林 楠， 康改霞

(1.河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454000;2.平頂山礦區(qū)采煤沉陷區(qū)綜合治理辦公室， 河南 平頂山 467000)

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小波分析在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

林 楠1， 康改霞2

(1.河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454000;2.平頂山礦區(qū)采煤沉陷區(qū)綜合治理辦公室， 河南 平頂山 467000)

由于沉降監(jiān)測受觀測環(huán)境、儀器設(shè)備及觀測人員的影響較大，導(dǎo)致觀測數(shù)據(jù)與真實值之間存在誤差。應(yīng)用小波濾波理論，以MATLAB軟件為基礎(chǔ)平臺采用一維離散小波變換對沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行去噪處理。將數(shù)據(jù)進行高、低頻分解后對細節(jié)系數(shù)進行分析，并通過小波重構(gòu)得到的去噪數(shù)據(jù)對沉降發(fā)展趨勢進行預(yù)測。通過分析發(fā)現(xiàn)，小波細節(jié)系數(shù)能有效地發(fā)現(xiàn)沉降波動點，去噪后的數(shù)據(jù)能有效去除測量粗差。以此論證小波分析在沉降監(jiān)測中的可行性以及實用性，為施工建設(shè)提供有效的指導(dǎo)幫助。

小波去噪； 沉降觀測； 一維離散小波變換

小波分析是近20年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法，其克服了傅里葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力。時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)調(diào)整，一般情況下，在低頻部分(信號較平穩(wěn))可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率的分辨率;在高頻情況下(頻率變化不大)可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。因為這些特點，小波分析可以探測正常信號中的瞬態(tài)成分，并展示其頻率成分，被稱為數(shù)學顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個時頻分析領(lǐng)域。由于小波分析在信號去噪、信號奇異性檢測、特征提取、數(shù)據(jù)壓縮等方面有著獨特的優(yōu)勢，它在變形監(jiān)測中的應(yīng)用潛力很大。本文以實際工程為例，探討小波分析在沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)中的應(yīng)用并論證小波分析在工程應(yīng)用中的有效性及可行性。

1 一維離散小波變換理論[1-2]

1.1 基本理論

處理沉降觀測數(shù)據(jù)適合采用一維離散小波變換，選擇MALLAT算法。對信號s進行濾波處理，可以分為以下三步：

(1)分解過程，選擇合適的小波基，對原始數(shù)據(jù)信號進行小波分解；

(2)作用閾值過程，對分解的各層系數(shù)選擇一個閾值，并對細節(jié)系數(shù)做閾值處理，即去噪處理；

(3)重建過程，降噪處理后系數(shù)通過小波重建恢復(fù)原始信號。

對較大尺度的信號進行小波變換，選取其中的低頻部分在預(yù)案尺度上進行小波變換。即對給定的一個長度為N的信號s，第一步從原始信號s開始，產(chǎn)生兩組參數(shù)，一組是由低頻濾波器Lo_D得到的近似信號cA1，另一組是由高頻濾波器Hi_D得到的細節(jié)信號cD1，這兩組信號都是原信號在濾波器作用下以尺度為2的采樣。第二步對低頻信號cA1做同樣的高頻濾波和低頻濾波分別得到cD2與cA2，根據(jù)研究需要，可以對cA2繼續(xù)進行濾波分解。

圖1 信號小波分解示意圖

數(shù)學公式表示如下，若尺度為j，分解過程為：

f(x)=Aj-1f(x)=Ajf(x)+Djf(x)，

(1)

其中，信號在空間Vj上的投影為：

(2)

信號在空間Wj上的投影為：

(3)

Ajf(x)是信號f(x)的頻率不超過2-j的成分，Djf(x)是頻率介于2-j與2-j+1之間的成分。Vj空間尺度系數(shù)可以進一步分解下去。分別用cj和dj表示尺度j上的小波系數(shù)和尺度系數(shù)向量，表示為：

(4)

(5)

原始信號經(jīng)過濾波器處理之后，就像聲音經(jīng)過濾波處理產(chǎn)生高頻部分和低頻部分，僅僅獲取低頻部分同樣可以獲取聲音中的內(nèi)容信息，但由于去除了高頻部分，無法辨別聲音的發(fā)聲源。如果僅獲得高頻部分而放棄低頻部分，接收到的只是一堆噪音，而無法獲得有價值的信息。

去噪處理中，所選用的小波閾值既要從細節(jié)系數(shù)中提取出弱小的有用信號，又要保證在去噪過程中將有用高頻信息當作噪聲信號去除掉?；谛盘柦翟霚蕜t的光滑性與相似性，本次分析采用啟發(fā)式閾值選擇和極大極小原理選擇閾值進行去噪處理。

重建運算是小波分解的逆運算。將分解的近似信號和細節(jié)信號去噪后重新組合得到原始信號去噪后的平滑信號。重構(gòu)的信號為：

(6)

重建過程由尺度最低的近似系數(shù)cAj和細節(jié)系數(shù)cDj開始，分別通過低頻和高頻重構(gòu)濾波器，恢復(fù)上一尺度的cAj-1。依次重復(fù)此過程直到恢復(fù)出原始信號為止。

1.2 精度評價

對于去噪效果的評價，使用較廣的有以下兩種參考指標[3-4]。

(1)信噪比。信噪比是評價信號中去噪效果最廣泛使用的量度，信噪比越高說明濾波去噪的效果就越好。信噪比的表達式為

(7)

式中：p1為原信號的功率；p2為去噪信號的功率。

(2)均方根誤差。即原始數(shù)據(jù)與去噪數(shù)據(jù)之差的標準差的表達式為

(8)

式中：s為原始數(shù)據(jù)；s1為去噪數(shù)據(jù)。

2 工程實例

2.1 工程概況

本工程為合肥鐵路南站配套城市軌道交通土建工程基坑監(jiān)測，對合肥南站的1、4、5號線換乘站挖掘2處基坑，共布置監(jiān)測點94個，自2010年8月21日起先后進行了84次等間隔觀測(部分點由于施工原因和監(jiān)測需求，測量次數(shù)少于84次)。此次分析選用Q73號點數(shù)據(jù)，該點共計84次觀測。

2.2 小波分析處理方法及過程[6]

本文采用MATLAB編程語言實現(xiàn)小波算法[5]，選取db4小波進行3層分解。關(guān)鍵代碼為：

load Q74.txt; %將Q74號點的數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB程序中

s=Q74; %將Q74的84次觀測數(shù)據(jù)賦值給s

[c,1]=wavedec(s,3,’db4’); %對信號做尺度為3的db4小波分解

[cd1,cd2,cd3]=detcoef(c,l,[1,2,3]); %提取3層細節(jié)系數(shù)

ca3=appcoef(c,l.’db4’); %提取尺度3的近似系數(shù)

subplot(511)；plot(1:84,s);title(‘s’);

subplot(512)；plot(1:l(1),ca3);title(‘ca3’);

subplot(513)；plot(1:l(1),cd3);title(‘cd3’);

subplot(514)；plot(1:l(1),cd2);title(‘cd2’);

subplot(515)；plot(1:l(1),cd1);title(‘cd1’);

%將原信號s以及提取的3個尺度的細節(jié)系數(shù)和尺度3的近似系數(shù)圖形顯示出來

由以上操作得到圖2。

對數(shù)據(jù)進行降噪處理，采用啟發(fā)式閾值選擇和極大極小原理選擇閾值，并選用硬閾值，db4小波進行去噪。關(guān)鍵代碼為：

y1=wden(s,‘heursure’,‘h’,‘sln’,3,‘db4’); %啟發(fā)式閾值去噪

Y2=wden(s,‘minimaxi’,‘h’,‘sln’,3,‘db4’); %極大極小原理閾值去噪

thr1=thselect(s,‘heursure’); %啟發(fā)式閾值

thr2=thselect(s,‘minimaxi’); %極大極小原理閾值

重建小波代碼為：

A3=wrcoef(‘a(chǎn)’,c,l,‘db4’,3); %重建3層近似系數(shù)

D1=wrcoef(‘d’,c,l,‘db4’,1);

D2=wrcoef(‘d’,c,l,‘db4’,2);

D3=wrcoef(‘'d’,c,l,‘db4’,3); %重建1、2、3層細節(jié)系數(shù)

綜上得到去噪信號與原始信號對比圖(見圖3)。

圖2 原始數(shù)據(jù)s在db4小波下的尺度為3的分解示意圖

圖3 去噪重構(gòu)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比圖

2.3 數(shù)據(jù)分析與精度評價

由圖3可知兩種閾值去噪所得的數(shù)據(jù)都能大體表現(xiàn)出原始觀測數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢。原始信號s存在少量的高頻系數(shù)位于噪聲范圍之中時，選用的兩種閾值方法在去噪方面更加的保守方便[7]，能夠極大的提取出弱小的信號，不容易丟失真實的信號部分。聯(lián)系圖2可知，cd2與cd3的細節(jié)系數(shù)均相對平穩(wěn)，但cd1高頻系數(shù)較多，極大極小原理閾值去噪效果保持的較為穩(wěn)定，而啟發(fā)式閾值選擇保證了原數(shù)據(jù)大體趨勢，但細節(jié)顯示不明顯，可能是在去噪過程中將有用的信號高頻部分當作噪聲部分去除。根據(jù)兩種去噪的對比示意圖發(fā)現(xiàn)，啟發(fā)式閾值去噪的信號比較平滑，但丟失了部分的細節(jié)成分。而極大極小原理閾值去噪?yún)s很好地避免了這點缺陷。

對于極大極小原理選擇閾值去噪的數(shù)據(jù)其信噪比為131.762分貝，均方根誤差為0.120 5 mm，都在限定范圍之內(nèi),預(yù)測效果較好。由兩種降噪信號不難發(fā)現(xiàn)，從觀測開始一直到第60次觀測，基坑發(fā)生著持續(xù)沉降，波動較大的部分在9到20次觀測以及42到51次觀測之間，60次觀測后沉降趨于穩(wěn)定，但到了68次觀測時沉降又出現(xiàn)較大的波動。根據(jù)沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)以及圖表分析反饋的信息分析沉降出現(xiàn)較大波動的原因，由現(xiàn)場工程資料分析得，第71次觀測時在此基坑73號觀測點旁另一處基坑開始動工,可能使地層發(fā)生擠壓變形致使73號點繼續(xù)發(fā)生沉降。參照第68次觀測后的原始數(shù)據(jù)以及小波去噪數(shù)據(jù)可知，沉降仍不平穩(wěn)，且數(shù)據(jù)波動依舊很大，因此需要繼續(xù)對基坑進行沉降監(jiān)測，直至沉降平穩(wěn)為止。

2.4 結(jié)論

(1)小波分析方法能有效地去除觀測粗差，使去噪聲后的數(shù)據(jù)更接近真實數(shù)值。但需要選取合適的閾值，防止去噪過程中將高頻信號當作噪聲一并去除。

(2)對于沉降數(shù)據(jù)出現(xiàn)較大波動時，可以從細節(jié)系數(shù)(即高頻部分)及時的得到反饋，分析沉降出現(xiàn)較大波動的原因，為工程的順利進行提供參考依據(jù)。

3 結(jié)束語

本文應(yīng)用小波分析對基坑沉降數(shù)據(jù)進行了濾波去噪處理，并對處理結(jié)果進行了更深一步的分析。通過合肥南站基坑監(jiān)測工程實例發(fā)現(xiàn)，小波濾波去噪可以減小原始數(shù)據(jù)的誤差，濾波后得到的數(shù)據(jù)較原始數(shù)據(jù)更加平滑且真實可靠。對監(jiān)測數(shù)據(jù)突然出現(xiàn)較大變動時，小波濾波可以及時的反映出來。由本次工程可見小波分析具有較大實踐價值，對于沉降監(jiān)測具有很好的預(yù)測效果。

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Application of wavelet analysis in settlement data

LIN Nan1， KANG Gai-xia2

(1.SchoolofSurveyingandLandInformationEngineering,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China;2.ComprehensiveManagementOfficeofPingdingshanCoalMiningSubsidence,Pingdingshan467000,China)

Due to the observed deformation monitoring environmental impact, equipment and observers by leading real data and the actual observation data error exists. In this paper, denoising is made by means of wavelet filtering theory and MATLAB software-based platform with a one-dimensional discrete wavelet transform of data. After deviding the data into high and low frequency, detail coefficients are analyzed and wavelet reconstruction is made in detail. Finally we get noise-elimination data and predict the developing trend of sedimentation. The analysis revealed that the wavelet detail coefficients can effectively detect fluctuations settlement points, data denoised measures can effectively remove gross error. With this, the feasibility of wavelet analysis in subsidence monitoring and practicality is discussed, which provides effective guidance for construction.

wavelet denoising; settlement observation; one-dimensional discrete wavelet transform

2014-12-17

林 楠(1991-),男,安徽馬鞍山人,碩士研究生。

1674-7046(2015)02-0073-04

10.14140/j.cnki.hncjxb.2015.02.016

TU411.7;TU431

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