林 楠，史葦杭，魏 斌

(1.鄭州大學(xué) 軟件技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州450002;2.鄭州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州450002)

0 引 言

近年來，越來越多的科學(xué)家對(duì)傳感器網(wǎng)絡(luò)的分布式濾波問題進(jìn)行了研究［1，2］。分布式濾波中，傳感器通過拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)連接，且可以接收其自身感測(cè)的數(shù)據(jù)并通過互聯(lián)網(wǎng)傳輸信息。因此，如何處理傳感器之間的復(fù)雜耦合關(guān)系成為設(shè)計(jì)分布式濾波器的最重要的問題之一［3，4］。H∞濾波方法與其它濾波器相比提供了一個(gè)最壞情況下的估計(jì)誤差界限，并且不需要噪聲統(tǒng)計(jì)知識(shí)，因此，被廣泛地應(yīng)用到實(shí)際工程中，并成為控制領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

傳感器網(wǎng)絡(luò)的通信介質(zhì)的可靠性受到外部環(huán)境的影響，并且數(shù)據(jù)包丟失在期望上的統(tǒng)計(jì)量很難獲取［5，6］。因此，需要在傳感器網(wǎng)絡(luò)分布式估計(jì)中對(duì)數(shù)據(jù)包丟失的不確定性進(jìn)行分析，無論是本地傳感器還是相鄰傳感器的數(shù)據(jù)包丟失。

在分布式H∞濾波的研究上，吳博等人［7］通過使用穩(wěn)態(tài)Kalman 濾波器對(duì)多個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的輸出信號(hào)進(jìn)行濾波，提出一種帶濾波的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSNs)的H∞控制算法。馮肖亮等人［8］利用測(cè)量值擴(kuò)維的方法，提出基于多傳感器的序貫式融合有限域H∞濾波方法。李秀英等人［9］通過定義新的變量，將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)，提出一種具有一步隨機(jī)時(shí)滯和多丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞濾波器設(shè)計(jì)方法。Dong Hongli 等人［10］提出一種有損傳感器網(wǎng)絡(luò)Markov跳躍非線性時(shí)滯系統(tǒng)的分布式H∞濾波器。Jiang Bin 等人［11］通過分析與設(shè)計(jì)全階H∞濾波器，提出基于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的T-S 模糊模型法的濾波器設(shè)計(jì)方案。

1 問題建模

采用Hn來表示n 維的歐氏空間，用Hn×k來表示所有n×k矩陣的集合。用x 表示隨機(jī)向量，用‖x‖表示向量x的歐幾里得范數(shù)，用I 表示單位矩陣［12，3］。E(x)，E(x|y)分別為隨機(jī)變量x 的期望和在條件y 下x 的期望。

x(t)為狀態(tài)向量，z(t)為被估計(jì)的信號(hào)，線性離散時(shí)間系統(tǒng)的表達(dá)如下

式中 c(t)為外界干擾輸入，而m 只傳感器服從隨機(jī)數(shù)據(jù)包丟失的情況如下

式中 ys(t)為通過傳感器s 接收到的來自線性離散時(shí)間系統(tǒng)的測(cè)量輸出。As(t)為伯努利分布隨機(jī)變量。

假設(shè)有N 個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)分布在空間并通過一個(gè)固定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無線網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行連接。傳感器網(wǎng)絡(luò)通過一個(gè)有向圖G={V，E}進(jìn)行表示，V=(v1，…，vN)表示傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)集合，E=(e1，…，em)表示鏈路集合。來自節(jié)點(diǎn)vj的信息有以下基于狀態(tài)跟蹤的形式來接收隨機(jī)丟包

其中，xj(t)'為在傳感器vj的xj(t)估算值。λj(t)為Aj(t)伯努利分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，它代表著傳感器之間的分組傳輸。

代入式(2)～式(3)中得到

為了使分析更加方便，引入另一個(gè)符合伯努利分布的隨機(jī)參數(shù)Si(t)，定義

可以結(jié)合這兩個(gè)獨(dú)立的進(jìn)程為一個(gè)，得到

根據(jù)實(shí)際環(huán)境的復(fù)雜性，討論不確定預(yù)期的丟包率。如果Sj(t)=1，則Ai(t)=λi(t)=1?？梢缘玫?/p>

Si(t)的數(shù)學(xué)期望可以被描述如下

本文中，假設(shè)R{Si(t)}的不確定性是范數(shù)有界的，0≤|Si|≤γi≤1，定義，得到

因此，通過傳感器i 所接收到的信息可以用線性離散時(shí)間系統(tǒng)表示為

接著，在傳感器i 上采用濾波器

濾波器的初始值是xi(0)'=0，i=1，2，…，N。

將式(8)代入式(9)可得

令估計(jì)誤差和濾波誤差分別為

對(duì)于節(jié)點(diǎn)i 可以得到管理濾波誤差的線性離散時(shí)間系統(tǒng)

2 分布式H∞濾波

在本節(jié)中，在均方意義上對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問題，采用一個(gè)丟包的不確定數(shù)學(xué)期望來進(jìn)行討論。通過采用參數(shù)依賴Lyapunov 泛函的方法和隨機(jī)分析技術(shù)來獲取可驗(yàn)證性條件，最終目的是找到最佳的濾波器參數(shù)φi。

其中

最后可以得到濾波器參數(shù)φi為

3 算例分析

假設(shè)有一個(gè)線性離散時(shí)間系統(tǒng)，如下所示

傳感器網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通過一個(gè)節(jié)點(diǎn)集合為V=(1，2，3)，鏈路集合為E={(1，1)，(1，2)，(2，2)，(2，3)，(3，3)}的有向圖G={V，E，L}表示，鄰接矩陣L 表示為

傳感器節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)性用參數(shù)描述為w1=［0，－0.2］，w1=［0.1，－0.2］，w1=［0.2，0.4］。

表1 對(duì)于不同的Si 況下γi 和φi 取值Tab 1 Value of γi and φi with different

表1 對(duì)于不同的Si 況下γi 和φi 取值Tab 1 Value of γi and φi with different

圖1 給出了在相同情況下，通過200 次Monte—Carlo 測(cè)試本文濾波器和文獻(xiàn)［10］的Markov 跳躍非線性時(shí)滯系統(tǒng)的分布式H∞濾波器、文獻(xiàn)［11］的T-S 模糊模型法的濾波器的比較結(jié)果。

圖1 真值與濾波值的對(duì)比情況Fig 1 Comparison of true value and filtering value

從圖1 的對(duì)比結(jié)果可以看出:本文所提出的估計(jì)算法的濾波精度高于文獻(xiàn)［10，11］的濾波算法，其中，文獻(xiàn)［10］的濾波算法與真值的偏差較大，而本文算法的濾波曲線貼近于真值的曲線。由此可見，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，即當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)存在不確定性丟包時(shí)，本文濾波算法更加有效。

對(duì)濾波器進(jìn)行了100 次的蒙特—卡羅仿真，得到了估計(jì)值與實(shí)際值之間的誤差。如圖2 所示，隨著仿真步數(shù)的增長，三種濾波器的誤差值呈現(xiàn)不穩(wěn)定的變化，本文濾波器的誤差在(0.005 4，0.015 4)包之間，文獻(xiàn)［10］濾波器在(0.007 8，0.017 2)包之間，文獻(xiàn)［11］濾波器的誤差在(0.009 4，0.018 9)包之間。由于信號(hào)干擾導(dǎo)致測(cè)量值的丟失，估算值與實(shí)際值往往存在著偏差，本文正是基于測(cè)量數(shù)據(jù)不確定丟失的問題進(jìn)行了建模，并通過最佳的濾波器參數(shù)來減少估算誤差。從數(shù)值上可以看出:本文濾波器的絕對(duì)誤差估計(jì)比另外兩種濾波器更加有效。

圖2 絕對(duì)誤差估計(jì)Fig 2 Absolute error estimation

為了進(jìn)一步地分析網(wǎng)絡(luò)不確定性因素對(duì)濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。在圖2 的基礎(chǔ)上，增加了網(wǎng)絡(luò)延時(shí)、數(shù)據(jù)丟包因素，設(shè)置網(wǎng)絡(luò)每發(fā)送一次數(shù)據(jù)延遲0.05 ms，數(shù)據(jù)丟包率為7.3%，在這種網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)下算法濾波的誤差值。從圖3 中的結(jié)果可以看出:本文算法的濾波誤差值的變化范圍在(0.006 1，0.016 2)包之間，相比圖2 中的情況，受到網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)變化后的誤差值有少許增加。文獻(xiàn)［10］的變化范圍為(0.009 2，0.018 4)包，受到網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)影響時(shí)誤差值的變化最大。文獻(xiàn)［11］的變化范圍為(0.010 5，0.018 6)，在網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)剛發(fā)生變化時(shí)，誤差值增大，之后最大的誤差值不超過之前的0.018 9，但從曲線的總體分布情況來看仍高于本文提出的分布式H∞濾波算法。

圖3 在其他網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)下的絕對(duì)誤差Fig 3 Absolute error value in other network status

4 結(jié) 論

本文提出一種基于傳感器丟包率不確定性預(yù)測(cè)的分布式H∞濾波算法，通過管理濾波誤差的線性離散時(shí)間系統(tǒng)，在均方意義上對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問題進(jìn)行了討論，并且采用參數(shù)依賴Lyapunov 泛函的方法和隨機(jī)分析技術(shù)來獲取可驗(yàn)證性條件，通過找到最佳的濾波器參數(shù)來最終實(shí)現(xiàn)H∞濾波的穩(wěn)定性和精確性。在實(shí)驗(yàn)中通過與Markov跳躍非線性時(shí)滯系統(tǒng)的分布式H∞濾波器和T-S 模糊模型法的濾波器進(jìn)行對(duì)比，體現(xiàn)出本文濾波算法的有效性。

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