雷丹， 王源昌， 張芬

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 問(wèn)題的提出

隨著我國(guó)改革的不斷深化和經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)化程度的提高,我國(guó)保險(xiǎn)公司之間的競(jìng)爭(zhēng)也越來(lái)越激烈.很多保險(xiǎn)公司都通過(guò)降低保費(fèi)來(lái)擴(kuò)大公司的市場(chǎng)占有率,造成有些保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)越來(lái)越低，出現(xiàn)虧損.這樣一來(lái),合理地利用保險(xiǎn)資金進(jìn)行投資,獲得利潤(rùn),對(duì)保險(xiǎn)公司的生存和發(fā)展都至關(guān)重要.保險(xiǎn)公司應(yīng)該在有效控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下,選擇最優(yōu)的投資方案,盡可能地提高投資收益率[1].

傳統(tǒng)的最優(yōu)投資問(wèn)題分析為簡(jiǎn)化計(jì)算,都假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是確定的.但事實(shí)上，利率會(huì)不斷調(diào)整,具有隨機(jī)性.對(duì)利率隨機(jī)性的研究在近年來(lái)逐步受到重視,人們開(kāi)始注意到由利率隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)是相當(dāng)大的[2].

本文分別在常利率模型和隨機(jī)利率模型下,利用隨機(jī)最優(yōu)控制的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資比例進(jìn)行求解.對(duì)兩種模型得出的結(jié)果進(jìn)行比較,表明了考慮隨機(jī)利率的必要性.這對(duì)保險(xiǎn)公司更加合理的運(yùn)用保險(xiǎn)資金進(jìn)行投資有重要的理論和實(shí)際意義.

2 模型構(gòu)建與求解

2.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法簡(jiǎn)介

設(shè)(t,x)∈[0,T]×Rn,考慮下面的狀態(tài)方程

成本函數(shù)為

定義它的值函數(shù)為

其中X(·)是初始值條件為X(t)=x，與控制u(·)一致的狀態(tài)過(guò)程.

命題2.1.2 如果V(·,·)、Vt(·,·)、Vx(·,·)、Vxx(·,·)都是連續(xù)的，則V(·,·)滿足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman方程

2.2 模型的建立

設(shè)N是一個(gè)參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，Yi>0,i=1,2,…是獨(dú)立同分布序列，取值為非負(fù)，且{Yi}與N相互獨(dú)立.c>0，令

模型假設(shè)：

(1)用于投保的初始資金X0=x;

(2)投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資金比例是由公司自己決定的;

(3)公司的決策總是為了實(shí)現(xiàn)終端財(cái)富的期望效用最大化;

(4)沒(méi)有交易費(fèi)用;

(5)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率.

公司的總資產(chǎn)變化滿足如下隨機(jī)微分方程[4]

2.3 常利率模型下求解保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資問(wèn)題

最大化終端財(cái)富的期望效用函數(shù)為目標(biāo)：設(shè)T是終端時(shí)刻，效用函數(shù)為U(x)，值函數(shù)

首先給出該問(wèn)題的HJB方程

(1)

解得

代入方程(1)中，整理可得

(2)

設(shè)保險(xiǎn)公司追求期末財(cái)富效用最大化，在這個(gè)過(guò)程中，資金的安全性非常重要.所以在效用函數(shù)是常系數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情況下討論.

其中g(shù)(·)是一個(gè)待定的函數(shù)，由邊值條件有g(shù)(0)=0.在這種情況下易得

代入方程(2)中，整理可知g(·)需要滿足如下方程

積分并令g(0)=0，則有

(3)

2.4 隨機(jī)利率下求解保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資問(wèn)題

公司的總資產(chǎn)變化滿足如下隨機(jī)微分方程

式中v為初始盈余.

Vasicek隨機(jī)利率模型為

最大化終端財(cái)富的期望效用函數(shù)為目標(biāo)：設(shè)T是終端時(shí)刻，效用函數(shù)為U(x)，值函數(shù)

首先給出該問(wèn)題的HJB方程

(4)

其中

對(duì)其求最大值，將上式對(duì)π求導(dǎo)，并令其等于零可得

解得

代入方程(4)中，整理可得

(5)

其中g(shù)(·)是一個(gè)待定的函數(shù)，由邊值條件有g(shù)(0)=0.在這種情況下易得

代入方程(5)中，整理可知g(T-t)需要滿足如下方程

積分并令g(0)=0，則有

(6)

其中λ=1+r(T-t).

3 實(shí)證分析

本論文在建立模型時(shí),假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率是比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率高的.但是由于全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)的影響,從2007年開(kāi)始,投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率普遍下降,低于存款利率,有時(shí)還是負(fù)值.所以在對(duì)本模型的實(shí)證研究中,采取2005年全年以及2006年上半年的數(shù)據(jù).

3.1 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的確定[6]

我國(guó)以銀行存款利率作為金融資產(chǎn)定價(jià)的基準(zhǔn),所以采用銀行存款利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.本文采用一年期的定期存款利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),那么,利率的平均值就可以作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率.本文收集了從1990年1月至2012年7月的中國(guó)人民銀行公布的一年期定期存款利率,計(jì)算得平均值為rf=4.27%,波動(dòng)率為σf=0.007 89.

3.2 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的確定

選取上證國(guó)債指數(shù)、上證企債指數(shù)、上證180指數(shù)和上證基金指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).選取從2005年1月至2006年6月之間的收盤(pán)數(shù)據(jù)作為研究樣本,計(jì)算其年平均收益率作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率.計(jì)算其方差,作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 四種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的年平均收益率及波動(dòng)率

對(duì)四種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率和波動(dòng)率取平均值,來(lái)作為投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率和波動(dòng)率.計(jì)算得μ=20.46%,σs=4.97%.

在計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)時(shí),采用的是1992年1月至2012年7月的數(shù)據(jù),計(jì)算得ρ=-0.31.

3.3 實(shí)證研究

采用中國(guó)人壽保險(xiǎn)公司的投資情況來(lái)做實(shí)證研究.在2005年全年和2006年上半年中，中國(guó)人壽保險(xiǎn)公司可用來(lái)進(jìn)行投資的資金平均為55 921 900萬(wàn)元.風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)為0.5.

將以上計(jì)算所得的數(shù)據(jù)代入(3)式和(6)式中，計(jì)算得，在不考慮利率的隨機(jī)性的情況下，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為0.000 306%.在考慮了利率隨機(jī)性的情況下，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為5.45%.而在實(shí)際情況中,中國(guó)人壽保險(xiǎn)公司投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為4.2%(本數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)人壽2005年報(bào)和2006中報(bào)).顯然,在考慮了利率隨機(jī)性的情況下,計(jì)算所得的比例更接近實(shí)際情況.

4 結(jié)束語(yǔ)

保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資比例問(wèn)題是近年來(lái)學(xué)術(shù)界關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，但是現(xiàn)有的研究很少考慮到利率的隨機(jī)性.本文在考慮隨機(jī)利率的情況下,建立了HJB方程.同時(shí)，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司在投資時(shí)，最重要的是保證資金的安全性，所以采用指數(shù)效用函數(shù)作為保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)，解出了最優(yōu)投資比例.

最后將求解的結(jié)果運(yùn)用到實(shí)際中，采用中國(guó)人壽保險(xiǎn)公司的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證.結(jié)果顯示，考慮了利率的隨機(jī)性的模型,計(jì)算出的結(jié)果更加符合實(shí)際，也就更加的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義.

[1] BROWNE S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process exponential utility and minimizing the probability of ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4):937-958.

[2] TAKSAR M,MARKUSEEN C.Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios[J].Finance Stochastics,2003(7):97-121.

[3] 郭文旌.保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略選擇[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2010,29(1):144-149.

[4] 袁遠(yuǎn),施齊焉.基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程求解保險(xiǎn)業(yè)最優(yōu)投資策略[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2012,29(4):105-110.

[5] 榮喜民,范立鑫.常彈性方差保險(xiǎn)模型下保險(xiǎn)人的最優(yōu)投資策略[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2012，32(12),2619-2628.

[6] 張景肖.隨機(jī)最優(yōu)控制及其在保險(xiǎn)中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2013.