羅文生，倪 津，施 昆，楊建文

（1．昆明理工大學 國土資源工程學院，云南 昆明650093；2．云南省測繪產(chǎn)品檢測站，云南 昆明650034）

灰色模型是灰色系統(tǒng)理論的一個重要分支，自鄧聚龍教授首次提出以來，在農(nóng)業(yè)、交通、地質(zhì)、測繪、金融、生態(tài)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并取得了豐碩成果，產(chǎn)生了顯著的社會效益和經(jīng)濟效益［1－2］。GM（1，1）模型是灰色模型中迄今為止應(yīng)用最廣泛的模型之一，該模型計算簡便、實用廣泛，因此在灰色預(yù)測中占有重要地位［3］。目前國內(nèi)外在精化區(qū)域似大地水準面的常用方法主要有地球重力場模型法和數(shù)學模型擬合法。常用的地球重力場模型有EGM96、EGM2008，雖然其分辨率很高，但精度相對較低，并且相應(yīng)區(qū)域的重力數(shù)據(jù)很難獲取，不能滿足一般工程建設(shè)的實際需要［4］。數(shù)學模型擬合法包括曲線擬合法、曲面擬合法、非參數(shù)回歸法等，其對建模要求較高，并且要根據(jù)區(qū)域地形特征和對已知點數(shù)量的多少來選擇相適應(yīng)的數(shù)學模型，在地形復雜、控制點稀少的區(qū)域難以建立精確的似大地水準面模型。在缺少重力數(shù)據(jù)的區(qū)域，GM（1，1）模型建模不像一般的函數(shù)模型那樣，根據(jù)地形特征與已知點數(shù)量的多少決定選擇哪種數(shù)學模型更好，在已知控制點稀少，不用考慮地形特征的情況下，GM（1，1）模型建模的效果一樣很好。

本文針對GM（1，1）模型建模只需少量數(shù)據(jù)的優(yōu)勢，利用該模型來擬合高程異常值序列，并在我國地形復雜、交通不便、等級控制點稀少的偏遠山區(qū)建立了區(qū)域似大地水準面精化模型，以充分預(yù)測似大地水準面的變化趨勢，為工程建設(shè)提供保障。

1 似大地水準面精化的原理

近年來，在我國經(jīng)濟發(fā)達的中、小城市的地形圖測繪中，對厘米級似大地水準面的需求十分迫切，因此區(qū)域似大地水準面精化是一個國家或地區(qū)建立現(xiàn)代高程基準的主要任務(wù)之一［5］。在工程實踐中，利用GPS技術(shù)可以獲取基于WGS－84參考橢球的地面控制點的大地高H，同時利用常規(guī)的水準測量方法可以提取基于我國常用的正常高系統(tǒng)上的正常高h 由這兩種方式而建立的地面控制點成為GPS水準點。同一GPS水準點的大地高和正常高有如下的關(guān)系：

式中ζ稱為高程異常。

通常情況下，可通過離散點的高程異常值建立數(shù)學模型來擬合區(qū)域似大地水準面精化模型，從而求解待定點的高程異常值。高精度的區(qū)域似大地水準面所求取高程異常值結(jié)合GPS定位技術(shù)所獲得大地高可求得正常高。這能夠改變傳統(tǒng)高程測量作業(yè)模式，以滿足1∶1萬、1∶5000甚至更大比例尺測圖的迫切需要，加快數(shù)字中國、數(shù)字區(qū)域、數(shù)字城市等的建設(shè)，能夠節(jié)約大量人力、物力，產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟效益，因此具有特別重要的科學意義和社會效益。

2 GM（1，1）模型的建立

2．1 模型的建立

設(shè)某工程測區(qū)有n個GPS水準點，且各水準點的高程異常值已知，其相應(yīng)的高程異常值序列為ζ（0）＝ （ζ（0）（1），ζ（0）（2），…，ζ（0）（n））；其一次累加生成序列為ζ（1）＝ （ζ（1）（1），ζ（1）（2），…，ζ（1）（n））。且滿足

對式（2）在區(qū)間 ［ki，ki＋1］上積分，則有

令

于是求解得

以上是通過高程異常值序列建立GM（1，1）模型的過程，建模過程顯示，只需利用少量的GPS水準點就可以建立似大地水準面精化模型，并且可進行似大地水準面的變化趨勢的預(yù)測。

2．2 GM（1，1）模型的預(yù)測步驟

2．2．1 已知建模數(shù)據(jù)的檢驗與處理

為了保證GM（1，1）模型建模的可行性，通常需要對高程異常值序列進行檢驗處理。設(shè)建模需用的高 程 異 常 值 序 列 為 ζ（0）＝ （ζ（0）（1），ζ（0）（2），…，ζ（0）（n）），計算序列的級比為

2．2．2 建立過程與計算流程

根據(jù)式（1）可建立基于GM（1，1）模型的似大地水準面精化模型，本文采用MATLAB語言編程對建模算法加以實現(xiàn)，其計算流程［7］如圖1所示。

圖1 基于MATLAB軟件的建模算法流程

2．2．3 檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測值

對檢驗GM（1，1）模型的精度進行驗證，可保證模型的可靠性，方便以后利用模型進行預(yù)報。通?？刹捎脷埐钪导壉绕钪颠M行檢驗。

令殘差為ε（k），則

令級比偏差為ρ（k），則

通常認為，當ε（k），ρ（k）越小時，模型精度越高，達到的要求也越高。

2．2．4 GM（1，1）模型的預(yù)測預(yù)報

由GM（1，1）模型得到相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的預(yù)測值，根據(jù)似大地水準面精化模型的實際需要進行預(yù)測，給出似大地水準面的變化趨勢。

3 算例與分析

以云南省“興地睦邊”農(nóng)田整治重大項目的某工程為例，測區(qū)均勻布設(shè)了10個GPS控制點，采用Tri mble天寶接收機施測了四等GPS控制網(wǎng)，利用其后處理軟件進行基線處理，并在 WGS－84坐標系進行三維無約束網(wǎng)平差和在1980國家坐標系進行二維約束網(wǎng)平差，從而獲得控制點的平面坐標（x，y）和大地高H。高程控制測量采用四等光電測距三角高程測量，并對高差進行加常數(shù)改正、乘常數(shù)改正、大氣折光改正、地球曲率改正和溫度改正，獲得控制點的正常高h，由此得到了GPS控制點的三維坐標 （x，y，h），其成果見表1。

表1 測區(qū)GPS控制點的成果

根據(jù)GM（1，1）模型的建模及預(yù)測步驟，對工程測區(qū)的10個GPS控制點建立了似大地水準面精化模型，并對其精度進行驗證。

通過計算，得到GM（1，1）模型的各種計算及檢驗指標值的結(jié)果見表2。

表2 GM（1，1）模型的檢驗

由表2可知，利用GM 1 1模型建立的區(qū)域似大地水準面精化模型的殘差、相對誤差和級比偏差都很小，能夠有效地反應(yīng)似大地水準面的變化趨勢，滿足實際需求。

4 結(jié)束語

本文提出了一種利用灰色GM（1，1）模型來擬合高程異常值序列的方法，就其建模理論和計算流程進行了系統(tǒng)的介紹，采用MATLAB軟件可靠的計算功能和強大的函數(shù)資源［5］對算法加以實現(xiàn)，并以某區(qū)域似大地水準面精化數(shù)據(jù)為例，驗證了通過GM（1，1）模型建立區(qū)域似大地水準面精化模型的可行性。通過對模型的背景值進行重構(gòu)，殘差進行修正，擴展一些灰色模型的特性，可以提高建立似大地水準面模型的精度，進而更精確地預(yù)測似大地水準面的變化趨勢，為工程建設(shè)提供更有力的保障。

［1］ 鄧聚龍．灰理論基礎(chǔ)［M］．武漢：華中科技大學出版社，2002．

［2］ 謝乃明，劉思峰．多變量離散灰色模型及其性質(zhì)［J．系統(tǒng)工程理論與實踐，2008（6）：143－144．

［3］ 戴文戰(zhàn)，李俊峰．非等間距 GM（1，1）模型建模研究［J］．系統(tǒng)工程理論與實踐，2005（9）：89－90．

［4］ 雷偉偉，張鋒．區(qū)域似大地水準面精化模型算法的優(yōu)選［J］．測繪工程，2011，20（1）：33－34．

［5］ 袁士濤．灰色理論在精化大地水準面中的應(yīng)用［D］．成都：西南交通大學，2008：36－50．

［6］ 羅黨，劉思峰，黨耀國．灰色模型 GM（1，1）優(yōu)化［J］．中國工程科學，2003，5（8）：50－52．

［7］ 王穗輝，潘國榮．基于MATLAB多變量灰色模型及其在變形預(yù)測中的應(yīng)用［J］．土木工程學報，2005，38（5）：25－27．

［8］ 郭春喜，肖學年，王斌，等．GB／T 23709－2009區(qū)域似大地水準面精化基本技術(shù)規(guī)定［S］．北京：中國標準出版社，2009．

［9］ 徐紹銓，張華海，楊志強，等．GPS測量原理及應(yīng)用［M］．武漢：武漢大學出版社，2008．

［10］司守奎，孫璽菁．數(shù)學建模算法與應(yīng)用［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2013．