李修清

LI Xiuqing

桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部，廣西 桂林541004

Faculty of Science,Guilin University of Aerospace Technology,Guilin,Guangxi 541004,China

1 引言

如何將數(shù)值計算的思想融入到數(shù)理邏輯中來，使以符號化為特點的數(shù)理邏輯和以數(shù)值求解以及誤差估計為特點的數(shù)值計算聯(lián)系起來，從而擴大數(shù)理邏輯研究和應(yīng)用范圍，是國內(nèi)外許多學(xué)者長期探討的課題。早在20世紀(jì)50 年代，Rosser 和Turquette 提出了用“指派真值”來反映邏輯公式和邏輯推理的真確度的方法，20 世紀(jì)70 年代以來將概率論方法引入數(shù)理邏輯的思想已逐步興起，目前已有“概率邏輯學(xué)”專著出版[1]。90 年代以來數(shù)理邏輯程度化的研究得到了進一步的發(fā)展，取得了許多成果，王國俊教授基于均勻概率思想首先提出了命題邏輯系統(tǒng)中公式的真度概念和邏輯度量空間理論，形成了計量邏輯學(xué)[2-6]，它是將數(shù)理邏輯與數(shù)值計算聯(lián)系起來的一個新的研究分支，使命題邏輯系統(tǒng)的程度化思想得以實現(xiàn)，但同時也存在隨機性不足的缺點。在王國俊教授給出的計量邏輯學(xué)里每個原子公式的真度是完全相等的，這就使得如果兩個命題公式完全一致，那么它們的真度也一定相等，這種把每個原子公式的真度完全等同看待的觀點，顯然不符合現(xiàn)實世界中各原子公式成立的概率不盡相同的事實，顯然賦予不同原子公式以不同的概率，可以使命題公式的真度更接近于現(xiàn)實世界?；谶@樣的考慮，惠小靜、崔美華等把計量邏輯學(xué)與概率邏輯學(xué)相結(jié)合，就二值和三值邏輯系統(tǒng)提出了隨機真度的概念，建立了隨機邏輯度量空間理論[7-12]。隨機真度既是概率邏輯學(xué)中命題公式概率的一般形式，又是計量邏輯學(xué)中命題公式真度的一般形式，并且同時克服了兩者的缺點，因此對隨機真度的性質(zhì)、特性以及隨機度量空間理論的研究，是一項十分有意義的工作。

在二值和三值命題邏輯系統(tǒng)隨機化的研究成果上，筆者就n值R0命題邏輯系統(tǒng)和模糊命題邏輯系統(tǒng)，進行了命題公式的隨機化研究，建立了隨機邏輯度量空間[13]。本文在n值Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)中，引入命題公式的隨機真度的概念，給出隨機真度的一個重要計算公式，研究命題公式隨機真度的若干性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上證明命題邏輯的分離規(guī)則、三段論規(guī)則以及交推理規(guī)則在n值Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)中成立。

2 n 值Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)的隨機真度

本文引用的概念與符號，若未加說明均參見文獻[14-15]，用Ln表示n值Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)，蘊含算子取。

設(shè)S={q1,q2,…}為原子公式集，F(xiàn)(S)是由S生成的(?,∨,→)型自由代數(shù)，F(xiàn)(S)中的元素稱為命題公式或簡稱為公式。

設(shè)A=A(q1,q2,…,qm)∈F(S)是一含有m個原子公式q1,q2,…,qm的命題公式，則A對應(yīng)一個映射，定義如下：

顯然，A所誘導(dǎo)的函數(shù)，關(guān)于算子?,∨,→是同態(tài)的，即。

定義2.2[13]設(shè)ξ=(ξ1,ξ2,…)是一個n維隨機概率分布序列，其中ξ1=(p11,p21,…,pn1)T，ξ2=(p12,p22,…,pn2)T,…,，令φ(α)=φ(x1)×φ(x2)×…×φ(xm)，定義為：當(dāng)時φ(xi)=pki(k=1,2,…,n;i=1,2,…,m)，則得到一個m維映射，稱φ為的一個ξ-隨機化映射，簡稱隨機化映射。

為了敘述方便，規(guī)定：設(shè)Γ是的一個子集，則φ(Γ)=∑{φ(α)|α∈Γ}。

命題2.1[13]設(shè)φ為的一個ξ-隨機化映射，則，即。

定義2.3設(shè)A=A(q1,q2,…,qm)∈F(S)，是A所誘導(dǎo)的函數(shù)，ξ=(ξ1,ξ2,…)為一n維隨機概率分布序列，φ為上的ξ-隨機化映射，令

則稱τξ(A)為公式A的ξ-隨機真度，在不至于引起混淆的情況下，也簡稱τξ(A)為A的隨機真度。

注2.1（i）A的隨機真度τξ(A)顯然和n維隨機概率分布序列ξ=(ξ1,ξ2,…)的取值有關(guān)。

（ii）當(dāng)n=2 時，A的隨機真度τξ(A)就是文獻[6]中經(jīng)典命題邏輯中公式的隨機真度。

為了對隨機真度有一個直觀認識，看一個三維，一個四維的例子。

例2.1設(shè)，A = q1，B = q1 → q2，ξ = (ξ1, ξ2)，ξ1 = (0.2,0.2,0.6)T，ξ2 = (0.5,0.3,0.2)T為兩個獨立的三維概率分布，求τξ (A)，τξ (B)。

由隨機真度計算公式即定義2.3 得：

例2.2設(shè)A=q1∧q2，ξ=(ξ1,ξ2)，ξ1=(0.1,0.1,0.2,0.6)T，ξ2=(0.2,0.3,0.3,0.2)T為兩個獨立的四維概率分布，求τξ(A)。

由隨機真度計算公式即定義2.3 得：

由以上的例子可以看出，隨著維數(shù)的增加，命題公式隨機真度的計算量將會成倍增加，為了簡化計算或者合理的估值以及隨機度量空間理論等研究的需要，有必要研究隨機真度的一些性質(zhì)。

3 隨機真度的性質(zhì)

為了下面研究的需要，給出定義2.3 所規(guī)定的隨機真度的一個計算公式。

命題3.1設(shè)A=A(q1,q2,…,qm)∈F(S)，是A所誘導(dǎo)的函數(shù)，ξ=(ξ1,ξ2,…) 為一n維隨機概率分布序列，φ為上的ξ-隨機化映射，則τξ(A)=。

證明由ξ-隨機真度的定義2.3 得：

即結(jié)論成立。證畢。

定理3.1設(shè)A,B∈F(S)，ξ=(ξ1,ξ2,…)為一n維隨機概率分布序列，則以下各結(jié)論成立：

（i）A是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τξ(A)=1；A是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τξ(A)=0。

（ii）若A≈B，則τξ(A)=τξ(B)。

（iii）τξ(?A)=1-τξ(A)。

證明設(shè)A、B含有相同的原則公式q1,q2,…,qm，即A=A(q1,q2,…,qm)，B=B(q1,q2,…,qm)。

（i）A是重言式是指，對于，有，于是由隨機真度的計算公式命題3.1 得：；反之，若A不是重言式，則，使，則同樣由隨機真度的計算公式即命題3.1 得：；于是就證明了：A是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τξ(A)=1。同理可證，A是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τξ(A)=0。

（ii）由A≈B知，對于，有，于是由命題3.1 得：。

證畢。

定理3.2設(shè)A,B∈F(S)，ξ=(ξ1,ξ2,…)為一n維隨機概率分布序列，則以下各結(jié)論成立：

（i）τξ(A∨B)=τξ(A)+τξ(B)-τξ(A∧B)。

（ii）τξ(A→B)=τξ(A∧B)-τξ(A)+1。

（iii）┣A→B，則τξ(A)≤τξ(B)。

證明設(shè)A、B含有相同的原子公式q1,q2,…,qm，即A=A(q1,q2,…,qm)，B=B(q1,q2,…,qm)。

（i）設(shè)a,b∈[0,1]，首先證明一個等式a∨b=a+b-(a∧b)對于Lukasiewicz 蘊含算子→成立。就a,b的不同大小分別驗證：

情形1若a≤b∈[0,1]，則a∨b=b，a+b-(a∧b)=a+b-a=b，等式成立；

情形2若a＞b∈[0,1]，則a∨b=a，a+b-(a∧b)=a+b-b=a，等式成立；

這樣就驗證了以上等式成立。

由A、B含有m個相同的原子公式，知A、B的誘導(dǎo)函數(shù)都是上的m元函數(shù)，即?α=(x1,x2,…,xm)∈有，，故由以上證明的等式得：

注意到誘導(dǎo)函數(shù)的同態(tài)性，即

4.堅持激濁揚清。要使黨內(nèi)政治生活正氣充沛，就必須樹正氣、遏邪氣，形成正向激勵與負向遏制的鮮明導(dǎo)向，對符合黨內(nèi)政治生活規(guī)定要求的人和事給予肯定和褒獎，對違背的給予懲處甚至繩之以法。習(xí)近平同志提出：“要激濁揚清，堅持激濁和揚清兩手抓。”[2]

上式變形為：

兩邊乘以定義2.2 給出的隨機化映射φ(α)得：

于是由隨機真度的計算公式即命題3.1 得：

τξ(A∨B)=τξ(A)+τξ(B)-τξ(A∧B)

（ii）先證明等式：a→b=(a∧b)-a+1 在Wn中關(guān)于運算?,∨,→成立。同樣分a、b不同大小情形討論：

情形1若a≤b∈Wn，則a→b=(1-a+b)∧1=1，(a∧b)-a+1=a-a+1=1，故等式成立；

這樣就驗證了以上等式成立。

同樣注意到誘導(dǎo)函數(shù)的同態(tài)性，等式可變形為：

兩邊乘以隨機化映射φ(α)得：

τξ(A→B)=τξ(A∧B)-τξ(A)+1

（iii）由已知┣A→B知A→B是定理，即有，，由算子的同態(tài)性得，，于是得有，，同以上證明一樣，不等式兩邊同乘以隨機化映射φ(α)，再對中的全體α求和得，即τξ(A)≤τξ(B)。證畢。

推論3.1設(shè)A,B∈F(S)，ξ=(ξ1,ξ2,…)為一n維隨機概率分布序列，則：

（i）τξ(A∨B)≥max{τξ(A),τξ(B) }。

（ii）τξ(A∧B)≤min{τξ(A),τξ(B) }。

（iii）τξ(A→B)≥τξ(B)。

證明（i）在Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)中，A∨B≈(A→B)→B，故τξ(A∨B)=τξ((A→B)→B)，由定理3.2（ii）得：

再由定理3.2 的（i）知：

τξ((A→B)∧B)=τξ(A→B)+τξ(B)-τξ((A→B)∨B)

于是得：

同理可證τξ(A∨B)≥τξ(A)，故結(jié)論成立。

（ii）和（iii）用類似于（i）的證明方法，同理可證。證畢。

4 隨機真度的推理規(guī)則

根據(jù)隨機真度的計算公式以及性質(zhì)，給出隨機真度的推理規(guī)則。

定理4.1設(shè)A,B,C∈F(S)，α,β∈[0,1]，ξ=(ξ1,ξ2,…)為一n維隨機概率分布序列，則：

（i）隨機真度的MP 規(guī)則，若τξ(A)≥α,τξ(A→B)≥β，則τξ(B)≥α+β-1。

（ii）隨機真度的HS規(guī)則，若τξ(A→B)≥α,τξ(B→C)≥β，則τξ(A→C)≥α+β-1。

證明不妨設(shè)A、B、C含有相同的原子公式q1,q2,…,qm。

（i）先證明一個不等式b≥a+(a→b)-1，a,b∈[0,1]在Wn關(guān)于算子?,∨,→構(gòu)成的自由代數(shù)中成立。

當(dāng)a≤b∈Wn時，a→b=1，則a+(a→b)-1=a，不等式成立；

當(dāng)a＞b∈Wn時，a→b=1-a+b，則a+(a→b)-1=a+(1-a+b)-1=b，不等式成立。

故證明了以上給出的不等式成立。

設(shè)φ是由定義2.2給出的隨機化映射，則0 ＜φ(α)＜1，上式兩邊乘以φ(α)，再對中的全體α求和得：

由命題2.1及隨機真度的計算公式得：τξ(B)≥τξ(A)+τξ(A→B)-1，注意到已知條件τξ(A)≥α,τξ(A→B)≥β，顯然得到結(jié)論成立。

（ii）在n值Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)中，有├(B→C)→((A→B)→(A→C))，即(B→C)→((A→B)→(A→C))是n值Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)中的定理，由Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)的完備性[5]知，命題公式(B→C)→((A→B)→(A→C)) 是 重 言 式，于 是 由 定 理3.1 得：τξ((B→C)→((A→B)→(A→C)))=1，已知τξ(B→C)≥β，應(yīng)用本定理證明的結(jié)論（i）得τξ((A→B)→(A→C))≥β；再利用已知條件τξ(A→B)≥α，繼續(xù)應(yīng)用本定理的結(jié)論（i）得τξ(A→C)≥α+β-1。證畢。

定理4.2隨機真度的交推理規(guī)則：設(shè)A,B,C∈F(S)，α,β∈[0,1]，ξ=(ξ1,ξ2,…)為一n維隨機概率分布序列，若τξ(A→B)≥α,τξ(A→C)≥β，則τξ(A→B∧C)≥α+β-1。

證明由定理3.2（ii）得：

τξ(A→(B∧C))=τξ(A∧B∧C)-τξ(A)+1

再由定理3.2 得（i）：

即τξ(A∧B∧C)=τξ(A∧B)+τξ(A∧C)-τξ(A∧(B∨C))。

由推論3.1 知τξ(A∧(B∨C))≤τξ(A)，故得：

τξ(A→B∧C)≥τξ(A∧B)+τξ(A∧C)-2τξ(A)+1

再應(yīng)用定理3.2 的（ii）得：

于是得：

τξ(A→B∧C)≥τξ(A→B)+τξ(A→C)-1 ≥α+β-1

證畢。

5 結(jié)束語

繼計量邏輯學(xué)以及二值三值命題邏輯隨機化的研究成果，以及在n值R0命題邏輯系統(tǒng)中引入的隨機真度概念的基礎(chǔ)上，本文在n值Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)中引入了命題公式的隨機真度概念，給出了隨機真度的重要計算公式，利用隨機真度的計算公式研究了隨機真度的若干性質(zhì)，證明命題邏輯的分離規(guī)則、三段論規(guī)則以及交推理規(guī)則在n值Lukasiewicz 命題邏輯系統(tǒng)中成立。隨機真度的概念和性質(zhì)還可以推廣到賦值域為[0,1]的模糊命題邏輯中，從而可以引出模糊命題邏輯系統(tǒng)隨機邏輯度量空間的概念，在隨機邏輯度量空間中，可研究理論的相似度、理論的相容度以及近似推理等問題，這些都是十分有意義的工作，將在另文分別闡述。

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