史偉　魏道高　胡美玲　潘之杰　陳浙偉

摘 要：制動(dòng)初速度、制動(dòng)壓力和摩擦因數(shù)是影響制動(dòng)干摩擦力的主要參數(shù)，而制動(dòng)盤與制動(dòng)塊之間的干摩擦力是可能誘發(fā)制動(dòng)顫振時(shí)出現(xiàn)多極限環(huán)的主要原因。通過建立制動(dòng)器系統(tǒng)單自由度模型，結(jié)合Wojewoda遲滯環(huán)摩擦力模型，尋找構(gòu)成干摩擦力的3個(gè)參數(shù)誘發(fā)多極限環(huán)特性機(jī)理。基于上述模型數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，在一組參數(shù)組合下出現(xiàn)了多極限環(huán)，而且隨著制動(dòng)初速度的減小，穩(wěn)定極限環(huán)的幅值增加，不穩(wěn)定極限環(huán)幅值減??；隨著制動(dòng)壓力的增加，穩(wěn)定極限環(huán)與不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值均增加；隨著動(dòng)摩擦因數(shù)增加，穩(wěn)定極限環(huán)的幅值增加。

關(guān)鍵詞：干摩擦力；制動(dòng)；顫振；多極限環(huán)

中圖分類號：U461.3文獻(xiàn)標(biāo)文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文獻(xiàn)標(biāo)DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2015.01.06

汽車制動(dòng)顫振現(xiàn)象是汽車在低車速和一定制動(dòng)壓力下產(chǎn)生的低頻振動(dòng)噪聲現(xiàn)象[1]。顫振現(xiàn)象通常發(fā)生在低于30 km/h的車速下，頻率在500 Hz以內(nèi)[2]。

大量研究表明[1-8]，顫振現(xiàn)象由制動(dòng)盤和制動(dòng)塊間干摩擦力導(dǎo)致兩者間的粘滑運(yùn)動(dòng)所引起的，屬于自激振動(dòng)，粘滑運(yùn)動(dòng)在相圖中表現(xiàn)為極限環(huán)現(xiàn)象。

國外許多學(xué)者對汽車制動(dòng)顫振展開了深入研究。K. Skin等人[3]通過建立二自由度制動(dòng)系統(tǒng)模型，研究了制動(dòng)初速度和制動(dòng)壓力對粘滑顫振的影響；Manish Paliwal等人[4]通過建立二自由度制動(dòng)系統(tǒng)模型，研究了剛度和阻尼對粘滑顫振的影響；Ashley R. Crowther和Zhang Nong等人[1， 5]通過建立角位移輸入驅(qū)動(dòng)的制動(dòng)系統(tǒng)鉗盤模型，研究了不同驅(qū)動(dòng)狀態(tài)下的粘滑運(yùn)動(dòng)。但以上研究只是找到干摩擦引起制動(dòng)過程中產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)，沒有找到不穩(wěn)定極限環(huán)。A. J. McMillan[6]在研究干摩擦自激振動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了穩(wěn)定極限環(huán)與不穩(wěn)定極限環(huán)，但是在建模過程中沒有考慮壓力和摩擦因數(shù)的影響，剛度也是定值，實(shí)際中剛度是隨著位移變化的，其選用的干摩擦模型參數(shù)也較難選取。

國內(nèi)也進(jìn)行了相關(guān)的研究，李元元[7]等人建立單自由度盤形制動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算了顫振發(fā)生的臨界速度，以及阻尼比對臨界轉(zhuǎn)速的影響；徐煒卿[8]等人建立單自由度制動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過數(shù)值計(jì)算找到了顫振現(xiàn)象中穩(wěn)定極限環(huán)現(xiàn)象；黃彩虹[9]等人建立了二自由度制動(dòng)系統(tǒng)顫振模型，研究了制動(dòng)壓力及阻尼比對顫振的影響。但上述研究均沒有找到制動(dòng)中不穩(wěn)定極限環(huán)現(xiàn)象。

從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看對于制動(dòng)系統(tǒng)顫振的研究多集中于鉗-盤之間的干摩擦力導(dǎo)致二者之間產(chǎn)生粘滑運(yùn)動(dòng)，即穩(wěn)定極限環(huán)的產(chǎn)生，而對于不穩(wěn)定極限環(huán)現(xiàn)象的產(chǎn)生還研究較少，不穩(wěn)定極限環(huán)對粘滑運(yùn)動(dòng)初始激勵(lì)有敏感性。

因此，本文為了簡單起見，建立單自由度制動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，找到顫振現(xiàn)象中多極限環(huán)現(xiàn)象，并通過數(shù)值仿真的方法，計(jì)算構(gòu)成制動(dòng)干摩擦力的3個(gè)主要因素——制動(dòng)初速度、制動(dòng)壓力和摩擦因數(shù)對多極限環(huán)現(xiàn)象的影響。

1 制動(dòng)器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 單自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立及數(shù)學(xué)方程

由圖1所示的制動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖可知，制動(dòng)盤固定在輪轂上隨其一起轉(zhuǎn)動(dòng)，可以將其看成是繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，制動(dòng)塊也固定在轉(zhuǎn)向節(jié)上，制動(dòng)盤與制動(dòng)塊接觸處的切向速度為v0。

由圖1則可將制動(dòng)器簡化成如圖2所示的單自由度動(dòng)力學(xué)模型，將制動(dòng)盤看作一個(gè)以恒定速度v0運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)帶，制動(dòng)塊看作一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)量塊。質(zhì)量塊在恒定驅(qū)動(dòng)速度v0帶動(dòng)下的傳送帶上做左右往復(fù)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量塊與剛性壁面通過變剛度為k的線性彈簧和阻尼系數(shù)為c的黏性阻尼器相連，質(zhì)量塊與傳送帶之間的壓緊力為FN。

根據(jù)牛頓第二定律可建立系統(tǒng)微分方程：

。

式中，F(xiàn)為質(zhì)量塊與傳送帶之間的干摩擦力；，

u為摩擦因數(shù)，F(xiàn)n為質(zhì)量塊與傳送帶之間的壓緊力；

式中 ，t為時(shí)間。

以往研究[3-8]的剛度都是線性的，而非線性剛度將對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生影響。本文主要研究制動(dòng)塊在x方向的振動(dòng)，所以選擇剛度k的非線性剛度關(guān)于x，即剛度k隨著位移的變化而變化。本文選擇的變剛度k的模型為[10]

。

式中，k11為線性剛度系數(shù)；k12為平方剛度系數(shù)； k13為立方剛度系數(shù)。

1.2 制動(dòng)干摩擦力模型選用

當(dāng)接觸物體間沒有潤滑時(shí)，相對滑動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生庫倫阻尼力（干摩擦阻尼力）。通常使用sgn函數(shù)來描述庫倫阻尼力，及庫倫阻尼力與接觸表面間的法向力，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反。但是這主要反映的是動(dòng)摩擦力的性質(zhì)，它忽略了速度為0時(shí)的粘滯特性。因此本文選擇帶有滯后性的遲滯環(huán)干摩擦力

模型。

目前的遲滯環(huán)模型有Oden的雙線性遲滯環(huán)模型[11]，McMillan遲滯環(huán)模型[6]和Wojewoda遲滯環(huán)模型[11]。Oden模型過于簡單，計(jì)算精度低，不易準(zhǔn)確反映干摩擦特性；McMillan模型過于復(fù)雜，涉及參數(shù)較多，參數(shù)數(shù)值較難確定，計(jì)算難度較大；Wojewoda模型表達(dá)式簡單明確，易于理解，計(jì)算方便。

所以本文選用Wojewoda的遲滯環(huán)摩擦力模型[12]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

。

其中，

；

；

；

；

；

。

式中，為相對速度；v0為動(dòng)摩擦因數(shù)；uc為動(dòng)摩擦因數(shù)；us為靜摩擦因數(shù)；Δus為最大靜摩擦力的調(diào)整參數(shù)；vA為平均速度值的調(diào)整參數(shù)；τ為遲滯時(shí)間。

由式（3）及表1計(jì)算得滯后性摩擦力特性如圖3所示。

2 制動(dòng)器系統(tǒng)多極限環(huán)特性

制動(dòng)過程中極限環(huán)的產(chǎn)生和系統(tǒng)多種因素有一定關(guān)系，因此有必要研究多種因素對極限環(huán)特性的影響。為了全面了解制動(dòng)時(shí)極限環(huán)的動(dòng)態(tài)特性，以國產(chǎn)某車制動(dòng)器為例，基于以上所建立的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用龍格-庫塔法對其制動(dòng)顫振特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。計(jì)算所需的參數(shù)見表2。

根據(jù)所選參數(shù)[13]計(jì)算得到制動(dòng)過程中制動(dòng)壓力隨時(shí)間變化圖，如圖4所示。

由圖4可知，最后的制動(dòng)壓力FN穩(wěn)定在6 000 N。

為了獲得制動(dòng)過程中多極限環(huán)特性，選取FN=6 000 N、v0=9.7 m/s，計(jì)算得到不同初始激勵(lì)時(shí)制動(dòng)塊的相圖，如圖5所示。

由圖5可知，極限環(huán)1內(nèi)外臨域內(nèi)取任意初始值時(shí)其相軌跡均趨向于極限環(huán)1，說明極限環(huán)1是穩(wěn)定極限環(huán)；在極限環(huán)2的外部取任意初始值時(shí)其相軌跡均離開極限環(huán)2趨向于極限環(huán)1，在極限環(huán)2的內(nèi)部取任意初始值時(shí)其相軌跡均離開極限環(huán)2而趨向于一穩(wěn)定點(diǎn)，則說明極限環(huán)2為不穩(wěn)定極限環(huán)。

當(dāng)初始激勵(lì)在穩(wěn)定極限環(huán)1的外部或者在穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部和不穩(wěn)定極限環(huán)外部之間時(shí)，系統(tǒng)最終將趨于穩(wěn)定極限環(huán)，即將產(chǎn)生粘滑運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)初始激勵(lì)在不穩(wěn)定極限環(huán)2的內(nèi)部時(shí)，系統(tǒng)最終將趨于穩(wěn)定點(diǎn)，不會(huì)產(chǎn)生粘滑運(yùn)動(dòng)。

2.1 制動(dòng)初速度對多極限環(huán)的影響

FN=6 000 N時(shí)，研究不同的初速度對制動(dòng)過程中的多極限環(huán)特性的影響。分別作不同的初速的質(zhì)量塊的相圖與快速傅氏變換（Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT）頻譜圖，如圖6所示。

由圖6歸納得到不同初速度時(shí)系統(tǒng)多極限環(huán)特性，見表3。

由圖6和表3分析可知：

（1）穩(wěn)定極限環(huán)的頻率基本保持不變，即汽車制動(dòng)過程中的振動(dòng)頻率f =220 Hz，其屬于制動(dòng)過程中的顫振類型，且這種顫振既能被人感受到（振動(dòng)）又能被人聽到（噪聲）。

（2）汽車制動(dòng)過程中的顫振是由于干摩擦力使制動(dòng)塊與制動(dòng)盤之間產(chǎn)生粘滑運(yùn)動(dòng)引起的，可以將顫振與粘滑理解為圖4中出現(xiàn)的穩(wěn)定極限環(huán)現(xiàn)象。

（3）隨著初速度v0的減小，穩(wěn)定極限環(huán)的幅值越來越大，即制動(dòng)塊與制動(dòng)盤之間的粘滑運(yùn)動(dòng)越明顯。

（4）隨著初速度v0的減小，不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值越來越小，在v0<0.83 m/s時(shí)，不穩(wěn)定極限環(huán)消失。

2.2 制動(dòng)壓力對極限環(huán)特性的影響

為了分析制動(dòng)壓力對極限環(huán)特性的影響，根據(jù)圖6分別取FN=6 000 N、FN=5 000 N、FN=2 000 N， 進(jìn)行研究，得到v0分叉圖，如圖7所示。

由圖5可分析不同制動(dòng)壓力對穩(wěn)定極限環(huán)性質(zhì)的影響，而對于不穩(wěn)定極限環(huán)的性質(zhì)影響不易分析。由圖7（a）可知，出現(xiàn)極限環(huán)的分叉點(diǎn)的速度v0=9.7 m/s，結(jié)合圖6與上一節(jié)的分析可知，隨著初速的減小，不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值也逐漸減小，直至消失，所以可以通過分析分叉點(diǎn)處不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值來分析制動(dòng)壓力對不穩(wěn)定極限環(huán)性質(zhì)的影響。做出不同壓力下分叉點(diǎn)處的的相圖與不穩(wěn)定極限環(huán)消失時(shí)對應(yīng)處速度的相圖，如圖8所示。

由圖8和表4分析可知：

（1）隨著制動(dòng)壓力的增加，穩(wěn)定極限環(huán)與不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值也增加。

（2）隨著制動(dòng)壓力的增加，出現(xiàn)極限環(huán)的速度分叉點(diǎn)也增加，不穩(wěn)定極限環(huán)消失時(shí)對應(yīng)的速度也逐漸增加。

2.3 摩擦因數(shù)對極限環(huán)特性的影響

為了研究摩擦因數(shù)對極限環(huán)特性的影響，取不同的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)的組合來研究，得到不同組合下 v0分叉圖，如圖9所示。

通過圖9得到不同靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)組合對極限環(huán)性質(zhì)的影響，見表5。

由圖9和表5分析可知：

（1）通過圖9（a）與（b）、（c）與（d）對比，兩組都是動(dòng)摩擦因數(shù)相同，靜摩擦因數(shù)不同，發(fā)現(xiàn)極限環(huán)的最大幅值與分叉點(diǎn)的速度都基本相同，則知靜摩擦因數(shù)對極限環(huán)性質(zhì)基本上沒有什么影響。

（2）通過對比圖9（a）與（d），靜摩擦因數(shù)相同，動(dòng)摩擦因數(shù)不同，發(fā)現(xiàn)動(dòng)摩擦因數(shù)越大，極限環(huán)的最大幅值與分叉點(diǎn)的速度越大，則知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)對極限環(huán)性質(zhì)影響顯著，且動(dòng)摩擦因數(shù)越大，極限環(huán)的最大值與分叉點(diǎn)的速度越大。

3 結(jié)論

（1）通過建立單自由度汽車制動(dòng)器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合所選遲滯環(huán)摩擦力模型，找到了制動(dòng)顫振過程中多極限環(huán)現(xiàn)象。

（2）隨著初速度v0的減小，穩(wěn)定極限環(huán)的幅值越來越大，即制動(dòng)塊與制動(dòng)盤之間的粘滑運(yùn)動(dòng)越明顯，同時(shí)不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值越來越小。當(dāng)v0小于某一值時(shí)，不穩(wěn)定極限環(huán)消失。

（3）隨著制動(dòng)壓力的增加，穩(wěn)定極限環(huán)與不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值也增加，且出現(xiàn)極限環(huán)的速度分叉點(diǎn)也增加，不穩(wěn)定極限環(huán)消失時(shí)對應(yīng)的速度也逐漸增加。從摩擦動(dòng)力學(xué)角度考慮，為設(shè)計(jì)合理壓力模式，提供制動(dòng)摩擦副結(jié)合品質(zhì)提供參考。

（4）動(dòng)摩擦因數(shù)越大，極限環(huán)的最大幅值與分叉點(diǎn)的速度越大，而靜摩擦因數(shù)不影響極限環(huán)性質(zhì)。