王 力 梅

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741000)

平凡擴(kuò)張代數(shù)上的ξ-Lie導(dǎo)子

王 力 梅

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741000)

ξ-Lie導(dǎo)子是導(dǎo)子以及Lie導(dǎo)子的推廣，設(shè)f為平凡擴(kuò)張代數(shù)(A⊕B)上的一個(gè)ξ-Lie導(dǎo)子，利用平凡擴(kuò)張代數(shù)上的運(yùn)算性質(zhì)，給出了f為平凡擴(kuò)張代數(shù)(A⊕B)上的ξ-Lie導(dǎo)子的充分必要條件。

平凡擴(kuò)張代數(shù)；ξ-Lie導(dǎo)子；導(dǎo)子

0 引 言

設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，A是定義在R上的有單位元的代數(shù)，M是代數(shù)A的雙邊模，Z(A)表示雙邊模的中心，f是代數(shù)A到M的線性映射，如果對(duì)于任意的a,b∈A，有f(ab)=f(a)b+af(b)，則稱f是導(dǎo)子；如果對(duì)于任意的a,b∈A，有f([a,b]ξ)=[f(a),b]ξ+[a,f(b)]ξ，則稱f是ξ -Lie導(dǎo)子，其中[a,b]ξ=ab-ξba為a與b的ξ -Lie積.顯然，當(dāng)ξ=0,1時(shí)，ξ -Lie導(dǎo)子分別是導(dǎo)子和lie-導(dǎo)子。

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)環(huán)及各類代數(shù)上的導(dǎo)子、Lie-導(dǎo)子及ξ-Lie導(dǎo)子等作了大量的研究，已取得了豐碩的研究成果。例如文獻(xiàn)[1]、[2]對(duì)環(huán)上的導(dǎo)子進(jìn)行了刻畫(huà)；文獻(xiàn)[3-7]對(duì)三角環(huán)及三角代數(shù)上的映射進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[8]、[9]給出了巴拿赫代數(shù)上的導(dǎo)子、Jordan導(dǎo)子、線性Lie-導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。有關(guān)平凡擴(kuò)張代數(shù)的結(jié)構(gòu)和相關(guān)性質(zhì)可參看文獻(xiàn)[10-12]。尤其文獻(xiàn)[12]對(duì)平凡擴(kuò)張代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子作了刻畫(huà)，受上述工作的啟發(fā)，本文對(duì)平凡擴(kuò)張代數(shù)上ξ-Lie導(dǎo)子進(jìn)行新的刻畫(huà)。

關(guān)于平凡擴(kuò)張代數(shù)的一些基本概念如下：

(A⊕B)={(a,m):a∈A,m∈M}表示由代數(shù)A和雙邊模M構(gòu)成的平凡擴(kuò)張代數(shù)，其中加法和乘法運(yùn)算定義如下：

(a,m)+(b,n)=(a+b,m+n),(a,m)(b,n)=(ab,an+mb)，?(a,m),(b,n)∈(A⊕B)

本文將平凡擴(kuò)張代數(shù)上線性映射寫(xiě)成如下形式，f(a,m)=(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),其中f11∶A→A,f12∶A→M,f21∶M→A,f22∶M→M,即f11是代數(shù)A上的線性映射，f12是代數(shù)A到雙邊模M上的線性映射，f21是雙邊模M到代數(shù)A上的線性映射，f22是雙邊模M上的線性映射。

1 主要定理

設(shè)f是平凡擴(kuò)張代數(shù)(A⊕B)上的一個(gè)線性映射，則f是(A⊕B)上的ξ-Lie導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的a∈A和m,n∈M，有

(i)f11和f12是ξ-Lie導(dǎo)子

(ii)f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξf21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

(iii)[f21(m),n)ξ+[m,f21(n)]ξ=0，

(iv)f22(ma-ξam)=[f22(m),a]ξ+[m,f11(a)]ξ

f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

證明 若f是平凡擴(kuò)張代數(shù)的ξ-Lie導(dǎo)子，則對(duì)于?(a,m),(b,n)∈(A⊕B)，

f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

[f(a,m),(b,n)]ξ=[(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m)),(b,n)]ξ

= (f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

= ([f11(a)+f21(m),b]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

[(a,m),f(b,n)]ξ

= (a,m)(f11)(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

= ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

故f([(a,m),(b,n)]ξ)=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ

= ([f11(a)+f21(m),b)]ξ,[f11(a)+f21(m),n]ξ+[f12(a)+f22(m),b]ξ)

+ ([a,f11(b)+f21(n)]ξ,[m,f11(b)+f21(n)]ξ+[a,f12(b)+f22(n)]ξ)

= ([f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ,

[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ)記x=[f11(a),b]ξ+[f21(m),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ

y=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ+[f12(a),b]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f12(b)]ξ+[a,f22(n)]ξ

又由于

f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))

=f((ab-ξba),(an+mb)-ξ(bm+na))

= (f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))

(1)

由(a,m)和(b,n)的任意性，令m=n=0并代入(1)有

f11((ab-ξba))=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ

f12(ab-ξba)=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ

因此，f11，f12是ξ-Lie導(dǎo)子

將上述結(jié)果代入(1)有

f21(an-ξna+mb-ξbm)=[f21(m),b]ξ+[a,f21(n)]ξ

(2)

f22(an-ξna+mb-ξbm)=[f11(a),n]ξ+[f21(m),n]ξ

+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ+[a,f22(n)]ξ

(3)

在(2)中令n=0,b=a有f21(ma-ξam)=[f21(m),a]ξ

(4)

在(2)中令m=0有f21(an-ξna)=[a,f21(n)]ξ

在(3)中令n=0有f22(mb-ξbm)=[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ

在(3)中令m=0有f22(an-ξna)=[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ

在(3)中令a=0有f22(mb-ξbm)=[f21(m),n]ξ+[f22(m),b]ξ+[m,f11(b)]ξ+[m,f21(n)]ξ

(5)

由(4)和(5)[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

下證充分性

f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m)=(f11((ab-ξba))+f21(an-ξna+mb-ξbm),f12(ab-ξba)+f22(an-ξna+mb-ξbm))由已知條件知，上式=([f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ,

[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ)

現(xiàn)設(shè)

x1=[f11(a),b]ξ+[a,f11(b)]ξ+[a,f21(n)]ξ+[f21(m),b]ξ

y1=[f12(a),b]ξ+[a,f12(b)]ξ+[f11(a),n]ξ+[a,f22(n)]ξ+[m,f11(b)]ξ+[f22(m),b]ξ

由于[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ=0

令y2=y1+[f21(m),n]ξ+[m,f21(n)]ξ

則f([(a,m),(b,n)]ξ)=f((a,m)(b,n)-ξ(b,n)(a,m))=(x1,y1)=(x1,y2)

=(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))(b,n)-ξ(b,n)(f11(a)+f21(m),f12(a)+f22(m))

+(a,m)(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))-ξ(f11(b)+f21(n),f12(b)+f22(n))(a,m)

=[f(a,m),(b,n)]ξ+[(a,m),f(b,n)]ξ。

[1]Bresar M.A note on derivations[J].Math J Okayama Univ,1990，(32):83-88.

[2]Lee T K,Lin J S.A result on derivations[J].Proc Amer Math Soc,1996,(124):1687-1691.

[3]An R,Hou J.Characterizations of derivations on triangular rings:Additive maps derivable at idempotents[J].Linear Algebra Appl,2009,431:1070-1080.

[4]Cheung W.Liederivations of triangular algebras[J].Linear Multilin Algebra,2003,51:299-310.

[5]Cheung W.Mappings on triangular algebras[M].Victoria:University of Victoria,2000.

[6]Pei S J,Wei Q Q.Characterizations ofLiederivations of triangular algebras[J].Linear Algebra Appl,2011,435(05):1137-1146.

[7]Zhang J,Yu W.Jordan derivations of triangular algebras[J].Linear Algebra Appl,2006,419:251-255.

[8]Lu F.Characterizations of derivations and Jordan derivations on Banach algebras[J].Linear Algebra Appl,2009,430:2233-2239.

[9]Lu F,Jing W.Characterizations ofLiederivations of B(X)[J].Linear Algebra Appl,2010,432:89-99.

[10]Ghahramn H.Jordan derivations on trival extension algebra[J].Bulletin Iranian Math Soc,2013,39(04):635-645.

[11]Zhang Y.Weak amenability of module extensions of Banach algebras[J].Trans Amer Math Soc,2002,354(10):4131-4151.

[12]Hughes D,Waschb J.Trival extensions of tilted algebras[J].Proc London Math Soc,1983,88(03):347-364.

[責(zé)任編輯：鄭秀亮 英文編輯：劉彥哲]

ξ-LieDerivation on Ordinary Extension Algebras

WANG Li-mei

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu 741000,China)

ξ-Liederivation is the extension of derivation andLie-derivation.Letfbe a linear mapping on the ordinary extension algebra(A⊕B),a sufficient and necessary condition which isξ-Liederivation is given in this paper.

ordinary extension algebra;ξ-Liederivation;derivation

王力梅(1980-)，女，甘肅蘭州人，講師，主要研究方向?yàn)榄h(huán)上的導(dǎo)子。

O 153.3

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.002

來(lái)稿日期：2015-05-22