基于半經(jīng)典近似研究費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性

田青松, 門福殿, 陳新龍

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)理學(xué)院, 青島 266580)

基于半經(jīng)典近似研究費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性

田青松, 門福殿, 陳新龍

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)理學(xué)院, 青島 266580)

基于半經(jīng)典近似方法, 給出重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)共存下費(fèi)米子的能譜. 然后由泊松公式導(dǎo)出費(fèi)米氣體的熱力學(xué)勢(shì)函數(shù). 在此基礎(chǔ)上, 運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系式求解低溫條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性及磁化率的解析式, 并通過(guò)數(shù)值模擬分析強(qiáng)磁場(chǎng)背景下重力場(chǎng)對(duì)穩(wěn)定性及順磁性的影響機(jī)制.

重力場(chǎng); 強(qiáng)磁場(chǎng); 費(fèi)米氣體; 穩(wěn)定性; 順磁性

1 引 言

近年來(lái), 研究外勢(shì)及相互作用同時(shí)對(duì)量子系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的影響已成為熱點(diǎn). 特別是對(duì)諧振勢(shì)約束下的量子系統(tǒng)的研究, 取得了一系列成果[1-9]. 另外, 對(duì)費(fèi)米系統(tǒng)的研究也逐漸增加. 如文獻(xiàn)[10]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性; 文獻(xiàn)[11]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中費(fèi)米氣體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì); 文獻(xiàn)[12]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中超冷費(fèi)米氣體的相對(duì)論效應(yīng). 文獻(xiàn)[13]研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中相互作用費(fèi)米氣體的相對(duì)論穩(wěn)定性. 但在強(qiáng)磁場(chǎng)背景下, 重力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米系統(tǒng)的穩(wěn)定性及順磁性尚無(wú)人涉及. 重力場(chǎng)是一種常見而又重要的勢(shì)場(chǎng), 在強(qiáng)磁場(chǎng)背景下, 研究重力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米系統(tǒng)的穩(wěn)定性及順磁性的影響, 尤其是對(duì)于有精細(xì)結(jié)構(gòu)的費(fèi)米系統(tǒng)如6Li原子系統(tǒng), 具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義. 本文基于半經(jīng)典近似方法, 通過(guò)泊松公式解析雙場(chǎng)共存下費(fèi)米系統(tǒng)的低溫?zé)崃W(xué)勢(shì)函數(shù), 在此基礎(chǔ)上運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系和數(shù)值模擬方法分析強(qiáng)磁場(chǎng)背景下重力場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性、 磁化率的影響機(jī)制.

2 同時(shí)考慮重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)情況下的熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)

z.

(1)

式中σ=he/4πmc為玻爾磁子,n=0,1,2,3…為量子數(shù).mgz為重力場(chǎng)作用項(xiàng). 根據(jù)文獻(xiàn)[15], 當(dāng)n,pz給定時(shí), 在Δpz區(qū)間內(nèi)的態(tài)數(shù)為

(2)

其中Lz為粒子在z方向的運(yùn)動(dòng)區(qū)域的尺度, 令Lz=Δz, 即粒子z方向的運(yùn)動(dòng)尺度在有限范圍內(nèi)為一可變的量. 再考慮自旋, 則粒子在ΔpzΔz區(qū)間的態(tài)數(shù)為

(3)

再根據(jù)文獻(xiàn)[14],pz是在磁場(chǎng)方向的動(dòng)量, 取-∞到∞的連續(xù)值,z取0到z的有限連續(xù)值, 對(duì)于每個(gè)給定的n在間隔dpzdz中的態(tài)的數(shù)目是

(4)

則系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)可表示為

(5)

其中

(6)

利用泊松公式

(7)

(5)式可表為

(8)

其中Ω0(μ)為無(wú)外場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)的熱力學(xué)勢(shì)函數(shù). 系統(tǒng)的熱力學(xué)勢(shì)函數(shù)可表為

Ω=Ω0(μ)+ΩB+G(μ),

(9)

其中ΩB+G(μ)為含有磁場(chǎng)和重力場(chǎng)的影響項(xiàng). 經(jīng)計(jì)算, 得

(10)

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件及磁化率

令Sz=V, 則(10)式可化為

(11)

(12)

考慮強(qiáng)磁場(chǎng)條件T≤σB≤μ, 令μ=xσB,T=yσB(即x≥1, 0

(13)

(14)

(16)

4 數(shù)值模擬與分析

圖1 穩(wěn)定性隨溫度的變化Fig. 1 The stability varies with temperature

圖2 磁化率隨溫度的變化Fig. 2 The susceptibility varies with temperature

圖3 穩(wěn)定性隨磁場(chǎng)的變化Fig. 3 The stability varies with magnetic field

圖4 磁化率隨磁場(chǎng)的變化Fig. 4 The susceptibility varies with magnetic field

在以上圖中z0是表示有磁場(chǎng)無(wú)重力場(chǎng)時(shí)的情況, z1是磁場(chǎng)和重力場(chǎng)共存下的情況, z0和z1的值都是公式中z的取值.

圖1顯示, 當(dāng)μ為偶數(shù)(如μ=110σB)時(shí), 與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比, 重力場(chǎng)的加入使穩(wěn)定性加強(qiáng), 即重力場(chǎng)強(qiáng)化了系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 但這種影響隨溫度的升高在減弱; 當(dāng)μ為奇數(shù)(如μ=111σB)時(shí), 與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比, 重力場(chǎng)的加入使穩(wěn)定性隨溫度的變化存在著一轉(zhuǎn)折溫度T0, 當(dāng)溫度低于T0時(shí), 重力場(chǎng)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低, 當(dāng)溫度高于T0時(shí), 重力場(chǎng)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性加強(qiáng).

從圖2可看出, 無(wú)論μ為偶數(shù)還是奇數(shù), 與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比, 重力場(chǎng)的加入都使磁化率有所增加, 這種增加隨溫度的增加略有放大, 且磁化率隨溫度變化的特征不因重力場(chǎng)的加入而改變.

圖3表明, 單純強(qiáng)磁場(chǎng)下, 穩(wěn)定性隨磁場(chǎng)的增加出現(xiàn)規(guī)則振蕩, 振幅逐漸增加, 振蕩中心為一水平直線; 加入重力場(chǎng)后, 與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比, 振蕩中心稍微上移, 振幅增大, 相位幾乎不變.

圖4顯示, 單純強(qiáng)磁場(chǎng)下, 磁化率隨磁場(chǎng)的增加振蕩中心逐漸降低, 振幅逐漸增加; 與單純強(qiáng)磁場(chǎng)情況相比, 重力場(chǎng)的加入使磁化率增加, 但隨磁場(chǎng)的加強(qiáng)這種影響逐漸減弱. 當(dāng)高度減小時(shí), 重力場(chǎng)對(duì)磁化率的影響也降低.

5 結(jié) 論

本文基于強(qiáng)磁場(chǎng)條件, 根據(jù)半經(jīng)典近似的方法引入重力場(chǎng), 然后用理論解析和數(shù)值模擬的方法研究了重力場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)共存條件下費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性, 分析了強(qiáng)磁場(chǎng)背景下重力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性的影響. 研究表明, 從穩(wěn)定性隨溫度的變化來(lái)看, 與單純強(qiáng)磁場(chǎng)相比, 當(dāng)μ為偶數(shù)時(shí), 重力場(chǎng)強(qiáng)化系統(tǒng)穩(wěn)定性; μ為奇數(shù)時(shí), 重力場(chǎng)的加入使穩(wěn)定性隨溫度的變化存在著一轉(zhuǎn)折溫度T0, 當(dāng)溫度低于T0時(shí), 重力場(chǎng)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低, 當(dāng)溫度高于T0時(shí), 重力場(chǎng)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性加強(qiáng). 從磁化率隨溫度的變化來(lái)看, 無(wú)論μ為偶數(shù)還是奇數(shù), 重力場(chǎng)的加入都使磁化率有所增加. 從穩(wěn)定性隨磁場(chǎng)的變化看, 加入重力場(chǎng)后, 振蕩中心稍微上移, 振幅增大, 相位幾乎不變. 從磁化率隨磁場(chǎng)的變化看, 重力場(chǎng)的加入使磁化率減小, 但隨磁場(chǎng)的加強(qiáng)這種影響逐漸減弱.

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Study of the stability and paramagnetism of Fermi gas based on the semiclassical approximation

TIAN Qing-Song, MEN Fu-Dian, CHEN Xin-Long

(College of Science, China University of Petroleum(East China), Qingdao 266580, China)

Based on the semiclassical approximation, the energy spectrum of single fermion trapped in both gravitational field and strong magnetic field is given. By using Poisson’s formula, the thermodynamic potential function of Fermi gas is derived. Furthermore, by using the thermodynamic relationships, the analytical expressions of the stability and magnetic susptibility of the system at low temperature are obtained. The influence mechanism of gravitational field on the thermodynamic properties of the system in the background of strong magnetic field is analysed by numerical simulation.

Gravitational field; Strong magnetic field; Fermi gas; Stability; Paramagnetism

103969/j.issn.1000-0364.2015.12.025

2014-09-24

田青松(1988—)，男, 河南商丘人, 碩士研究生, 主要研究方向?yàn)榱孔咏y(tǒng)計(jì).E-mail: tqs728@126.com

門福殿. E-mail: menfudian@163.com

O414.1; O414.2

A

1000-0364(2015)06-1059-05