提煉基本圖形巧解最值問題

姜黃飛　沈順良

1提煉基本圖形

二次函數(shù)的最值問題、增減性問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題，也是中考試題卷上的難點(diǎn)問題，在一定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)最值問題更是學(xué)生的易錯點(diǎn).筆者在教學(xué)中研究發(fā)現(xiàn)，有關(guān)上述問題都只需要關(guān)注拋物線的開口方向和對稱軸的位置，所以我們可以將二次函數(shù)的圖像從直角坐標(biāo)系中剝離出來，提煉出下面兩種基本圖形，利用兩種基本圖形，在圖中找出自變量對應(yīng)的圖像區(qū)間從而解決相關(guān)的最值等問題.

基本圖形1基本圖形22兩種基本圖形的適用范圍和優(yōu)勢

兩種基本圖形適用于二次函數(shù)的最值問題、增減性問題，它不關(guān)注拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，只需畫出拋物線的對稱軸和開口方向，這使得畫基本圖形非常簡便，尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題，只要畫好對稱軸的位置，討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系就可以了.還有在解決實際應(yīng)用問題中的最值問題時，不管自變量區(qū)間包不包含頂點(diǎn)，都可以借助基本圖形數(shù)形結(jié)合的加以解決，避免錯誤的發(fā)生.下面從幾個中考實例加以說明.

3基本圖形的應(yīng)用

3.1已知函數(shù)值的大小關(guān)系，求頂點(diǎn)自變量的范圍

例1（2013年陜西）已知兩點(diǎn)A（-5，y1），B（3，y2）均在拋物線y=ax2+bx+ca≠0上，點(diǎn)Cx0，y0是該拋物線的頂點(diǎn).若y1>y2≥y0，則x0的取值范圍是（）.

A.x0>-5B.x0>-1

C.-5

思維導(dǎo)引已知Cx0，y0是拋物線的頂點(diǎn)，又有y1>y2≥y0，可知C點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，拋物線的開口向上，可以畫出反映增減性和最值的基本圖形（只關(guān)注開口方向和對稱軸），借助圖形從“形”的角度分析；也可以從“數(shù)”的角度，把兩點(diǎn)A-5，y1，B3，y2代人尋求解決方案.

解析方向一：從“形”的角度分析，數(shù)形結(jié)合.

由點(diǎn)Cx0，y0是該拋物線的頂點(diǎn)，且y1>y2≥y0，所以y0為函數(shù)的最小值，即得出拋物線的開口向上，畫出基本圖形2.

接下來點(diǎn)A，B在哪里？想到分類討論，都在對稱軸的左邊或一左一右或都在右邊，利用不等式求解.

因為y1>y2≥y0，所以得出點(diǎn)A、B可能在對稱軸的兩側(cè)或者是在對稱軸的同側(cè).

①：如1，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都在對稱軸的左側(cè)時（點(diǎn)B可以與頂點(diǎn)重合），x0≥3；

②：如2，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在對稱軸的兩側(cè)時，點(diǎn)B距離對稱軸的距離小于點(diǎn)A到對稱軸的距離，即得x0-（-5）>3-x0，解得x0>-1，又3>x0>-5，所以3>x0>-1；

③：如3，A、B兩點(diǎn)都在對稱軸的右邊不合題意，綜上所得：x0>-1，故選B.

123方向二：從“數(shù)”的角度分析，這里不作分析.

解后反思對于二次函數(shù)的有關(guān)最值問題和增減性問題，借助提煉基本圖形，數(shù)形結(jié)合，是一條快捷有效的解決問題的途徑，題中有關(guān)A、B兩點(diǎn)與頂點(diǎn)的位置需要分類討論是分析中的難點(diǎn)，也是易錯點(diǎn)，還有如2中A、B兩點(diǎn)到對稱軸的水平距離的比較，需要用到拋物線的對稱性分析，在解決相關(guān)問題中這也是一個重要的關(guān)注點(diǎn)，也是分析和解決問題中的一個難點(diǎn).

3.2已知自變量取值范圍和最值，求參數(shù)的值

例2（2014年浙江嘉興）當(dāng)-2≤x≤1時，二次函數(shù)y=-x-m2+m2+1有最大值4，則實數(shù)m的值為（）

A.-74B.3或-3

C.2或-3D.2或-3或-74

思維導(dǎo)引①利用函數(shù)開口方向和頂點(diǎn)畫出基本圖形；②-2≤x≤1處在哪個范圍內(nèi)，分類討論；③利用不等式和方程列式求解；④考慮范圍的取舍；

123解析

①如1，當(dāng)m>1時，-2≤x≤1對應(yīng)的圖像在對稱軸的左邊，不包含頂點(diǎn)，

有x=1時，二次函數(shù)取到最大值，

此時，-1-m2+m2+1=4，解得m=2，成立.②如2，當(dāng)-2≤m≤1時，-2≤x≤1對應(yīng)的圖像包含頂點(diǎn)，

有x=m時，二次函數(shù)有最大值，

此時，m2+1=4，解得m1=3（舍去），m2=-3；所以m=-3.

③如3，當(dāng)m<-2時，-2≤x≤1對應(yīng)的圖像在對稱軸的右邊，不包含頂點(diǎn)，

有x=-2時二次函數(shù)有最大值，

此時--2-m2+m2+1=4，解得m=-74與m<-2矛盾，故m值不存在；

綜上所述，m的值為2或-3.故選C.

解后反思對于含參數(shù)的二次函數(shù)的有關(guān)最值問題和增減性問題，上例中對稱軸用含參數(shù)的式子：直線x=m來表示，用提煉的“基本圖形”，我們只需要關(guān)注拋物線的開口，可以避免對稱軸與x軸的位置關(guān)系的討論，圖形非常的簡潔，只需要對-2≤x≤1與對稱軸的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論即可.分類討論與案例1討論的方法類似，但是每一段有一個大前提.如-2≤x≤1對應(yīng)的圖像在對稱軸的左邊，不包含頂點(diǎn)時對應(yīng)的m的范圍是m>1，后面計算的m值或范圍要考慮取舍，這是含參數(shù)問題最需要注意的地方，也正是我們很多同學(xué)容易出錯的地方，上面案例中的后面兩段都需要作取舍.

3.3二次函數(shù)實際應(yīng)用中，求函數(shù)的最值.

例3（2013年湖北黃岡）某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完，該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國內(nèi)市場銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y1（元）與國內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的關(guān)系為：y1=15x+900

-5x+1302≤x<6若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y2（元）與國外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系為：y2=1000

-5t+1102≤t<6（1）用x的代數(shù)式表示t為：t=；當(dāng)0

（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤W（千元）與國內(nèi)的銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

（3）該公司每年國內(nèi)、國外的銷量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

思維導(dǎo)引①由年產(chǎn)量國內(nèi)、國外市場共6千件，國內(nèi)銷售數(shù)量x（千件），所以國外的銷售數(shù)量t=6-x（千件），從而將y2中t的范圍轉(zhuǎn)化成x的范圍，0

解析（1）由題意，得t=6-x，所以當(dāng)0

當(dāng)2≤t<6時0

（2）分三種情況：

①當(dāng)0

②當(dāng)2

③當(dāng)4

（3）當(dāng)0

此時如1所示AB段不含A點(diǎn)，顯然當(dāng)x=2時，wmax=600；

當(dāng)2

此時如2所示CD段不含C點(diǎn)，顯然當(dāng)x=4時，wmax=640；

當(dāng)4

此時如3所示EF段不含E、F兩點(diǎn)，所以當(dāng)4

綜上所述，當(dāng)x=4時，wmax=640.

123故該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元.解后反思應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題時，最值問題的求解是中考考查的一個熱點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯點(diǎn)，難在自變量范圍的確定和在一定范圍內(nèi)的最值的求解，學(xué)生往往忽視自變量的取值范圍.本案例中要對自變量x分三段討論，而每一段都需要分析相應(yīng)的最值，再綜合起來，這里主要關(guān)注各段區(qū)間上最值的求解，在0

上述案例是對提煉的“基本圖形”的一些應(yīng)用，該“基本圖形”在解決二次函數(shù)的增減性問題和最值問題中，有著它特有的優(yōu)勢.當(dāng)然在教學(xué)中還需要對學(xué)生進(jìn)行思維的引導(dǎo)，筆者通過平時教學(xué)中的不斷滲透，學(xué)生遇到相關(guān)問題時，解題的速度和準(zhǔn)確率都較為理想，實踐證明具有實效性，所以我們教師在教學(xué)上需要有自己的思考，需要有方法和思想的提煉，創(chuàng)造性地用好數(shù)學(xué)知識.

作者簡介姜黃飛，男，中學(xué)高級教師，縣數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，主持了多個課題并獲獎，參與過市中考命題和期末統(tǒng)考命題，獲縣優(yōu)秀教師，縣優(yōu)秀班主任，優(yōu)秀德育導(dǎo)師等榮譽(yù).