摘 要：留白是中國畫的藝術(shù)手法之一，它可以隱喻數(shù)學(xué)教學(xué)要給學(xué)生充足的時(shí)間和空間進(jìn)行思考. 數(shù)學(xué)是一門理性的學(xué)科，它需要學(xué)生理性思維的參與，這就需要教學(xué)時(shí)為學(xué)生留白，讓他們在不同的時(shí)機(jī)，以不同的方式對不同的內(nèi)容進(jìn)行充分的思考. 因此文章試著從留白的時(shí)機(jī)、留白的方式和留白的內(nèi)容三個(gè)維度對留白的意義作出闡釋.

關(guān)鍵詞：留白；數(shù)學(xué)教學(xué)；時(shí)機(jī)；方式；內(nèi)容

在中國畫作上總會存在一定空白，不著墨跡，這樣的技法在國畫創(chuàng)作中被稱為留白. 墨跡書寫著作者的本意，而留白則給贊賞者以無限的想象空間. 數(shù)學(xué)教學(xué)或許與中國畫的創(chuàng)作有著相似之處. 一直以來，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)都希冀于教師的講解，留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間太少，其實(shí)數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，它需要個(gè)人理性思維的參與，無思考、無數(shù)學(xué). 因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)與作畫一樣留有空白，在這樣的一個(gè)過程中，我們可以用留白隱喻數(shù)學(xué)教學(xué)要留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓他們自由地思考，自由地探索，真正做自己學(xué)習(xí)的主人.數(shù)學(xué)教學(xué)的留白要講究一定的時(shí)機(jī)，講究一定的方式，講究對特定內(nèi)容的留白. 而這其中的每一方面都對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了一定的意義，因此，文章嘗試從留白的時(shí)機(jī)、留白的方式和留白的內(nèi)容三個(gè)維度來探討留白對于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義.

留白的時(shí)機(jī)：彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的智慧

不同時(shí)機(jī)的留白對于數(shù)學(xué)教學(xué)有著不同的意義，留白講究一定的時(shí)機(jī)，正確的時(shí)機(jī)留白促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，錯(cuò)誤的時(shí)候留白則阻礙數(shù)學(xué)教學(xué)，因此，選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行留白，彰顯著數(shù)學(xué)教學(xué)的智慧.

1. 給知識的引入留白，能夠調(diào)動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

知識的引入環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)課堂的開始環(huán)節(jié)，它關(guān)系到學(xué)生整節(jié)課的注意點(diǎn)的位置.如何將學(xué)生的注意點(diǎn)吸引在數(shù)學(xué)課上呢，我們的結(jié)論是興趣，如何引起學(xué)生的興趣呢？我們的答案是課堂第一環(huán)節(jié)是開而弗達(dá)的，即知識引入的環(huán)節(jié)不是直逼結(jié)果，將知識的結(jié)論直接告知學(xué)生，而應(yīng)以知識引入為契機(jī)，給學(xué)生留白，讓學(xué)生思考起來，只有這樣才能激起學(xué)生思考的欲望，才能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在函數(shù)奇偶性的引入環(huán)節(jié)，我們的引導(dǎo)不是直接讓學(xué)生從對稱角度觀察y=x2和y=-的函數(shù)圖象，而是與學(xué)生共同完成了一個(gè)游戲：讓學(xué)生算出y=x2和y= -在正數(shù)范圍內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)的函數(shù)值，然后老師可以輕松回答出對應(yīng)數(shù)相反數(shù)的函數(shù)值. 然后留了一段時(shí)間給學(xué)生自己思考，對于這樣的能力，學(xué)生很是吃驚，紛紛表現(xiàn)出了極大的學(xué)習(xí)興趣.

2. 給焦點(diǎn)的爭論留白，能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維火花

每個(gè)人的思維均會存在著一定的不完整性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，通過群體性的討論將個(gè)人的思維碰撞與摩擦，可能會照亮個(gè)人的思維盲點(diǎn)，引燃個(gè)人的思維火種，這往往可彌合個(gè)體思維的缺陷，從而達(dá)到思維的完整性. 這就要求我們在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要為學(xué)生對某個(gè)焦點(diǎn)產(chǎn)生爭論時(shí)留白，讓他們在自由的討論中碰撞出數(shù)學(xué)思維的火花.

在集合問題中有一類求參數(shù)范圍的問題，這類問題爭論的焦點(diǎn)通常是區(qū)間的端點(diǎn)能否取到. 例如，若區(qū)間A（m-1，m+1）是區(qū)間（2，5）的子區(qū)間，求m的取值范圍. 學(xué)生們列出不等式m-1>2且m+1<5后便開始爭論不等式到底能否取到等號，此時(shí)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生留白，引導(dǎo)他們?nèi)z驗(yàn). 假設(shè)取到等號能否滿足題意，如果滿足題意，那么可取.通過這樣的討論，讓學(xué)生在自由的氛圍中碰撞出思維的火花.

3. 給錯(cuò)誤的生成留白，能夠推動學(xué)生靜心反思

錯(cuò)誤是揭示學(xué)生知識短板的地方，是暴露學(xué)生思維慣性的地方；在慣性思維面前，強(qiáng)制性扭轉(zhuǎn)往往成效不大，不如給學(xué)生預(yù)留時(shí)間和空間，讓他們能夠面對錯(cuò)誤，靜心思考，從而從根本上認(rèn)識自己所犯的錯(cuò)誤. 當(dāng)一個(gè)人真正認(rèn)識自己所犯錯(cuò)誤時(shí)，自然會進(jìn)行自我修正.

在講授基本不等式的時(shí)候，學(xué)生們經(jīng)常易犯的一個(gè)錯(cuò)誤通常是見其形而用其式，忽視基本不等式所需要滿足的條件“一正，二定，三相等”，尤其是對隱藏條件“三相等”的考察. 在解決函數(shù)y=+的最小值問題時(shí)，學(xué)生通常會得出ymin=2，此進(jìn)筆者的做法是順著學(xué)生的思路分析給他們聽，正當(dāng)他們認(rèn)為正確無誤時(shí)，一個(gè)鮮明的“×”呈現(xiàn)出來，伴隨著驚愕的眼神，筆者給學(xué)生留了時(shí)間去反思自己的解題過程，絕大多數(shù)發(fā)現(xiàn)了問題的所在，并自行進(jìn)行了修改.

留白的方式：突出數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律

留白的方式，可以看成教學(xué)方法的一種，它代表的是教學(xué)規(guī)律的方法. 根據(jù)留白方式載體的不同，我們將留白分成書面留白、語言留白和解題留白.

1. 書面留白：給學(xué)生建構(gòu)自己知識體系的空間

板書是教師向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識體系的媒介，一幅完整的板書固然能夠完善數(shù)學(xué)知識體系，但它代表的是教師個(gè)人，而不是學(xué)生，因此，我們建議教師板書時(shí)顯現(xiàn)脈絡(luò)即可，應(yīng)當(dāng)留下空白讓學(xué)生根據(jù)自己的理解，用自己的方式去建構(gòu)屬于自己的知識體系.

例如，在講解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)這一章節(jié)時(shí)，老師板書常是將兩種指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)按照如下表格給出，學(xué)生照抄，這樣的知識完全是死的沒有生命力；筆者曾嘗試?yán)脠D形分析性質(zhì)后，留時(shí)間讓學(xué)生整理性質(zhì)，其中有一部分人的筆記是如圖1的一幅畫，盡管這幅圖沒有了明確的性質(zhì)說明，但卻代表著學(xué)生自己對對數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)的認(rèn)識.

[圖1][x][（0，1）][y][O][2][-2][2][3][單調(diào)增][單調(diào)減][不關(guān)于任何對稱]

2. 語言留白：給學(xué)生留下自己獨(dú)立思考的空間

語言講解的過程其實(shí)應(yīng)當(dāng)是教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思想與方法的過程，通過聽課等途徑筆者發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)課教師的內(nèi)容太多，整節(jié)課下來學(xué)生無法從海量的內(nèi)容中抓取重點(diǎn)內(nèi)容.因此在數(shù)學(xué)探究的過程中，老師應(yīng)在授課內(nèi)容的關(guān)鍵地方和問題上慢慢道破，給學(xué)生留下獨(dú)立思考的空間，讓學(xué)生親自體驗(yàn)解題方法和思想帶來的效果，用此留白讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正落到實(shí)處，防止與重點(diǎn)內(nèi)容擦肩而過.

在一次聽課時(shí)有道題是這樣的：已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值.這是一道依據(jù)導(dǎo)數(shù)為0與函數(shù)存在極值的關(guān)系求解參數(shù)值的問題，在求得兩組a和b的值后，教師是徑直講檢驗(yàn)后一組值不符合題意，至于為什么要檢驗(yàn)沒有道明，學(xué)生也不存在疑問.在此不禁要問，學(xué)生真的明白檢驗(yàn)的原因嗎？筆者認(rèn)為檢驗(yàn)的原因才是這道題的關(guān)鍵點(diǎn)，教師在講解時(shí)沒有為學(xué)生留白，讓學(xué)生思考，這樣會造成學(xué)生不能真正理解其中的含義.

3. 解題留白：給學(xué)生爭取自己反思回顧的空間

從順應(yīng)教學(xué)規(guī)律的層面講，解題留白應(yīng)當(dāng)作為一種教學(xué)策略使用，也就說在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之時(shí)，就應(yīng)該為學(xué)生預(yù)留充足的時(shí)間，讓學(xué)生在解完每道題目后都對自己的解題過程再次審慎的思考和反思.

在利用分類討論思想解題的練習(xí)中有這么一道習(xí)題：求ax2+（4-2a）x-8>0的解集.大部分學(xué)生的解是：當(dāng)a>0時(shí)，

x

x>2或x<-

；當(dāng)a<-2時(shí)，-2. 這就要求學(xué)生在解題后老師能夠?yàn)閷W(xué)生留白，不斷設(shè)置問題，逐步讓學(xué)生認(rèn)識到自己的問題，反思自己的解題過程，從而認(rèn)識錯(cuò)誤的原因，加深印象.

留白的內(nèi)容：歸還數(shù)學(xué)教學(xué)的權(quán)利

留白對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，不僅體現(xiàn)在時(shí)機(jī)上彰顯教學(xué)智慧，不僅表現(xiàn)在方式上突顯教學(xué)規(guī)律，更因?yàn)榱舭椎膬?nèi)容歸還了數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的權(quán)利，讓主體性得到了充分的展現(xiàn). 總結(jié)起來，留白的內(nèi)容大概包含如下幾個(gè)方面：教材留白、情境留白和問題留白.

1. 教材留白：賦予師生自主選擇教學(xué)內(nèi)容的權(quán)利

作為數(shù)學(xué)新課標(biāo)內(nèi)容的直接體現(xiàn)者，數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)課堂的承載者，然而在新課標(biāo)的要求下，教材往往表現(xiàn)出簡明扼要的特點(diǎn)，很多知識點(diǎn)被省略，但卻存在非常重要的意義，這就為師生的課堂活動留了白，給了師生自主創(chuàng)造的權(quán)利. 例如，在高中選修2-1雙曲線性質(zhì)一節(jié)僅僅是對雙曲線的基本性質(zhì)作了敘述，而對例如焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離等于虛半軸長的性質(zhì)并未言明，因此筆者設(shè)計(jì)了一道題目讓學(xué)生計(jì)算焦點(diǎn)F到漸近線的距離，當(dāng)學(xué)生吃驚地發(fā)現(xiàn)距離剛好跟b一樣時(shí)，筆者提問：“這一特殊現(xiàn)象是否對所有雙曲線都適用？”并給學(xué)生留下了思考時(shí)間，討論一般情況的規(guī)律，最終很多學(xué)生能夠通過雙曲線的漸近線方程y=x和點(diǎn)到直線的距離公式得出這一結(jié)論.

2. 情境留白：賦予學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)內(nèi)容的權(quán)利

情境的設(shè)計(jì)，意在吸引學(xué)生的注意力，然而很多數(shù)學(xué)課的情境一拋出來，教師們就急不可待地將學(xué)生引領(lǐng)到他們設(shè)計(jì)的教學(xué)思路上去，全然不顧學(xué)生的思維狀態(tài)，這樣情境的設(shè)置，就失去了其原本的教學(xué)意義. 筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)問題情境拋出后應(yīng)當(dāng)給學(xué)生留有一定的思考時(shí)間，讓他們自行探究學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 在講授函數(shù)單調(diào)性這一章節(jié)時(shí)，在引出氣溫變化的函數(shù)的圖象后，筆者沒有著急將學(xué)生引向函數(shù)單調(diào)性的定義上，而是給學(xué)生留了時(shí)間，讓他們觀察圖象，并用自己語言敘述函數(shù)圖象“在區(qū)間（a，b）內(nèi)函數(shù)是逐步增加的，在區(qū)間（c，d）內(nèi)函數(shù)是逐步減小的”，然后基于學(xué)生直觀感受到的增減性，向?qū)W生提出問題，“如何嚴(yán)格證明函數(shù)的單調(diào)性”，從而將焦點(diǎn)轉(zhuǎn)向函數(shù)單調(diào)性的定義上.

3. 問題留白：賦予學(xué)生懷疑所學(xué)習(xí)內(nèi)容的權(quán)利

學(xué)生可以懷疑教材所編的內(nèi)容，可以懷疑教師所講的內(nèi)容，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的權(quán)利.但是懷疑不是無依據(jù)的，它必須是大膽地假設(shè)，小心地求證，這就要求教師在問題上要給學(xué)生留白讓學(xué)生可以質(zhì)疑所學(xué)內(nèi)容. 例如，在講解導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，筆者因?yàn)樗季S的慣性，給學(xué)生證明的結(jié)論是y′>0時(shí)函數(shù)單調(diào)增，同樣筆者給學(xué)生留了思考的時(shí)間，但學(xué)生大膽地質(zhì)疑了筆者的結(jié)論，學(xué)生跟筆者講：老師，我們發(fā)現(xiàn)y=x3在R上單調(diào)遞增，但其導(dǎo)函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為0，這說明您剛才講的結(jié)論存在著問題. 正是基于學(xué)生的質(zhì)疑，我們才避免了教學(xué)的失誤，這充分說明留白能夠調(diào)動學(xué)生思維的積極性和主動性，從而發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的問題.