□ 李鐵王建營（.天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計所，天津武清30700；.天津市測繪院，天津西青30038）

基于時間序列的反向累加灰色模型在沉降預測中的應(yīng)用

□ 李鐵1王建營2
（1.天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計所，天津武清301700；2.天津市測繪院，天津西青300381）

根據(jù)沉降監(jiān)測系統(tǒng)的特點，結(jié)合灰色模型理論和時間序列分析，采用反向累加建立灰色模型，進行監(jiān)測數(shù)據(jù)序列趨勢項的提取，并對去趨勢項后的殘差利用時間序列進行建模，建立組合預報模型。對建筑物的實際沉降監(jiān)測進行了預報分析，與單一模型預報結(jié)果進行比較，表明組合模型在沉降監(jiān)測分析預報中要優(yōu)于單一模型，在工程中具有一定的可行性和實用性。

沉降監(jiān)測；反向累加灰色模型；時間序列；沉降預測

0.引言

對于沉降監(jiān)測系統(tǒng)而言，通常沉降過程是非平穩(wěn)的，監(jiān)測數(shù)據(jù)序列包括趨勢項和隨機項，采用單一的模型進行建模預測，精度不是很好。常規(guī)灰色模型的建立都是基于正向累加數(shù)據(jù)，往期監(jiān)測的數(shù)據(jù)占權(quán)重大，因此在沉降分析預報中隨著監(jiān)測周期的增加難免有不足之處。時間序列要求數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)，需對數(shù)據(jù)進行差分處理，這會導致精度不理想[1]。本文利用改進的反向累加灰色模型 以提取趨勢項，對剩余平穩(wěn)殘差采用時間序列 模型建模，達到了很好的預測精度。

1.反向累加灰色模型

1.1 反向累加原理

為原始序列，將該數(shù)列作一次反向累加生成得到新的數(shù)列：

1.2 模型的優(yōu)化及求解

灰色模型的精度與背景值密切相關(guān)。常規(guī)灰色模型直接取兩點之間的1/2，不可避免的產(chǎn)生以直代曲的誤差，以兩點區(qū)間之間的曲線與坐標軸軸圍成的面積作為背景值，更能夠準確地反映出背景值的真實情況，即取齊次指數(shù)曲線在兩點間的積分值。COM（1，1）模型優(yōu)化背景值為[2]：

則方程（1）的時間響應(yīng)序列為：

模擬值為：

2.基于時間序列的COM（1,1）模型的建立

2.1 時間序列方法

時間序列分析的基本思想是：對平穩(wěn)、正態(tài)、零均值分布的時序 xi｛｝，若xi的取值不僅與前n步的各個取值xi-1，xi-2，xi-3……xi-n有關(guān)，且與前m步的各個干擾ai-1，ai-2，ai-m，……ai-m（白噪聲）有關(guān)，則按多元線性回歸的思想，可得一般的ARMA模型，其表達式為：

記為ARMA（p，q）模型，式中p，q分別為自回歸部分和滑動平均部分的階次為相應(yīng)的自回歸系數(shù)和滑動平均系數(shù)[3]。

2.2 基于時間序列的反向累加灰色模型的建立

反向累加灰色預測模型能夠反映出沉降變化的趨勢,但在殘差中還包含小部分沉降量。因此，對建立的反向累加灰色模型可視為沉降數(shù)據(jù)的趨勢項，對原始數(shù)據(jù)序列消除趨勢項和周期項部分，得出數(shù)據(jù)殘差序列，用時間序列方法對殘差進一步分析，用以修正COM（1,1）模型，進而建立基于時間序列的反向累加灰色模型。其步驟如下：

1，2，……，n),進行反向累加，建立GOM（1,1）灰色模型；

（2）以GOM（1,1）灰色模型提取趨勢項，獲得數(shù)據(jù)殘差序列

（3）對殘差序列用利用時間序列模型進行建模，以AIC準則判斷模型的階次，并檢查模型的適用性。

（4）用改進反向累加COM（1,1）灰色模型和ARMA（1,1）模型的相結(jié)合組合模型進行預測：

其中x（0）（t+1）為COM（1,1）預測得到變形趨勢項，y（t+1）為時間序列模型預報得到隨機項序[3][4]。

3.算例分析

表1為某高層建筑物中10號監(jiān)測點2010年采集的沉降數(shù)據(jù)，首先以其前25期監(jiān)測數(shù)據(jù)分別建立COM（1,1）模型提取趨勢項,并對后10期數(shù)據(jù)進行預報，其擬合殘差數(shù)列見圖1，預報結(jié)果見圖2。

表1 某高程建筑物1-25期沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)（單位mm）

圖1 GOM建模擬合預報（單位：mm）

圖2 GOM模型提取趨勢向后擬合殘差圖（單位：mm）

由圖1去趨勢項后的前25期的殘差序列，可以看出監(jiān)測殘差序列明顯消除了趨勢性。利用AIC準則確定時間序列模型的階次為p=1，q=0，對殘差序列建立AR（1）模型。利用建立的AR（1）模型對監(jiān)測數(shù)據(jù)隨機項進行預測，并與GOM（1,1）模型預報得到的趨勢項相結(jié)合，其預測結(jié)果見表2。

表2 26-35期數(shù)據(jù)預測值與實測值（單位mm）

圖3 預測結(jié)果與實測值對比（單位：mm）

由表2可以得出單一的COM（1,1）預報殘差最大為0.22mm，均值在0.15mm左右；組合模型預報殘差明顯小于單一COM（1,1）模型，最大殘差為0.1mm，大部分預測殘差在0.05mm左右。且由圖3也可以明顯看出組合模型預測精度較高，并體現(xiàn)出了沉降數(shù)據(jù)趨勢項外的隨機性，因此對于高要求的沉降監(jiān)測系統(tǒng)來說，基于時間序列的反向灰色模型在沉降監(jiān)測預報分析中更有優(yōu)勢。

4.結(jié)論

沉降監(jiān)測系統(tǒng)是一個動態(tài)過程，新的監(jiān)測數(shù)據(jù)更能反映沉降趨勢的變化，采用反向累加能夠讓新的監(jiān)測數(shù)據(jù)在灰色系統(tǒng)中所占的權(quán)重大大增加，對于未來沉降趨勢變化預測更加準確。對殘差序列采用時間序列模型來修正COM（1,1）模型的預報結(jié)果，建立基于時間序列的反向累加灰色模型，不僅反映出建筑物沉降的趨勢性，更體現(xiàn)出其隨機性，符合沉降數(shù)據(jù)的規(guī)律。組合模型對監(jiān)測數(shù)據(jù)預測精度要優(yōu)于單一灰色模型，并且在實際工程中得到了良好的應(yīng)用，為建筑物的沉降監(jiān)測預報提供了參考。

【1】黃聲享,尹暉,蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理[M].武漢：武漢大學出版社，2010.

【2】羅黨，劉思峰，黨耀國.灰色模型GM（1，1）優(yōu)化[J].中國工程科學，2003（08）：50-53.

【3】王劍，張書華.變形預測的加權(quán)灰色GOM（1，1）模型與時序方法[J].礦業(yè)快報，2006（02）：25-27.

【4】陳啟華，文鴻雁，王文杰等.基于抗差估計的灰色模型與時間序列組合模型及其在變形監(jiān)測中的應(yīng)用[J].工程勘察，2012（08）∶51-54.

【5】徐進軍，王海成，白中潔.反向累加灰色模型的建立及其在沉降預測中的應(yīng)用[J].測繪信息工程，2012（02）：1-3.

P258

A

2095-7319（2015）03-0071-04

李鐵（1980—），男，大專，工程師，天津市武清區(qū)規(guī)劃建筑設(shè)計所，現(xiàn)在主要從事工程測量方面工作。