杜水淼

【摘 要】非線性系統(tǒng)辨識是結構動力學的一項重要研究內(nèi)容。在復雜的廣域頻率系統(tǒng)中，針對全部未知參數(shù)的可追蹤性會隨著系統(tǒng)自由度的增加而急劇衰減。為了解決此類問題，通常根據(jù)所研究系統(tǒng)的幾何參數(shù)和動力學特性建立近似結構模型，然后應用模態(tài)校正法對近似模型的參數(shù)進行整定。對此，提出了一種基于靈敏度分析的模態(tài)擬合算法，綜合了系統(tǒng)留數(shù)靈敏度分析和模態(tài)擬合靈敏度分析的優(yōu)勢，能夠有效地處理具有強烈非線性參數(shù)影響的模態(tài)擬合問題。在某型號發(fā)動機護板模型參數(shù)辨識問題中進行了仿真應用，結果顯示在中低頻范圍內(nèi)該方法具有良好的應用效果。

【關鍵詞】 參數(shù)辨識 靈敏度 模態(tài)擬合 非線性

0引言

模態(tài)校正方法的核心在于校正參數(shù)的正確選取和模態(tài)的有效擬合[1]。Maia[2]等提出了一種基于頻響模型靈敏度分析的動態(tài)剛度矩陣參數(shù)校正方法； kozak[3]等提出了模態(tài)欠擬合最小化校正法，該方法利用頻響函數(shù)來代替模態(tài)數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化模態(tài)欠擬合指數(shù)來實現(xiàn)參數(shù)的整定；在針對病態(tài)的、具有強烈噪音信號的系統(tǒng)參數(shù)校正，Ahmadian[4]等提出了一種正交化優(yōu)化方法來實現(xiàn)參數(shù)的合理選取和模態(tài)的有效擬合。

1 靈敏度分析

大型復雜系統(tǒng)通常具有大量的未知參數(shù)，但并非所有的未知參數(shù)都需要整定。針對待整定參數(shù)的選取應該遵循兩個基本的標準： 一是該參數(shù)具有可見性，即真實模型對該參數(shù)是”敏感”的；二是該參數(shù)與其他參數(shù)對真實模型的影響具有可區(qū)分性。對模型進行靈敏度分析可以有效地實現(xiàn)以上目標。常見的靈敏度分析方法有傳遞函數(shù)靈敏度分析，積分形式的靈敏度分析，直接近似靈敏度分析和伴隨狀態(tài)靈敏度分析方法等。通過模態(tài)分解，系統(tǒng)對參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

其中，p為待整定參數(shù)，φ和ω為各階實驗模態(tài)及其頻率，b和c分別為系統(tǒng)輸入矩陣和觀測矩陣。需要注意的是，隨著系統(tǒng)自由度的增多，對所有模態(tài)進行一一計算是不可行的，需要在指定頻域內(nèi)進行模態(tài)截取并在誤差允許的范圍內(nèi)進行靜態(tài)修正。

2 基于靈敏度分析的模態(tài)擬合方法

模態(tài)校正辨識法的主要思路是比較實驗模型（視為真實模型）與FEM模型之間的誤差，通過待整定參數(shù)的調(diào)節(jié)來使誤差最小化，從而達到參數(shù)辨識的目的。由于FEM模型的求解會產(chǎn)生無法預知的非物理模態(tài)或局部模態(tài)，因此并非FEM模型與實驗模型的所有模態(tài)都是可比較的。針對這一問題的解決辦法是在指定頻域內(nèi)進行模態(tài)擬合?，F(xiàn)有的模態(tài)擬合標準除了常用的模態(tài)確定準則（MAC）以外，還有在此基礎上演化出來的坐標確定準則（COMAC）和模態(tài)確定性貢獻準則（MACCO）?；陟`敏度分析的模態(tài)擬合方法綜合了靈敏度分析與模態(tài)欠擬合指標法，能夠有效地實現(xiàn)具有非線性參數(shù)影響下的模態(tài)擬合。其核心思想是在每一個載荷步，對模態(tài)欠擬合函數(shù)依據(jù)未知參數(shù)進行線性化處理，迭代求解直至收斂。經(jīng)過線性化后約束方程可表示為[3]：

（2）

該方程在每個自由度上展開可得線性方程：

（3）

其中s為擬合指數(shù)靈敏度矩陣。需要注意的是，盡管擬合指數(shù)的靈敏度函數(shù)具有解析形式，但是在實際應用中通常利用微擾法進行數(shù)值計算。

3 在非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識中的應用

本文研究以上方法在某型號發(fā)動機護板參數(shù)辨識中的應用。該發(fā)動機護板實驗模型由具有10%隨機噪音的FEM模型代替，待整定參數(shù)的FEM模型具有16844個自由度，74898個元素和29652個節(jié)點，材料為鋁合金AG11。

對降階模型進行參數(shù)靈敏度分析，可以選擇待整定參數(shù)并確定其近似值（見圖 1），進而建立系統(tǒng)的近似模型。靈敏度分析結果顯示本應用中待定參數(shù)可選為連接剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。本例中的靈敏度分析通過模態(tài)分解法實現(xiàn)，降階模型由一系列不依賴于待整定參數(shù)的模態(tài)基構成，仿真結果顯示，使用多模態(tài)基構建的降階模型進行靈敏度分析結果更加準確。

圖 1參數(shù)靈敏度分析

依據(jù)模型對各個參數(shù)的靈敏度，確定參數(shù)校正的載荷步長。在每一個載荷步內(nèi)，計算系統(tǒng)在各個模態(tài)的MAC值并依據(jù)式（2）和式（3）進行迭代求解直至達到預定的收斂條件，此時的模型即為得到校正的模型（見圖 2）。

圖 2校正前后的系統(tǒng)模態(tài)比較

結果顯示，在中低頻范圍內(nèi)，系統(tǒng)校正效果非常好。在超高頻范圍內(nèi)，該方法尚不能完全適用，原因是高頻區(qū)間存在的大量虛假模態(tài)和局部模態(tài)干擾了模態(tài)擬合的結果，出現(xiàn)了某一個真實模態(tài)對應多個數(shù)值模態(tài)或多個真實模態(tài)對應某一個數(shù)值模態(tài)的情況。為了避免此類干擾的出現(xiàn)，需要在模型構建初期進行相關處理以消除局部模態(tài)的產(chǎn)生，該部分不是本文的研究內(nèi)容。

4 結論

針對系統(tǒng)進行靈敏度分析可以快速有效地選擇待整定參數(shù)并確定其取值范圍，針對模態(tài)擬合指數(shù)進行靈敏度分析可以有效地處理具有強烈非線性參數(shù)影響的模態(tài)擬合問題。本文提出了一種基于靈敏度分析的模態(tài)擬合算法并以某型號發(fā)動機護板的參數(shù)辨識為應用實例，成功實現(xiàn)了FEM模型的校正和參數(shù)的整定。仿真結果顯示，該算法在中低頻范圍內(nèi)的應用取得了良好的效果，因而在實際工程上具有一定的指導意義。

參考文獻

[1]Kerschen， G.， Worden， K.， Vakakis， A. F.， & Golinval， J. C. （2007）.Nonlinear system identification in structural dynamics： current status and future directions. In 25th International Modal Analysis Conference.

[2]Maia， N. M. M.， & e Silva， J. M. M. （Eds.）. （1997）.Theoretical and experimental modal analysis （pp. 480-488）. Taunton： Research Studies Press.

[3]Kozak， M. T.， ?ztürk， M.， & ?zgüven， H. N. （2009）. A method in model updating using Miscorrelation Index sensitivity. Mechanical Systems and Signal Processing，23（6）：1747-1758.

[4]Ahmadian， H.， Friswell， M. I.， & Mottershead， J. E. （1998）. Minimization of the discretization error in mass and stiffness formulations by an inverse method. International Journal for Numerical Methods in Engineering，41（2）：371-387.