程可欣，彭振赟

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

非線性矩陣方程

其中A，X∈Rn×n，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)理論、自動(dòng)控制理論等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，得到了國內(nèi)外專家、學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)［1］研究了矩陣方程（1）有正定解的充分必要條件，并提出求解的有效算法。文獻(xiàn)［2］應(yīng)用直接法求解矩陣方程（1），并給出方程有正定解的充分必要條件。文獻(xiàn)［3］研究了矩陣方程X＝Q＋NX－1N＊正定解的迭代算法。文獻(xiàn)［4］研究了求解方程X＋A＊X－1A＝I和X－A＊X－1A＝I的極值解的不動(dòng)點(diǎn)迭代法和牛頓法迭代算法。文獻(xiàn)［5］給出了求解矩陣方程X＋A＊X－αA＝Q的最大對(duì)稱正定解的不動(dòng)點(diǎn)迭代法，并討論了算法的收斂性問題。文獻(xiàn)［6］給出了矩陣方程X＝Q＋AH（I?X－C）－1A的等價(jià)形式及求解的牛頓迭代解法。

近年來，形如方程（1）的矩陣方程的求解方法研究雖然取得了很多的研究成果，但關(guān)于此類非線性矩陣方程對(duì)稱解的求解方法的研究卻不是很多。為此，運(yùn)用牛頓迭代解法求解非線性矩陣方程（1）的對(duì)稱解，然后對(duì)牛頓法每一步迭代所計(jì)算出的線性矩陣方程應(yīng)用修正共軛梯度法（MCG）［7－10］，求得它的對(duì)稱解或最小二乘對(duì)稱解，從而建立求解方程（1）對(duì)稱解的雙迭代算法。

1 牛頓迭代解法

記Rn×n為n×n階矩陣的集合，SRn×n為n×n階實(shí)對(duì)稱矩陣的集合，I為n×n階單位矩陣，AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置，‖A‖為矩陣A的Frobenius范數(shù)。

引入矩陣函數(shù)：

則求解矩陣方程（1）的解等價(jià)于求解方程F（X）＝0的解。矩陣函數(shù)F（X）在X處方向?yàn)镋的Fréchet導(dǎo)數(shù)為

因此，牛頓法求解非線性矩陣方程（1）的迭代格式可描述為算法1。

算法1 牛頓法求矩陣方程（1）的迭代格式。

1）給出初始矩陣X0＝I，誤差容許值ε＞0，令k∶＝0。

2）若‖F(xiàn)（Xk）‖≤ε，則停止；否則，求Ek∈SRn×n，使得

3）計(jì)算Xk＋1＝Xk＋Ek。

4）置k∶＝k＋1，轉(zhuǎn)步驟2）。

類似于文獻(xiàn)［11－12］中關(guān)于牛頓迭代法求非線性矩陣方程的收斂性結(jié)論的證明，易證如下結(jié)論成立：假設(shè)X＊是方程（1）的零點(diǎn)，且取初始矩陣X0＝I，則由算法1生成的矩陣序列｛Xk｝收斂于X＊。此外，牛頓法的關(guān)鍵是求解線性矩陣方程（4），但由于截?cái)嗾`差的存在，對(duì)牛頓法中的某個(gè)迭代步k，矩陣方程（4）可能沒有解Ek∈SRn×n，此時(shí)可通過求它的最小二乘解∈SRn×n代替，這也是雙迭代算法的一個(gè)特點(diǎn)。

2 MCG迭代解法

矩陣方程（4）等價(jià)于

其中：

問題1 若矩陣方程（5）有解E∈SRn×n，求E∈SRn×n使得矩陣方程（5）成立。

問題2 若矩陣方程（5）無解E∈SRn×n，求~E∈SRn×n，使得

2.1 問題1的MCG迭代算法

算法2 MCG法求矩陣方程（5）的迭代格式。

1）任意給定初始矩陣E1∈SRn×n，置k∶＝1，計(jì)算：

2）若Rk＝0，或者Rk≠0且Qk＝0，則停止計(jì)算，否則，計(jì)算

3）計(jì)算：

4）置k∶＝k＋1，轉(zhuǎn)步驟2）。

由文獻(xiàn)［7］的算法收斂性證明，可得算法2的收斂性結(jié)果（定理1）。

定理1 對(duì)任意初始矩陣E1∈SRn×n，若矩陣方程（5）有對(duì)稱解，則算法2可在有限步計(jì)算后求得矩陣方程（5）的一個(gè)對(duì)稱解；若取初始矩陣E1滿足

其中H∈Rn×n，特別地，取E1＝0∈SRn×n，則算法2可在有限步計(jì)算后，得到矩陣方程（5）的唯一極小范數(shù)對(duì)稱解；若矩陣方程（5）無對(duì)稱解，則它的充要條件是迭代過程中存在正整數(shù)k，可由算法2得到Rk≠0，Qk＝0。

2.2 問題2的MCG迭代算法

在算法2中，當(dāng)Rk≠0，Qk＝0時(shí)，算法中斷，即問題1無該類對(duì)稱解，則此時(shí)對(duì)問題迭代步2）有如下結(jié)論成立。

定理2 求滿足問題2的對(duì)稱最小二乘解等價(jià)于求矩陣方程（5）的非對(duì)稱解＾E，即求

使得

2）若Rk＝0，則計(jì)算

停止計(jì)算；否則，計(jì)算：

3）計(jì)算：

4）置k∶＝k＋1，轉(zhuǎn)步驟2）。

由文獻(xiàn)［10］可知，算法3有如下收斂性結(jié)論：

定理3 對(duì)任意初始矩陣∈Rn×n，算法3可在有限步計(jì)算后，求得矩陣方程（5）的一個(gè)一般解，從而可得的最小二乘對(duì)稱解。若取初始矩陣

其中H∈Rn×n，特別地，?。?∈SRn×n，則算法3可在有限步計(jì)算后，得到的唯一極小范數(shù)對(duì)稱解，也即矩陣方程（5）的唯一極小范數(shù)最小二乘對(duì)稱解。

2.3 求非線性方程（1）對(duì)稱解的雙迭代算法

算法4 雙迭代法求矩陣函數(shù)（2）的零點(diǎn)迭代格式。

1）給定初始矩陣E1∈SRn×n，置k∶＝1。

2）若‖F(xiàn)（Xk）‖＝0，則停止計(jì)算，否則，轉(zhuǎn)算法2，求Ek∈SRn×n，使得矩陣方程（5）成立；若算法2中斷，則轉(zhuǎn)算法3，求∈SRn×n，使得

3）計(jì)算：

k∶＝k＋1，轉(zhuǎn)步驟2）。

因方程（2）是矩陣方程（1）的矩陣函數(shù)，從而可知求解矩陣方程（1）對(duì)稱解的雙迭代算法。算法的收斂性由算法1、2、3的收斂性確定。

3 數(shù)值實(shí)例

給定矩陣A：

則由文獻(xiàn)［2］中的定理知，矩陣方程（1）有正定 解，按算法4迭代118步，得矩陣方程（1）的解為：

由此可得，

4 結(jié)束語

通過給出求解非線性矩陣方程X－ATX－1A＝I的牛頓迭代格式，求出該矩陣方程的對(duì)稱解，再應(yīng)用修正共軛梯度法求解由牛頓法每一步迭代所得到的線性矩陣方程對(duì)稱解，從而建立了求解此類非線性矩陣方程對(duì)稱解的雙迭代算法。數(shù)值例子證實(shí)了雙迭代算法的有效性。

［1］Engwerda J C.On the existence of a positive definite solution of the matrix equationX＋ATX－1A＝I［J］.Linear Algebra and its Applications，1993，194：91－108.

［2］Zhan Xingzhi，Xie Jianjun.On the matrix equationX＋ATX－1A＝I［J］.Linear Algebra and its Applications，1996，247：337－345.

［3］Ferrante A，Levy B C.Hermitian solutions of the equationX＝Q＋NX－1N＊［J］.Linear Algebra and its Applications，1996，247：359－373.

［4］Meini B.Efficient computation of the extreme solutions ofX＋A＊X－1A＝QandX－A＊X－1A＝Q［J］.Mathematics of Computation，2002，71：1189－1204.

［5］Peng Zhenyun，EI－sayed S M，Zhang Xianglin.Iterative methods for the extremal positive definite solution of the matrix equationX＋A＊X－αA＝Q［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，200：520－527.

［6］Liu Panpan，Zhang Shugong.Newton’s method for solving a class of nonlinear matrix equations［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，256：254－267.

［7］彭亞新.求解約束矩陣方程及其最佳逼近的迭代法的研究［D］.長沙：湖南大學(xué)，2004：63－69.

［8］彭卓華，胡炎錫，張磊.矩陣方程A1X1B1＋…＋AlXlBl＝C的中心對(duì)稱解及其最佳逼近［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2009，29（1）：193－207.

［9］李書連，張凱院，劉曉敏.一類矩陣方程異類約束解與Ls解的迭代算法［J］.高效應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27（3）：313－324.

［10］徐樹方.矩陣計(jì)算的理論與方法［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1995：142－155.

［11］Long Jianhui，Hu Xiyan，Zhang Lei.Improved Newton’s method with eact line searches to solve quadratic matrix equation［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，222：645－654.

［12］龍建輝，胡錫炎，張磊.最速下降法求解二次矩陣方程［J］.湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，35（4）：85－88.