劉 勇，曹良志，吳宏春，祖鐵軍

(西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049)

?

基于經(jīng)典微擾理論的特征值靈敏度和不確定度分析

劉 勇，曹良志，吳宏春，祖鐵軍*

(西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049)

核數(shù)據(jù)不確定度作為組件/柵元計(jì)算不確定度的重要來(lái)源，備受重視和研究。本文采用經(jīng)典微擾理論，推導(dǎo)輸運(yùn)計(jì)算中keff對(duì)于核數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù)和不確定度的計(jì)算方法?；贓NDF/B-Ⅶ.1制作多群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫(kù)，并根據(jù)所采用的組件輸運(yùn)求解程序的截面模型對(duì)分反應(yīng)道協(xié)方差矩陣進(jìn)行歸并。開發(fā)靈敏度和不確定度分析程序COLEUS，對(duì)傳統(tǒng)壓水堆燃料柵元進(jìn)行計(jì)算分析。數(shù)值結(jié)果表明，柵元計(jì)算的keff對(duì)235U每次裂變中子產(chǎn)額的擾動(dòng)最為敏感，238U俘獲截面對(duì)keff不確定度的貢獻(xiàn)最大。目前的核數(shù)據(jù)的不確定度會(huì)給keff帶來(lái)0.4%～0.5%的不確定度。

微擾理論；協(xié)方差；靈敏度；不確定度

在核反應(yīng)堆計(jì)算中，由于在計(jì)算模型、輸入?yún)?shù)和經(jīng)驗(yàn)修正等方面的不足，使得計(jì)算結(jié)果存在一定的不確定度。對(duì)重要參數(shù)靈敏度和不確定度的量化，不僅有利于確定合理的設(shè)計(jì)裕量，提高核反應(yīng)堆設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)性，還可指導(dǎo)核數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)的優(yōu)化方向。

核反應(yīng)堆的計(jì)算從最初的柵元(組件)計(jì)算到堆芯計(jì)算，再到最終的核反應(yīng)堆系統(tǒng)計(jì)算的各個(gè)階段，都存在不確定度的引入和傳遞[1]。作為核反應(yīng)堆計(jì)算的基礎(chǔ)，柵元(組件)計(jì)算的不確定度來(lái)源有如下3方面[2]：1) 模型、計(jì)算方法和近似引入的偏差；2) 反應(yīng)堆系統(tǒng)的物理參數(shù)測(cè)量偏差，如密度、尺寸等；3) 基本物理參數(shù)的偏差，如截面數(shù)據(jù)等。而第3個(gè)方面中的中子反應(yīng)截面被認(rèn)為是該計(jì)算過程最重要的不確定度來(lái)源之一[3]。

目前國(guó)際上以UAM(uncertainty analysis in modelling)[1]等為代表的合作項(xiàng)目，正在廣泛地開展針對(duì)反應(yīng)堆計(jì)算敏感性和不確定性的分析。核數(shù)據(jù)的分析作為敏感性和不確定性分析中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，備受重視，其中的代表程序有TSUNAMI[4]、ERANOS[5]、SUSD3D[6]等。這些程序主要關(guān)注核數(shù)據(jù)的擾動(dòng)和其測(cè)量不確定度導(dǎo)致的積分參數(shù)(keff、反應(yīng)率、冷卻劑空泡反應(yīng)性系數(shù)等)的擾動(dòng)和不確定度。近年來(lái)國(guó)內(nèi)也在這方面展開研究工作，具有代表性的程序有SUCA1D[7]、SURE[8]等，但這些程序均限于一維計(jì)算，研究的積分參數(shù)類型也較為局限。因此，本文關(guān)注核數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，包括keff對(duì)核數(shù)據(jù)擾動(dòng)的靈敏度以及在當(dāng)前核數(shù)據(jù)的測(cè)量精度下keff的不確定度。基于經(jīng)典微擾理論，采用子群共振方法程序SUGAR[9]和二維任意幾何特征線輸運(yùn)程序AutoMOC[10]，開發(fā)靈敏度和不確定度分析程序COLEUS，并對(duì)柵元計(jì)算中keff對(duì)中子反應(yīng)截面的靈敏度和中子反應(yīng)截面的不確定度對(duì)keff造成的不確定度進(jìn)行計(jì)算和分析。

1 理論方法

1.1 靈敏度系數(shù)計(jì)算方法

在反應(yīng)堆物理柵元計(jì)算中，典型過程包括共振計(jì)算和輸運(yùn)計(jì)算。如果只考慮參數(shù)α的擾動(dòng)在輸運(yùn)方程中的作用，這種直接影響稱為顯式敏感性；如果考慮參數(shù)α在共振計(jì)算過程中對(duì)共振截面的作用，繼而間接影響到輸運(yùn)方程的求解，這種間接影響稱為隱式敏感性[11]。本文主要關(guān)注顯式靈敏度系數(shù)及其不確定度的計(jì)算，在確定論方法中，顯式靈敏度系數(shù)的計(jì)算常采用微擾理論[12]。

中子輸運(yùn)方程的算子形式為：

(1)

其中：φ=φ(r，Ω，E)為中子角通量密度；λ為方程的特征值，λ=1/keff；M為輸運(yùn)算子；F為裂變?cè)错?xiàng)算子；L為輸運(yùn)算子中除裂變?cè)错?xiàng)算子以外的其他算子。

中子輸運(yùn)方程的共軛方程為：

(2)

其中：φ*=φ*(r，Ω，E)為共軛中子角通量密度；M*為輸運(yùn)算子的共軛算子；F*為裂變?cè)错?xiàng)算子的共軛算子；L*為輸運(yùn)算子中除裂變?cè)错?xiàng)算子以外的其他算子的共軛算子。

給系統(tǒng)一個(gè)微小的擾動(dòng)后，算子M變成M′=M+δM，或記作：

(3)

P=δM稱為擾動(dòng)算子。設(shè)擾動(dòng)后的中子通量密度φ′滿足：

(4)

或

(5)

將擾動(dòng)前的中子共軛通量密度φ*同式(5)兩端作內(nèi)積，得到：

(6)

其中，〈·，·〉表示在相空間作內(nèi)積。由于M*和M共軛，并假定邊界條件未受到擾動(dòng)，則有：

(7)

而M*φ*=0，于是得到：

(8)

(9)

式(9)稱為擾動(dòng)方程。

由于M=L-λF，則：

(10)

將式(10)代入式(9)，得：

(11)

從而有：

(12)

由于λ=1/keff，所以：

(13)

根據(jù)靈敏度系數(shù)的定義[1]，有：

(14)

從式(14)可看出，式中算符對(duì)核數(shù)據(jù)的偏導(dǎo)項(xiàng)容易求得，所以只需一次前向輸運(yùn)計(jì)算和一次共軛輸運(yùn)計(jì)算得到前向中子角通量密度和共軛中子角通量密度，就能得到keff對(duì)包含在輸運(yùn)算子中的所有參數(shù)的靈敏度系數(shù)。本文采用子群共振方法程序SUGAR進(jìn)行共振計(jì)算，采用二維任意幾何特征線輸運(yùn)程序AutoMOC進(jìn)行前向輸運(yùn)計(jì)算，以獲得中子角通量密度；并對(duì)該輸運(yùn)程序進(jìn)行改進(jìn)，獲得中子共軛角通量密度，然后根據(jù)式(14)計(jì)算keff對(duì)核素各種截面的靈敏度系數(shù)。

1.2 不確定度計(jì)算方法

keff可認(rèn)為是截面的函數(shù)，寫成如下函數(shù)形式：

(15)

將keff在σi的期望值σi0處進(jìn)行泰勒一階展開：

(16)

設(shè)σi的方差為V(σi)，keff的方差為V(keff)，對(duì)式(16)等號(hào)兩邊取方差得到：

(17)

其中，cov(σi，σj)為σi和σj的協(xié)方差，用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差。式(17)即為不確定度傳播率，該式將截面數(shù)據(jù)的不確定度傳遞給keff。

(18)

(19)

1.3 協(xié)方差數(shù)據(jù)

早期核數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)庫(kù)往往只給出核數(shù)據(jù)的一階矩，即期望值。從ENDF/B-Ⅳ開始，評(píng)價(jià)庫(kù)中就包含了一些核素的核數(shù)據(jù)的概率分布的二階矩，即協(xié)方差[14]，包括每次裂變的中子產(chǎn)額、共振參數(shù)、中子截面、次級(jí)粒子能量和角度分布、放射性核素產(chǎn)額等數(shù)據(jù)的協(xié)方差信息[1]。協(xié)方差數(shù)據(jù)文件提供了核數(shù)據(jù)的相關(guān)性和不確定度。從式(19)可看出，只要得到核數(shù)據(jù)的相對(duì)協(xié)方差信息，就能結(jié)合靈敏度系數(shù)，通過Sandwich Rule公式，計(jì)算積分參數(shù)(如keff)的不確定度。

NJOY制作的多群協(xié)方差數(shù)據(jù)是各種分反應(yīng)道的協(xié)方差數(shù)據(jù)，而大多基于確定論的中子輸運(yùn)計(jì)算程序使用的截面模型是將各分反應(yīng)道截面以求和形式給出的散射、俘獲截面，因此需要散射、俘獲截面的協(xié)方差，這樣的協(xié)方差數(shù)據(jù)無(wú)法從NJOY直接得到。一般有3種方法處理這種問題[3]：1) 修改程序的截面模型；2) 使用同問題無(wú)關(guān)的截面數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算keff對(duì)各反應(yīng)道截面的靈敏度系數(shù)；3) 制作與輸運(yùn)程序截面模型一致的協(xié)方差數(shù)據(jù)庫(kù)。本文采用第3種方法，將制作的分反應(yīng)道協(xié)方差信息轉(zhuǎn)換成這種求和形式的截面的協(xié)方差信息。本文采用的截面模型中，俘獲截面為：

(20)

其中，NG為能群總數(shù)。

由于俘獲截面和散射截面同其分反應(yīng)道截面是線性關(guān)系，所以由向量的協(xié)方差計(jì)算關(guān)系式可知：

(21)

其中：Kc為NG×8NG的系數(shù)矩陣；cov(σKc)為各反應(yīng)道之間8NG×8NG的協(xié)方差矩陣。

本文采用的散射截面模型的形式為：

g=1，NG

(22)

同樣可知：

(23)

其中：Ks為NG×4NG的系數(shù)矩陣；cov(σKs)為各反應(yīng)道之間4NG×4NG的協(xié)方差矩陣。

基于ENDF/B-Ⅶ.1制作的172群協(xié)方差數(shù)據(jù)庫(kù)中，俘獲反應(yīng)的分反應(yīng)道中存在協(xié)方差數(shù)據(jù)的中子核反應(yīng)包括(n，2n)、(n，3n)和(n，γ)反應(yīng)。評(píng)價(jià)庫(kù)中無(wú)其他分反應(yīng)道協(xié)方差信息，假設(shè)為零。圖1為基于ENDF/B-Ⅶ.1制作的238U的172群俘獲反應(yīng)各分反應(yīng)道的相對(duì)協(xié)方差與歸并得到的俘獲截面的相對(duì)協(xié)方差矩陣。

由于(n，2n)和(n，3n)反應(yīng)為閾能反應(yīng)，所以圖2只示出了前10能群的俘獲截面及其分反應(yīng)道截面隨能群的變化曲線。

圖1 238U俘獲截面及其分反應(yīng)道截面的相對(duì)協(xié)方差矩陣Fig.1 Relative covariance matrices corresponding to total capture cross section and individual capture cross section of 238U

圖2 238U前10能群俘獲截面及其分反應(yīng)道截面Fig.2 Total capture cross section and individual capture cross section of first ten energy groups of 238U

從圖1、2可發(fā)現(xiàn)，雖然238U(n，γ)反應(yīng)的相對(duì)協(xié)方差在高能群較大，但由于其截面值小，所以在歸并成俘獲截面相對(duì)協(xié)方差后，(n，γ)反應(yīng)高能群相對(duì)協(xié)方差對(duì)俘獲截面相對(duì)協(xié)方差的貢獻(xiàn)并不大。俘獲截面高能群的相對(duì)協(xié)方差主要來(lái)自(n，2n)和(n，3n)反應(yīng)。值得注意的是，核數(shù)據(jù)的協(xié)方差大小并不能最終決定其對(duì)結(jié)果的不確定度貢獻(xiàn)，這需要結(jié)合靈敏度進(jìn)行計(jì)算。

基于上述理論分析，本文敏感性和不確定性分析的計(jì)算流程圖如圖3所示。

圖3 敏感性和不確定性計(jì)算流程圖Fig.3 Flow chart of sensitivity and uncertainty calculation

2 計(jì)算結(jié)果

利用本文開發(fā)的程序COLEUS，對(duì)典型輕水堆燃料柵元進(jìn)行靈敏度和不確定度分析，該問題來(lái)自O(shè)ECD UAM LWR基準(zhǔn)題[1]：TMI-1壓水堆燃料組件柵元。

表1列出了該問題前向和共軛keff的計(jì)算結(jié)果，以及截面數(shù)據(jù)導(dǎo)致的keff相對(duì)不確定度的計(jì)算結(jié)果，本文用Δkeff(標(biāo)準(zhǔn)偏差)表示keff的不確定度，Δkeff/keff表示keff的相對(duì)不確定度。其中TSUNAMI-1D和CASMO-4的結(jié)果均來(lái)自文獻(xiàn)[3]，二者輸運(yùn)計(jì)算采用的截面數(shù)據(jù)庫(kù)基于ENDF/B-Ⅵ，本文采用的數(shù)據(jù)庫(kù)基于ENDF/B-Ⅶ.0制作。本文計(jì)算得到的keff的總不確定度為0.416 7%，較參考結(jié)果偏小。其原因是本文采用的核數(shù)據(jù)相對(duì)協(xié)方差與參考結(jié)果采用的相對(duì)協(xié)方差數(shù)據(jù)有部分不一致，此外能群結(jié)構(gòu)對(duì)于靈敏度系數(shù)和協(xié)方差矩陣的制作也存在影響，同樣會(huì)導(dǎo)致不確定度計(jì)算結(jié)果的差異。但可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前核數(shù)據(jù)的精度在傳統(tǒng)壓水堆柵元計(jì)算中對(duì)keff造成的不確定度在0.5%左右。

表1 keff及其不確定度計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of keff and its uncertainty

表2 PWR柵元中重要的不確定度來(lái)源及相對(duì)靈敏度系數(shù)Table 2 Most important sources of uncertainty in PWR pin-cell case and relative sensitivity coefficients

圖4 重要反應(yīng)的靈敏度系數(shù)Fig.4 Sensitivity coefficients of some important reactions

3 小結(jié)

微擾理論是計(jì)算微小擾動(dòng)對(duì)響應(yīng)影響的有效方法。基于經(jīng)典微擾理論，開發(fā)了靈敏度和不確定度計(jì)算程序COLEUS，采用該程序分析了柵元計(jì)算中keff對(duì)各核素截面數(shù)據(jù)的靈敏度系數(shù)以及各核素截面對(duì)keff不確定度的貢獻(xiàn)。

計(jì)算結(jié)果表明，截面不確定度對(duì)keff不確定度的貢獻(xiàn)取決于靈敏度系數(shù)和協(xié)方差數(shù)據(jù)，keff對(duì)235U的每次裂變中子產(chǎn)額的擾動(dòng)最為敏感，而238U俘獲截面對(duì)keff的不確定度的貢獻(xiàn)最大。目前核數(shù)據(jù)的測(cè)量精度會(huì)給傳統(tǒng)壓水堆UO2燃料柵元計(jì)算keff帶來(lái)0.4%～0.5%的不確定度。

[1] IVANOV K, AVRAMOVA M, KAMEROW S, et al. Benchmarks for uncertainty analysis in modelling (UAM) for the design, operation and safety analysis of LWRs, Vol Ⅰ: Specification and support data for neutronics cases (Phase Ⅰ), Version 2.1 (final specifications)[R]. [S. l.]: OECD Nuclear Energy Agency, 2013.

[2] WEISBIN C R, MARABLE J H, LUCIUS J L, et al. Application of FORSS sensitivity and uncertainty methodology to fast reactor benchmark analysis[R]. Oak Ridge: Oak Ridge National Laboratory, 1976.

[3] PUSA M. Incorporating sensitivity and uncertainty analysis to a lattice physics code with application to CASMO-4[J]. Annals of Nuclear Energy, 2012, 40(1): 153-162.

[4] REARDEN B T, HOPPER C M, ELAM K R, et al. Applications of the TSUNAMI sensitivity and uncertainty analysis methodology[C]∥ICNC2003. Tokai, Ibaraki, Japan: Japan Atomic Energy Research Institute, 2003.

[5] TAMAGNO P, Van ROOIJEN W F G, TAKEDA T, et al. Sensitivity analysis of Monju using ERANOS with JENDL-4.0[C]∥PHYSOR 2012. Knoxville, Tennessee, USA: American Nuclear Society, 2012.

[6] KODELI I. Multidimensional deterministic nuclear data sensitivity and uncertainty code system: Method and application[J]. Nuclear Science and Engineering, 2001, 138(1): 45-66.

[7] 剛直，周培德. 由截面不確定度引起積分參數(shù)keff不確定度一維分析程序開發(fā)[C]∥第十二屆反應(yīng)堆數(shù)值計(jì)算與粒子輸運(yùn)學(xué)術(shù)會(huì)議. 合肥：中國(guó)核學(xué)會(huì)，2008.

[8] 胡澤華，王佳，孫偉力，等. 基準(zhǔn)模型keff對(duì)核數(shù)據(jù)的靈敏度分析及不確定度量化[J]. 原子能科學(xué)技術(shù)，2013，47(增刊)：312-317.

HU Zehua, WANG Jia, SUN Weili, et al. Sensitivity and uncertainty analysis of calculatedkeffon benchmark models due to uncertainties of nuclear data[J]. Atomic Energy Science and Technology, 2013, 47(Suppl.): 312-317(in Chinese).

[9] 劉慶杰. 二維任意幾何子群共振計(jì)算方法研究及其應(yīng)用分析[D]. 西安：西安交通大學(xué)，2010.

[10]陳其昌. 任意幾何特征線方法及其在直接循環(huán)堆組件計(jì)算中的應(yīng)用研究[D]. 西安：西安交通大學(xué)，2010.

[11]WILLIAMS M L, BROADHEAD B L, PARKS C V. Eigenvalue sensitivity theory for resonance-shielded cross sections[J]. Nuclear Science and Engineering, 2001, 138(2): 177-191.

[12]謝仲生，鄧力. 中子輸運(yùn)理論數(shù)值計(jì)算方法[M]. 西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

[13]BALL M R. Uncertainty analysis in lattice reactor physics calculations[D]. McMaster: McMaster University, 2012.

[14]MacFARLANE R E, MUIR D W, BOICOURT R M, et al. The NJOY nuclear data processing system, Version 2012[R]. USA: Los Alamos National Laboratory, 2012.

[15]WILLIAMS M L, WIARDA D, ARBANAS D, et al. SCALE nuclear data covariance library[R]. Oak Ridge: Oak Ridge National Laboratory, 2009.

[16]MERCATALI L, IVANOV K, SANCHEZ V H. SCALE modeling of selected neutronics test problems within the OECD UAM LWR’s benchmark[J]. Science and Technology of Nuclear Installations, 2013, 2013: 1-11.

[17]KAMEROW S, IVANOV K, MORENO C A. Uncertainty analysis of light water reactor unit fuel pin cells[C]∥2011 International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering. Rio de Janeiro, RJ, Brazil: American Nuclear Society, 2011.

Eigenvalue Sensitivity and Uncertainty Analysis Based on Classical Perturbation Theory

LIU Yong, CAO Liang-zhi, WU Hong-chun, ZU Tie-jun*

(SchoolofNuclearScienceandTechnology,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China)

The uncertainty of nuclear data is being paid to more and more attention because it is one of the most important uncertainty sources in lattice calculation. The expressions of sensitivity and uncertainty ofkeffwith respect to the cross sections were deduced based on the classical perturbation theory. A covariance library was made based on ENDF/B-Ⅶ.1, and the individual covariance matrices of cross section were combined according to the cross section model for lattice calculation in this work. A code COLEUS (calculation tool for evaluating uncertainty and sensitivity) was developed for the sensitivity and uncertainty analysis, and a traditional PWR fuel pin cell problem was calculated and analyzed. Numerical results indicate thatkeffof lattice calculation is the most sensitive to the perturbation of the average number of neutrons released per fission of235U, while the capture cross section of238U has the biggest contribution to the final uncertainty. The measuring accuracy of present nuclear data will bring an uncertainty about 0.4%-0.5% forkeff.

perturbation theory; covariance; sensitivity; uncertainty

2014-03-25;

2014-07-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(91226106)

劉 勇(1988—)，男，四川成都人，博士研究生，核能科學(xué)與工程專業(yè)

*通信作者：祖鐵軍，E-mail: tiejun@mail.xjtu.edu.cn

TL32

A

1000-6931(2015)07-1247-07

10.7538/yzk.2015.49.07.1247