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      利用數(shù)列遞推公式求通項公式淺探

      2015-05-30 08:42:45何升吉
      關(guān)鍵詞:求通式子通項

      何升吉

      [摘要]在高中數(shù)學(xué)中,數(shù)列知識最活躍,聯(lián)系最廣泛,是高考的重點與難點.而通項公式又是數(shù)列的靈魂.對利用遞推公式求通項公式進行研究,可揭示這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)規(guī)律與本質(zhì).

      [關(guān)鍵詞]數(shù)列通項公式遞推公式

      [中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058(2015)020060

      歷年高考對數(shù)列的考查都是以通項公式和前n項和為主,其中前n項和的求法又是由通項公式?jīng)Q定的,所以,通項公式是數(shù)列的重點.在求通項公式的題型中,利用遞推公式求通項公式是重點.本文將按照不同遞推公式的形式,介紹幾種求通項公式的方法.

      一、形如an+1-an=f(n)的遞推公式求通項公式(疊加法)

      具體做法如下.

      ∵an+1-an=f(n),∴a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1).

      上面n-1個式子左右兩邊分別相加,得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1).

      算出右邊的式子,再結(jié)合給出的a1,則可求出通項公式.

      【例1】已知a1=1,an+1-an=2n,求an.

      解:∵an+1-an=2n,∴a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1.

      左右兩邊分別相加得

      an-a1=2+22+…+2n-1=2(1-2n-1)1-2=2n-2.

      ∴an=2n-1.

      二、形如an+1an=f(n)的遞推公式求通項公式(疊乘法)

      具體做法如下.

      ∵an+1an=f(n),∴a2a1=f(1),a3a2=f(2),…,anan-1=f(n-1).

      上面n-1個式子左右兩邊分別相乘,得ana1=f(1)×f(2)×…×f(n-1).

      同樣算出右邊的式子,再結(jié)合給出的a1,則可求出通項公式.

      【例2】已知a1=1,(n+1)an+1=nan,求an.

      解:∵(n+1)an+1=nan,即an+1an=nn+1,∴a2a1=12,a3a2=23,…,anan-1=n-1n.

      上述n-1個式子左右兩邊相乘,得ana1=12×23×…×n-1n=1n.∴an=1n.

      三、形如an+1=can+d(c≠1)的遞推公式求通項公式(構(gòu)造等比數(shù)列)

      具體做法如下.

      設(shè)an+1+x=c(an+x),則有an+1=can+(c-1)x.與an+1=can+d對比,得(c-1)x=d,∴x=dc-1.將x=dc-1代入an+1+x=c(an+x),得an+1+dc+1=c(an+dc-1).

      令bn=an+dc-1,則有bn+1=cbn,且b1=a1+dc-1.可以看出,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,求出{bn}的通項公式,即可求出an.

      【例3】已知a1=1,an+1=2an+1,求an.

      分析:設(shè)an+1+x=2(an+x),展開得an+1=2an+x,與an+1=2an+1對比得x=1.

      解:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).

      令bn=an+1,則bn+1=2bn.

      ∵b1=a1+1=2,∴bn=2n,即an=2n-1.

      四、形如an+1=can+dn的遞推公式求通項公式

      (1)當c≠d時,采用構(gòu)造等比數(shù)列的方法.

      設(shè)an+1+xdn+1=c(an+xdn)an+1+xdn+1=can+cxdn-xdn+1an+1=can+(c-d)xdn.

      與an+1=can+dn對比,可得(c-d)x=1,從而求出x=1c-d.

      即an+1=can+dn可化為an+1+1c-ddn+1=c(an+1c-ddn).令bn=an+1c-ddn,可得bn+1=cbn,且b1=a1+1c-dd,易知{bn}是等比數(shù)列,先求bn,即可求出an.

      (2)當c=d時,采用構(gòu)造等差數(shù)列的方法

      當c=d時,an+1=can+d即為an+1=can+cn,此種類型的處理方法是式子兩邊同除以cn+1.(不管題目中c的指數(shù)是多少次,均同除以cn+1)

      an+1=can+cn變?yōu)閍n+1cn+1=cancn+1+cncn+1=ancn+1c.令bn=ancn,得bn+1=bn+1c,b1=a1c顯然{bn}是等差數(shù)列,求出bn即可求出an.

      以上即為利用遞推公式求通項公式的幾種常見類型.學(xué)生在做題時,只要能夠分析清楚它屬于哪一種題型,采用相應(yīng)的方法解答即可.

      (責(zé)任編輯鐘偉芳)

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