Sectional drawing of CRTSⅡtrack structure

每一個構(gòu)成部分都有其獨有的剛度及阻尼特性，按照其材質(zhì)及結(jié)構(gòu)的天然分割，根據(jù)圖2的軌道結(jié)構(gòu)，得出簡化的軌道動力學模型如圖3所示.

圖3 CRTSⅡ型軌道的動力學模型Fig.3 Dynamic model of CRTSⅡtrack

模型以扣件作為分割點，截取單位動力單元，并將動力單元兩端的梁節(jié)點作為分析對象.u1、u4、β1、β4 為鋼軌端點處垂向上的位移及圖中所示方向的轉(zhuǎn)角，u2、u5、β2、β5 為軌道板端點處垂向上的位移及圖中所示方向的轉(zhuǎn)角，u3、u6、β3、β6 為混凝土支撐端點處垂向上的位移及圖中所示方向的轉(zhuǎn)角；kr1、kr2、kr3分別為鋼軌、軌道板及混凝土支撐的彈 性 系 數(shù).cr1、cr2、cr3分 別 為 鋼 軌、軌 道 板 及混凝土支撐的阻尼系數(shù).

將軌道結(jié)構(gòu)看作簡支梁，通過梁單元節(jié)點分析，可以得出軌道系統(tǒng)的各系數(shù)矩陣.

令軌道的節(jié)點位移向量ur為以下形式：

系統(tǒng)的剛度矩陣可表示為如下形式：

式中：Kc為鋼軌的彎曲勢能剛度矩陣，Kd為鋼軌的離散二維梁系統(tǒng)單元產(chǎn)生的剛度矩陣，Ks為軌道板和支撐層的連續(xù)支撐剛度矩陣.

系統(tǒng)的阻尼矩陣可由以下三部分組成：

式中：Cp為系統(tǒng)的比例阻尼，僅與列車系統(tǒng)的固有頻率有關(guān)；Cd為鋼軌產(chǎn)生的離散支撐阻尼；Cs為軌道板和水硬性混凝土連續(xù)支撐產(chǎn)生的阻尼.

比例阻尼計算方法為

式中：μ1、μ2、μ3、λ1、λ2、λ3分 別 為 阻 尼 系 數(shù)，M1、M2、M3為鋼軌、預(yù)制軌道板和混凝土支撐層所單獨產(chǎn)生的等效質(zhì)量矩陣，K1、K2、K3為鋼軌、預(yù)制軌道板和混凝土支撐層所單獨產(chǎn)生的等效彈性矩陣.

鋼軌的離散二維梁系統(tǒng)單元產(chǎn)生阻尼矩陣為

2 輪軌接觸點的定位

我國的CRH3 型列車，每節(jié)車廂有4 組輪對，從單側(cè)分析對象為4個車輪.車輪之間的距離及列車的位置確定了每個輪軌接觸斑在軌道單元上的位置.

以CRH3的七號車為例進行分析，同一轉(zhuǎn)向架上的兩組輪對的固定軸距為s1，不同轉(zhuǎn)向架上最近的兩個輪對的圓心距離為s2，如圖4所示.

圖4 列車輪距示意圖Fig.4 Diagram for wheel span of train

圖5中輪軌的接觸斑位置為A點，設(shè)其距離軌道單元模型兩個端點的距離分別為sl和sr.

圖5 軌道單元輪對接觸點Fig.5 The force contact points of the track unit

令最末端輪軌的初始接觸斑位于圖5的左端點，沿列車運行方向，從最前端的輪對開始，依次將輪對編號為輪對1、輪對2、輪對3、輪對4.

設(shè)列車運行速度為v，運行時間為t，l為相鄰扣件之間軌道單元的長度，n為使4個輪對距其所在的軌道單元模型的左端距離sl1、sl2、sl3、sl4分別為大于零的最大整數(shù)，則4個輪對接觸斑在其軌道單元上的對應(yīng)位置如下.

第一輪軌接觸斑位置：

第二輪軌接觸斑位置：

第三輪軌接觸斑位置：

第四輪軌接觸斑位置：

則各軌道段的荷載向量可利用接觸斑位置及赫茲接觸壓力表示如下（i＝1，2，3，4）：

需要注意的是，在進行動力學模型的計算時，應(yīng)本著1個列車模型及4個軌道模型的運算原則進行.即利用輪軌作用，以1輛列車分別計算4個輪對下不同軌道單元的動力方程，然后利用4段獨立的軌道對列車模型的共同影響來對整個系統(tǒng)進行分析.

3 軌道衰減振動的處理

軌道與輪對產(chǎn)生力的作用，在輪對離開軌道之后，軌道會在自身的阻尼彈性作用下繼續(xù)產(chǎn)生振動，直至阻尼作用將振動衰減至零.在前輪使軌道產(chǎn)生的衰減振動還沒有消除時，軌道又開始與下一輪對進行作用.這就造成了軌道將衰減振動通過下一輪對以能量的形式重新傳遞給了列車，對列車－軌道的耦合振動產(chǎn)生了一定的影響.

通過將軌道單元看作單自由度剛體，利用其整體剛度、阻尼、振動等信息計算出軌道單元的阻尼振動形式為欠阻尼振動.并且在當前高速鐵路的運行速率下，以距離最近的兩個輪對來說，當后一輪對踏入進行衰減振動的軌道單元時，該軌道單元的阻尼振動幅值相對于衰減振動剛開始時刻，僅有10%左右的衰減，因此軌道衰減振動對后一輪對的影響在當今的鐵路運行條件下是不可忽略的.

對于衰減振動的處理，可以在輪對對軌道施加的垂向單點力消失的時刻開始，視為軌道開始阻尼衰減振蕩.因此在運算時，只需將軌道的受迫力減小為零，以輪對離開軌道時刻軌道的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，進行動力方程求解即可.

在i段軌道中，衰減振動將會對輪軌產(chǎn)生后續(xù)作用，此時對未與輪對進行直接作用的軌道進行衰減振動的運算，該運算與輪軌作用的兩個動力系統(tǒng)的運算同步進行.

其中，計算阻尼運動的公式如下：

然后根據(jù)列車的運行速度、運行時間，及列車上各個輪對的間距，判斷輪對在此刻有沒有離開第m節(jié)軌道單元，進入第n節(jié)軌道單元.

如果輪對進入第n節(jié)軌道單元，則終止第n節(jié)軌道單元的衰減振動迭代，并將第n節(jié)軌道單元此刻衰減運動的運動狀態(tài)u··、u·、u代入輪軌接 觸運算中作為第n節(jié)軌道與輪對作用的耦合運動方程的初值.同時，應(yīng)判斷該輪對是否是最后一個輪對，如果不是最后一個輪對的話，對第m節(jié)軌道單元進行衰減振動的運算；如果是最后一個輪對，因為第m節(jié)軌道單元不會繼續(xù)與其他輪對進行作用，則可放棄對第m節(jié)軌道單元衰減振動的運算.

4 列車－軌道耦合振動計算

輪對與軌道在正常情況下是相互接觸的，由于之間的相互壓力在接觸面產(chǎn)生一定的形變，并形成輪軌間的相對位移.輪軌間垂向力的接觸形式具有接觸區(qū)域的形變小、接觸面為橢圓形等特點，符合赫茲接觸的基本特征，故在此可看作非線性赫茲接觸予以處理.

美國、英國、德國等發(fā)達國家都已對軌道的不平順進行了深入的研究和分析.通過對實際線路的大量測量與擬合工作，將軌道不平順的隨機過程近似為不平順功率譜密度，并且，各國都已經(jīng)基本完善了針對各自列車－軌道系統(tǒng)隨機不平順的功率譜函數(shù).我國的鐵道部也曾經(jīng)針對一些情況復(fù)雜的地域進行過測量分析［9］，但由于我國地域廣闊、地形復(fù)雜，到目前還沒有能夠建立出一個標準統(tǒng)一的譜密度函數(shù).本系統(tǒng)選用美國軌道譜進行軌道不平順的狀態(tài)模擬.

傳統(tǒng)的Newmark－β在精度上有較大的損失，為獲得更高精確度的結(jié)果，采用精細時程積分法是一個較優(yōu)途徑.但普通精細時程積分法在將二階微分方程進行降階運算時，也陡增了系統(tǒng)的自由度，加大了求解過程中的資源占用，因此并不適合進行自由度較多的復(fù)雜動力方程求解.Guo等［10］實現(xiàn)了在用Newmark進行方程降階時不改變方程個數(shù)的方法.這里進一步對Newmark 方法進行改進.

在平均常加速度法的假設(shè)下，即α＝0.5，β＝0.25時，有方程如下：

將式（22）代入Hamilton公式，得到

根據(jù)精細積分法一般形式

得到

通過離散化得到

式（28）中的T陣可由下式求得：

將T陣進行Taylor展開：

通過下式得到T值：

式（30）中的后一項，依據(jù)文獻［11］中選擇在3種積分方法中誤差最小的高斯公式進行展開：

取三節(jié)點高斯積分近似，其中各參數(shù)值如下：

則系統(tǒng)的迭代推導公式為如下形式：

5 仿真過程

仿真過程如下：

（1）軌道譜作為軌道隨機不平順激勵的解析與仿真

通過Blackman－Turkey 法將軌道譜函數(shù)從頻域轉(zhuǎn)換為時域，以軌道不平順幅值的形式作為輸入激勵.

（2）列車動力學模型的建立

依據(jù)1.1對列車模型的分解與分析，建立列車動力學模型.

（3）軌道動力學模型的建立

依據(jù)軌道單元的動力學原理，按照軌道的結(jié)構(gòu)與分析需求，參照1.2的內(nèi)容，對軌道模型進行建模.

（4）軌道單元輪軌接觸點的定位

根據(jù)對列車運行狀態(tài)的精確定位，分別確定每一輪對在軌道單元模型中梁的具體接觸位置，以獲得更加精確的輪軌作用力.在對軌道單元方程求解時，需要根據(jù)4個輪對的4個不同的接觸點，來對4組不同的軌道單元進行求解.同時，分別監(jiān)控輪對在軌道單元上的位移情況，當輪對離開某一輪對軌道單元時，停止對該軌道單元的接觸點定位，并開始對本軌道單元的阻尼運動進行運算.同時，對下一軌道單元開始進行精確定位的計算與輪軌動力響應(yīng)計算.

（5）軌道單元阻尼振動的求解與疊加

將軌道衰減振動疊加入耦合振動系統(tǒng)，來使仿真結(jié)果與實際值更加接近.可以依照第4章方法，采用集中質(zhì)量進行簡化分析，或者依據(jù)第3章系統(tǒng)模型，進行受迫力為0的軌道動力方程求解.

（6）輪軌耦合作用的求解與仿真

求解過程中利用改進的Newmark數(shù)值積分方法，對動力方程進行迭代求解.求解過程中，在每一次通過4組輪軌相對距離獲得4個不同的赫茲力之后，需將赫茲力分別引入列車及與輪對產(chǎn)生直接接觸的4組軌道單元中進行分別求解，并實時監(jiān)測輪對是否進入新的軌道單元.

6 仿真結(jié)果

按照本文選取的參數(shù)及建立的模型，利用軌道譜進行軌道不平順的模擬.考慮輪軌接觸點的精確定位及軌道的衰減振動，利用Matlab進行系統(tǒng)的模擬與仿真，得到列車與軌道的動力響應(yīng)仿真結(jié)果如圖6、7所示.

圖6 軌道不平順度Fig.6 Track irregularity

加入接觸點定位和衰減振動的仿真模型相應(yīng)效果良好，在隨機不平順激勵的條件下，列車的垂向位移、垂向速度和垂向加速度的響應(yīng)結(jié)果與模型的預(yù)估響應(yīng)符合度較高，更加貼近實際運行條件下列車的振動響應(yīng).由于對列車運行條件進行了更加全面的考慮分析，本模型有助于更加精確地評估列車在各種不平順條件下的動力響應(yīng).

為驗證系統(tǒng)的性能及研究列車－軌道系統(tǒng)的動力學特性，按照本文提出的幾點改進，對系統(tǒng)進行Matlab編程，仿真得到系統(tǒng)在隨機不平順條件下的響應(yīng)特性.將列車及軌道的響應(yīng)仿真結(jié)果分別與相關(guān)文獻進行對比，證實理論與實踐吻合良好.軌道的不平順程度對列車與軌道的垂向位移、垂向速度、垂向加速度均有影響，這些值均隨著軌道不平順程度的增加而增大，符合系統(tǒng)的物理特性.相比于Newmark算法，改進的算法具有更高的效率及精度.同時，加入了衰減振動及輪軌接觸點的系統(tǒng)，在仿真結(jié)果上，更接近實際測量數(shù)據(jù).

7 結(jié) 語

本文按照我國現(xiàn)在應(yīng)用較廣泛的CRH3 型動車及CRTSⅡ型無砟軌道結(jié)構(gòu)特點建立動力學模型，根據(jù)研究需要確定了系統(tǒng)自由度加以研究，并利用改進的Newmark數(shù)值積分方法對模型進行耦合動力學仿真分析，同時，將輪軌接觸點進行精確定位，從而充實了列車－軌道耦合振動模型.軌道在輪對離開后進行的衰減振動也被加入到系統(tǒng)中，使仿真結(jié)果與系統(tǒng)的真實狀況更加逼近.

在本模型的基礎(chǔ)上，可以繼續(xù)深入研究列車及軌道在特定的不平順條件下的響應(yīng)特性、軌道在橋上時的系統(tǒng)響應(yīng)特性等.或者根據(jù)輪軌的響應(yīng)情況，對各項不平順指標進行合理的推定，進而通過聯(lián)系各種自動化檢測裝備的檢測值，來尋找測量結(jié)果與實際路況的對應(yīng)關(guān)系，以通過檢測裝置測量值來對路況信息進行推斷.

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