摘 要：圓的方程是解析幾何中的重要內(nèi)容. 本節(jié)課通過三個環(huán)節(jié)“感悟數(shù)學之真，體驗數(shù)學之善，欣賞數(shù)學之美”的活動，既復(fù)習了“圓的方程”的幾種不同的表示形式，又讓學生感受了數(shù)學的文化價值.

關(guān)鍵詞：感悟；體驗；欣賞

著名美學家朱光潛先生說過：“人生來就有真、善、美的需要，于是就有德育、智育、美育三節(jié)目.” 數(shù)學教師除了幫助學生獲得科學文化知識以外，更應(yīng)當主動擔負起育人的任務(wù). 在人的培養(yǎng)中最重要的是世界觀、人生觀、價值觀以及科學的思維方式和方法論的培養(yǎng). 世界觀指的是“求真”的問題，人生觀指的是“向善”的問題，價值觀指的是“達美”的問題. 數(shù)學之真在于科學性；數(shù)學之善在于應(yīng)用性；數(shù)學之美在于藝術(shù)性. 一個成功的教學應(yīng)包含三個方面：科學、應(yīng)用、藝術(shù). 那么，在以應(yīng)試為主要目標的高三復(fù)習課中怎樣滲透數(shù)學的真善美呢？筆者結(jié)合“圓的方程”的復(fù)習課談一些膚淺的認識.

教學內(nèi)容分析和學情分析

“圓的方程”是高中數(shù)學平面解析幾何中的重要內(nèi)容，是繼直線方程之后的又一個平面幾何中常見曲線的方程，它又是后繼學習圓錐曲線的基礎(chǔ)，因此，它具有承上啟下的作用. 通過對“圓的方程”的復(fù)習，不僅要求學生會根據(jù)三個相互獨立的條件求出圓的方程，還要讓學生進一步理解解析幾何的核心思想——坐標法思想，即通過建立平面直角坐標系，溝通幾何對象與代數(shù)之間的聯(lián)系，用代數(shù)方法研究幾何對象的性質(zhì). 從而實現(xiàn)由圓的方程到求一般曲線方程的過渡.

通過數(shù)學2（必修）的學習，學生已經(jīng)掌握了求圓的標準方程和一般方程的方法. 通過選修4-4的學習，學生對圓的參數(shù)方程和極坐標方程有了一定的理解. 本節(jié)課主要是幫助學生進一步鞏固已有知識，理解坐標法在求曲線方程過程中的作用，滲透數(shù)學的真、善、美.

教學目標和重點、難點

本節(jié)課的教學目標是：

（1）會根據(jù)已知條件求圓的方程；

（2）經(jīng)歷圓的方程的求解過程，掌握求曲線方程的一般步驟；

（3）通過對圓的方程的復(fù)習，進一步感悟數(shù)學之真，體會數(shù)學之善，欣賞數(shù)學之美.

教學重點：待定系數(shù)法求圓的方程.

教學難點：數(shù)學真、善、美的滲透.

教學過程簡錄

1. 感悟數(shù)學之真

大屏幕投影一幅夕陽西下的圖片.

教師：同學們由這張圖片想到什么？

學生1：我想到直線和圓的三種位置關(guān)系：相離，相切，相交.

學生2：我想到元代馬致遠的《天凈沙·秋思》中的“夕陽西下，斷腸人在天涯”.

學生3：我想到唐代王維的詩句：大漠孤煙直，長河落日圓.

教師：剛才三位同學分別從數(shù)學、文學的角度欣賞這幅圖片. 有人說，最美不過夕陽紅；有人說，夕陽無限好，只是近黃昏；又有人說，但得夕陽無限好，何需哀嘆近黃昏. 詩人和文學家?guī)е鴱娏业母星樯士创﹃?，而?shù)學家的視角是什么呢？數(shù)學家說，它只不過是一個圓，是世界上最完美的曲線.數(shù)學家們善于從日常的生活現(xiàn)象中理性地抽取數(shù)學模型來研究.

教師：從數(shù)學的角度看，圓的完美體現(xiàn)在哪里？

學生4：周期性、對稱性.

教師：還有圓的最大包容性（周長相等的平面圖形中，圓的面積最大）、有限與無限的對應(yīng)（圓心與圓上的點），那么我們?nèi)绾蚊枋鲞@種對應(yīng)呢？

學生5：圓上的每一點到圓心的距離都相等.

教師：圓的定義是什么？

學生6：到定點O的距離等于定長r的點的集合，即{POP=r}.

教師：解析幾何的兩大任務(wù)是求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì). 怎么求圓的方程？

學生7：建系，設(shè)點，列式，化簡，驗證.

教師：你知道圓的方程的表示形式有哪些？

學生：標準方程，一般方程，參數(shù)方程，極坐標方程.

教師：如圖2，請你寫出圓C的標準方程和參數(shù)方程.

教師：如圖3，以點C（ρ0，θ0）為圓心，r為半徑的圓的極坐標方程是什么？

學生：在三角形OPC中，由余弦定理得：r2=ρ2+ρ-2ρρ0cos（θ-θ0），即以點C（ρ0，θ0）為圓心，r為半徑的極坐標方程是ρ2-2ρρ0cos（θ-θ2）+ρ-r2=0.

[自主檢測]

1. 根據(jù)下列條件求圓的方程：

（1）過點A（4，3），B（5，2），C（1，0）的圓；

（2）以線段AB為直徑的圓，其中A（-4，-5），B（6，-1）；

（3）與兩坐標軸相切，且圓心在直線2x-3y+5=0上；

（4）過點P（-4，3），半徑為5且圓心在直線2x-y+1=0上的圓.

2. 若方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示圓，求實數(shù)m的取值范圍.

師生共同總結(jié)：

（1）確定一個圓的方程需要三個相互獨立的條件（因為幾何上不共線的三點確定一個圓，所以必須有三個獨立條件）.

（2）圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中D，E，F(xiàn)滿足D2+E2-4F>0.

2. 體驗數(shù)學之善（數(shù)學應(yīng)用）

[例題分析]：河道上有一座圓拱橋，在正常水位時，圓拱圈最高點距水面9米，拱圈內(nèi)水面（圖中AB）寬22米. 一條船在水面以上部分高6.5米，船頂部寬4米. （1）試問：正常水位時，該船能否順利通過橋洞？（2）近日，由于連降暴雨，河內(nèi)水位暴漲了2.7米，此時該船能否順利通過橋洞？（精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：≈99.383）

[反饋檢測]

A、B兩個批發(fā)市場，商品批發(fā)價格相同，但在某地區(qū)的居民從兩地運回商品時，每單位距離的運費不同，A地的運費是B地的兩倍，已知A、B兩地相距100公里，問：A、B兩批發(fā)市場售貨區(qū)域分界線設(shè)在何處對居民進貨有利？

3. 欣賞數(shù)學之美

學生閱讀材料：

圓與中國文化

《說文》說：圓，全也.《呂覽審時》說：圓乃豐滿也.《康熙字典》說：圓即圓滿、周全、完備等之意.

天圓地方是中國的傳統(tǒng)思想. 圓是西藏宗教的象征，是人與天地對話的一種方式. 古人還有“圓而神，方以智”之說，可見圓之于古人，不但成為圖騰崇拜的象征，也賦予方圓思辨的哲學意象. 方的極限是圓，當圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)趨向于無窮大時，正多邊形的周長就逼近圓周長，祖沖之就是按此思想計算圓周率的.

外圓內(nèi)方是中國人的處世哲學. 圓，是為人處世的圓通，而不是圓滑. 方，并非木訥，而指德行剛正. 只圓不方，是一個八面玲瓏、滾來滾去的“?”，那就是圓滑了；只方不圓，是一個四處棱角、靜止不動的“口”，面對的就是一盤死棋. 要處理好兩者的關(guān)系，關(guān)鍵是做到大事講原則，小事講風格；做到以誠待人、以理服人、以情感人、熱心助人、厚德容人.

生活中與圓有關(guān)的詞語：

圓滿：沒有缺欠、漏洞.圓滿完成了任務(wù).

圓潤：飽滿而潤澤.圓潤的歌喉.

圓熟：他的演奏技藝日臻圓熟.

圓夢：圓自己的大學夢，圓我們的中國夢.

圓場：兩人吵架了，我來打圓場.

就連“老和尚去世”也叫“圓寂”.

教師：最后，祝愿同學們：以當下為圓心，以拼搏為半徑，畫出人生燦爛的圓.

專家點評

南京外國語學校陳光立老師對本節(jié)課的點評（摘要）：學生活動充分，突出主體參與；講練安排得當，強調(diào)基礎(chǔ)知識；突出思路點撥，重在能力提升；關(guān)注數(shù)學文化，貴在提升修養(yǎng).

教學感悟

眾所周知數(shù)學的三個層面：作為理論思維的數(shù)學，作為應(yīng)用技術(shù)的數(shù)學，作為文化修養(yǎng)的數(shù)學. 縱觀目前的高三復(fù)習課，數(shù)學概念的復(fù)習流于形式，教師簡單地羅列一下概念后就開始大量的習題訓(xùn)練. “題型+套路+訓(xùn)練”的模式是大多數(shù)教師信奉的復(fù)習方式. 不可否認，這種做法應(yīng)對常規(guī)題有一定的作用，但失去了數(shù)學的思維訓(xùn)練價值，更是扼殺了學生的創(chuàng)新意識. 師生湮沒在題海中，苦不堪言. 正所謂“茫茫題海路，何處是盡頭.” 著名數(shù)學家柯朗（R.courant）指出：“數(shù)學的教學逐漸流于無意義的單純演算習題的訓(xùn)練. 固然，這可以發(fā)展形式演算能力，但卻無助于對數(shù)學的真正理解，無助于提高獨立思考能力.” 這應(yīng)當引起中學數(shù)學教師的警醒和思考. 筆者的觀點是：在幫助學生獲得必要的數(shù)學知識和數(shù)學技能的同時，培養(yǎng)學生追求真理的勇氣、求實的精神和嚴密的邏輯思維能力和創(chuàng)新力；培養(yǎng)學生活用數(shù)學知識的能力，使他們將來能在自己的專業(yè)和生活中使用數(shù)學的思想和方法；培養(yǎng)學生的想象力、審美力和創(chuàng)造力，并使他們擁有豐富的個性.正是基于這個認識，筆者設(shè)計了本節(jié)課. 筆者的基本觀點是，在學生獲得升學所必需的數(shù)學知識和技能的前提下，可以讓我們的課堂多一點人文氣息，改變學生對數(shù)學就是“不斷地做題”的單一認識，體會到數(shù)學也具有詩情畫意的一面.

張乃達先生指出，文化型的數(shù)學教育不僅要充分發(fā)揮數(shù)學觀念的智力教育價值，更應(yīng)發(fā)揮數(shù)學觀念，特別是數(shù)學精神在促進學生的人格發(fā)展方面的巨大作用. 對照張先生的觀點，筆者設(shè)計了“圓與中國文化”的教學環(huán)節(jié)，讓學生管窺數(shù)學對人的世界觀與價值觀的影響. 當然，圓對人類社會的巨大影響不是短短五分鐘所能反映的.

作為嘗試課，本節(jié)課還有許多需要改進的地方. 比如，開始的問題情境還不夠簡練、某些教學環(huán)節(jié)的設(shè)計還欠流暢、例題和習題的作用沒能充分發(fā)揮、有些內(nèi)容的處理還不到位，存在告知式的教學行為，特別是對數(shù)學的文化價值的理解和滲透還需進一步研究. “要把數(shù)學同人的生活、思想、精神聯(lián)系在一起，挖掘潛藏在數(shù)學知識深處的數(shù)學文化，使數(shù)學知識閃耀出人性的光輝，從而升華人的思想品格、釋懷人的心理情結(jié)、透視人的生命哲理、觀照人的精神自由.” 這將是筆者今后的教學追求和努力的方向.