摘 要：本文把二值圖像當(dāng)成二維笛卡兒柵格的一個子集，然后從集合的角度論證了本系統(tǒng)中相關(guān)運算（指令集）的完備性。同時本系統(tǒng)在架構(gòu)上采用了數(shù)字CNN的并行處理架構(gòu)以提高處理速度，在指令的實現(xiàn)上結(jié)合了數(shù)字CNN以及數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的實現(xiàn)方式，因此該系統(tǒng)具有良好的實時圖像處理能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)；數(shù)字CNN；指令；二值圖像

Binary Image Processing System based on Mathematical Morphology and Digital CNN

CHEN Ruisen

（Information Technology Department， Xiamen Ocean Vocational College，Xiamen Fujian 361012，China）

Abstract： In this paper， the binary image is considered as a subset of a two dimensional Cartesian grid， and the completeness of related basic operations （instruction Set） used in this system is demonstrated from the perspective of set. While the digital CNN parallel processing architecture is introduced in this system to increase the processing speed， and the realization way of instructions combines the advantages of the realization ways of mathematical morphology and digital CNN， so this system has good performance in the real-time image processing.

Keywords： Mathematical Morphology； Digital CNN； Instruction； Binary Image

0引 言

圖像處理在模式識別、機(jī)器視覺等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，已成為現(xiàn)代信息處理領(lǐng)域中一項重要的基礎(chǔ)實踐技術(shù)[1]。在圖像處理中，實際的物理過程常常是非線性的，這就使得非線性處理技術(shù)日漸受到高度關(guān)注，已成為圖像處理的關(guān)鍵研究方法之一[2-4]。

在非線性圖像處理技術(shù)中，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)以及細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）獲得了長足進(jìn)步和可觀發(fā)展部[2-3]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)雖有著堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和簡潔的基本思想，但當(dāng)圖像或結(jié)構(gòu)元素的尺寸比較大時，卻表現(xiàn)出較高的計算復(fù)雜度，難以滿足實時圖像處理要求。而CNN雖具有實時處理能力，但其模擬實現(xiàn)方式則使其在準(zhǔn)確度、噪聲以及芯片間通訊等方面存在一些不足[5]。近來，有不少學(xué)者針對如何利用CNN架構(gòu)來實現(xiàn)二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作進(jìn)行研究[6-7]，但這些研究進(jìn)展的焦點均集中在于使用CNN模板來實現(xiàn)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)操作，且其具體實現(xiàn)芯片是模擬的，這將帶來兩個方面的問題：一是當(dāng)結(jié)構(gòu)元素超過3×3時，很難用CNN模板來實現(xiàn)相關(guān)操作，另外一個是模擬CNN電路的不足仍將限制這些芯片的拓展應(yīng)用?；诖耍疚牡难芯磕康氖墙⒁粋€高度并行的可編程通用二值圖像處理系統(tǒng)。本系統(tǒng)的通用性及可編程性主要利用二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)理論——集合論加以證明；在并行上，本文引入了易于硬件實現(xiàn)的數(shù)字CNN并行處理架構(gòu)[8]。因此本系統(tǒng)算法以及結(jié)構(gòu)都較為簡單，更加適用于實時處理領(lǐng)域。

本文內(nèi)容具體安排如下：首先簡要介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)以及數(shù)字CNN的基本原理，接著從集合的角度證明了本系統(tǒng)相關(guān)操作（指令）的完備性，同時介紹了本系統(tǒng)的架構(gòu)和工作原理，最后對本系統(tǒng)進(jìn)行了功能仿真和性能分析，進(jìn)而給出相關(guān)結(jié)論。

1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及數(shù)字CNN的基本原理

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是分析圖像幾何形狀和結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，用像素的集合來表示圖像。形態(tài)學(xué)操作涉及兩個圖像；一個是被處理的圖像，用集合A（a1，a2，….，an）表示；另一個稱為結(jié)構(gòu)元素，用集合B（b1，b2，……，bm）表示，每個B可指定一個原點，這個原點可在B內(nèi)部或外部。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去量度和提取被處理圖像中的對應(yīng)形狀以達(dá)到對圖像分析和識別的目的。換句話說，不同的結(jié)構(gòu)元素（或同一結(jié)構(gòu)元素指定不同的原點）可以對圖像進(jìn)行不同的處理。在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中最基本的操作是膨脹和腐蝕，其余操作均可以由這兩個基本操作的組合變換來實現(xiàn)，例如開和閉操作。集合A被集合B膨脹和腐蝕分別定義為：

A B= （1）

A B= （2）

其中， ， .

膨脹及腐蝕操作只涉及到集合的平移、交、并以及反運算，若在二值圖像中這些運算即相當(dāng)于布爾邏輯中的與、或、非運算。

1.2 細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）是一種能實時、高速并行處理信號的大規(guī)模非線性模擬電路，具有易于VLSI實現(xiàn)的優(yōu)點。C（i，j）表示CNN中第i行、第j列的神經(jīng)元，只與其周圍的8個神經(jīng)元相連，而與其它的神經(jīng)元并不相連。細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個大的動態(tài)系統(tǒng)，其中每個神經(jīng)元細(xì)胞可用下面的狀態(tài)方程描述：

i=1，…，M j=1，…，N （3）

i=1，…，M j=1，…，N （4）

其中，xij（t）指t時刻各細(xì)胞的狀態(tài)，ykl（t）是細(xì)胞的輸出，ukl是細(xì)胞的初始輸入值，A、B、I分別是反饋模板、控制模板和閾值電流，CNN神經(jīng)元細(xì)胞陣列的不同圖像處理功能主要取決于反饋模板A、控制模板B以及閾值I的不同設(shè)置。

現(xiàn)在已有不少模擬CNN芯片出現(xiàn)，但研究結(jié)果表明使用數(shù)字架構(gòu)來仿效實現(xiàn)CNN狀態(tài)方程（3）及輸出方程（4）的功能則是一種更具優(yōu)勢的方式，因為這種方式使用數(shù)字的方法來實現(xiàn)CNN的微分方程式計算過程是比較容易用電路實現(xiàn)的，且電路功能是也可測試的。在二值圖像中，分別用“1”和“0”來代表黑白像素，通過分析微分方程的輸入輸出關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)每個神經(jīng)元的輸入輸出關(guān)系可以用布爾邏輯函數(shù)表達(dá)式來表達(dá)。

（5）

例如對于左陰影檢測，其模板如方程（5）所示，而其相應(yīng)的輸入輸出關(guān)系可用布爾表達(dá)式表示為：

Yij= Uij OR Yi，j-1 （6）

上面的指令需重復(fù)執(zhí)行直到Y(jié)i，j-1不再變化，即Yij也不再變化，只要所有神經(jīng)元的輸出都不再變化，指令便可停止執(zhí)行，左陰影檢測即可完成。其它的圖像處理都可以采用類似的方式來實現(xiàn)，也就是說，在數(shù)字CNN中，基本的布爾操作及其一定的組合就可以完成相關(guān)的圖像處理。

2系統(tǒng)設(shè)計

在這部分，首先將證明所有的圖像處理均可以利用膨脹和腐蝕的組合來實現(xiàn)，也就是說，在二值圖像中，由與、或、非組成的指令集是完備的，因為由與、或、非操作的組合可實現(xiàn)相應(yīng)的膨脹及腐蝕操作，即可完成所有的二值圖像處理。在完成了指令集的完備性證明后，將具體介紹本文二值圖像處理系統(tǒng)的架構(gòu)及具體圖像處理方式。

2.1 指令的完備性證明

對二值圖像A的處理表示為C= 。圖像處理可以分成兩個步驟，一個是對A進(jìn)行腐蝕，記為 ， 另一個是膨脹，記為 ，處理后的圖像C= = 。

定義3： 是集合（A C）的原點移動集合，即M定義為：

定義4： 是集合（C-A）的原點移動集合，即N定義為：

定理： 存在集合 En， Fn， In，Jn ，

證明：（1）設(shè)En=

Fn=

則，

=

（2）設(shè)G=（C-A） H，其中 H={（-1，0），（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0）}

In=

Jn=

則，

=C-A

上述內(nèi)容證明，所有的二值圖像處理均可以基于腐蝕和膨脹操作的組合來實現(xiàn)。在二值圖像處理中，腐蝕和膨脹操作相當(dāng)于像素點的與、或、非操作組合，因此本文系統(tǒng)所使用的指令集（AND， OR， NOT）是完備的。上面只證明了利用AND， OR， NOT的組合能實現(xiàn)所有的二值圖像處理，但本系統(tǒng)的實際指令集系統(tǒng)還包括傳送、跳轉(zhuǎn)以及判斷等指令。

2.2 系統(tǒng)架構(gòu)及工作原理

在完成了指令集的完備性證明后，本文具體設(shè)計了如圖1（a）所示整個系統(tǒng)架構(gòu)，有關(guān)譯碼控制和時序電路的設(shè)計在文獻(xiàn)[9][10]中有詳細(xì)介紹。系統(tǒng)中的每個處理單元PE（Processing Element）等價于一個算術(shù)邏輯運算單元（ALU），其功能模塊如圖1（b）所示。

（a）系統(tǒng)架構(gòu) （b）PE的功能框圖

（a） System architecturegon （b） Functional block diagram of PE

圖1系統(tǒng)架構(gòu)和PE的功能框圖

Fig.1 System architecture and functional block diagram of PE

在本系統(tǒng)中，有規(guī)則的圖像處理利用數(shù)字CNN的處理方式來實現(xiàn)，表1列出了輪廓提取、左邊界探測、右邊界探測的具體實現(xiàn)方式。關(guān)于復(fù)雜、不規(guī)則的圖像處理則采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的結(jié)構(gòu)元素方式來實現(xiàn)，例如，區(qū)域填充可以通過方程（4）的方式來實現(xiàn)

until k=0，1，2，3……..

C= （7）

其中， B={（-1，0），（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0）} 是結(jié)構(gòu)元素， A 是待處理圖像， C是處理后圖像， X0 是 A中的任一初始點。

表1 相關(guān)圖像處理的實現(xiàn)方式

Tab.1 Method of the related image processing

實例 指令 實現(xiàn)原理

輪廓提取 OR Yij=Uij and（not（Ui-1，j-1 and Ui-1，j and Ui-1，j+1 and Ui，j-1 and Ui，j+1 and Ui+1，j-1 and Ui+1，j and Ui+1，j+1））

左邊界探測 AND

NOT Yij=（Uij AND Uij+1）AND（NOT（Ui，j-1） ）

右邊界探測 AND

NOT Yij=（Uij AND Ui，j-1）AND（NOT（Ui，j+1） ）

3 仿真及性能分析

在完成了系統(tǒng)架構(gòu)設(shè)計后，本文利用MATLAB軟件對系統(tǒng)的功能進(jìn)行仿真，同時基于VHDL的8×8PE陣列也被綜合下載驗證。圖2提供了相關(guān)原始圖及其對應(yīng)處理效果圖。

（a） 輪廓提取 （b） 左邊界檢測 （c） 右邊界檢測

（a） Contour extraction （b） Left edge detection （c） Right edge detection

圖2 原始圖及其相應(yīng)的處理結(jié)果圖

Fig.2 Original graph and its corresponding processing results

圖3提供了區(qū)域填充時的原始圖、結(jié)構(gòu)元素及填充結(jié)果圖。實際的仿真結(jié)果顯示本系統(tǒng)圖像處理具有良好的靈活性。

（a） 原始圖 （b） 結(jié)構(gòu)元素 （c） 處理結(jié)果

（a） Primitive graph （b） Structure element （c） Processing results

圖3 區(qū)域填充的圖像處理過程

Fig.3 Image processing procedure for region filling

在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，每個操作的步驟基本上與圖像的分辨率成正比，處理速度達(dá)不到實時要求，因此數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)適合執(zhí)行復(fù)雜、不規(guī)則的圖像處理。在數(shù)字CNN中每個操作的步驟非常少，且與圖像的分辨率無關(guān)，因此能滿足實時要求。雖然CNN具有并行架構(gòu)、處理速度快的優(yōu)勢，但數(shù)字CNN的圖像處理是基于像素間的邏輯關(guān)系的，使得只適合做簡單的、規(guī)則的圖像處理。在本系統(tǒng)中，實現(xiàn)了兩種處理方法優(yōu)勢的充分結(jié)合，因此具有良好的圖像處理性能。

4結(jié)束語

本文提出了一個充分結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和數(shù)字CNN圖像處理優(yōu)勢的二值圖像處理系統(tǒng)，而且同時具有簡單的架構(gòu)及高速的圖像處理能力。接下去的工作將致力于使該系統(tǒng)能處理灰度圖像。

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