余錦銀 楊美璋

縱向引申

用動(dòng)態(tài)觀念對(duì)原題加以縱向引申、 變化，可幫助自己用動(dòng)態(tài)意識(shí)去觀察、聯(lián)想，類(lèi)比解決問(wèn)題，有助于培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力.對(duì)典型例、習(xí)題可從以下幾個(gè)角度進(jìn)行縱向引申.

改變提問(wèn)方式：把證明題改變?yōu)樘剿黝}，將結(jié)論隱蔽起來(lái)，可提高難度.改變提問(wèn)的角度，往往也會(huì)改變題目的難度.

改變題設(shè)條件：適當(dāng)增刪已知條件，隱蔽條件明朗化，明顯條件隱蔽化，直接條件間接化，間接條件直接化，抽象條件具體化，具體條件抽象化，乃至條件參數(shù)的變更.

改變綜合程度：增減知識(shí)點(diǎn)的組合，調(diào)整解題方法的結(jié)構(gòu)，變換知識(shí)和方法的綜合廣度或者深度等等.

例1 ?“如圖 ，直線[y=x-2]與拋物線[y2=2x]相交于[A，B]兩點(diǎn)，求證[OA⊥OB].”

變式引申1 ?改變直線方程，凸現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)

（1）如果把上題中的直線改為[y=2（x-2）]，則是否有[OA⊥OB]呢？（2）如果把上題中的直線改為[y=3（x-2）]，則是否有[OA⊥OB]呢？（3）這些能使得[OA⊥OB]的直線有何共同點(diǎn)？（證明略）

變式引申2 ?凸現(xiàn)“變式引申1”的結(jié)果

（1）[A，B]是拋物線[y2=4x]上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線[AB]過(guò)點(diǎn)（2，0），則始終有[OA⊥OB]. （2）[A，B]是拋物線[y2=8x]上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，直線[AB]是否也過(guò)某一點(diǎn)定點(diǎn)，使得[OA⊥OB]？（3）[A，B]是拋物線[y2=2px（p>0）]上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，直線[AB]是否也過(guò)某一點(diǎn)，使得[OA⊥OB]？（證明略）

變式引申3 ?凸現(xiàn)一般化

設(shè)[A，B]為拋物線[y2=2px（p>0）]上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線過(guò)定點(diǎn)[（2p，0）]，則[OA⊥OB].（證明略）

變式引申4 ?逆向思考

設(shè)[A，B]是拋物線[y2=2px（p>0）]上兩個(gè)非原點(diǎn)的點(diǎn)，[O]為原點(diǎn)，若[OA⊥OB] ，則直線[AB]必過(guò)定點(diǎn)[（2p，0）].

證明 ?設(shè)直線[OA]的斜率為[k]， 則直線[OB]的斜率為-[1k]，則直線[OA]的方程可表示為[y=kx]①，直線[OB]的方程可表示為[y=（-1k）x]②.

又拋物線方程為[y2=2px]③，

聯(lián)立①③和①②得，[A]（[2pk2]，[2pk]），[B][（2pk2，-2pk）].

∴[AB]所在直線的方程為：[x-2p+（k2-1）yk]=0.

令[k2-1k=m]，則直線的方程可寫(xiě)為[x-2p+my=0]，該方程為直線系方程，恒過(guò)定點(diǎn)[（2p，0）].故結(jié)論得證.

于是我們得到下面結(jié)論1：[A，B]是拋物線[y2=2px]上非原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，[O]為原點(diǎn)，則“[OA⊥OB]”的充要條件是“[AB]所在直線必過(guò)定點(diǎn)[（2p，0）]”.

變式引申5 ?將結(jié)論1換個(gè)說(shuō)法

若拋物線[y2=2px]與過(guò)定點(diǎn)[（2p，0）]的直線交于[A，B]兩點(diǎn)，則以[AB]為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線有何位置關(guān)系？（證明略）

變式引申6 ?由結(jié)論1知，設(shè)[P（x0，y0）]是拋物線[y2=2px（p>0）]上的任意一個(gè)定點(diǎn)，考慮到[O（0，0）]是[P（x0，y0）]的一種特殊情形

過(guò)拋物線[y2=2px（p>0）]上任一定點(diǎn)[P（x0，y0）]作兩弦[PA，PB]，則[PA⊥PB]的充要條件是弦[AB]過(guò)定點(diǎn)[M（x0+2p，-y0）].（證明略）

變式引申7 ?又[kPAkPB=-1]是[kPAkPB=λ]（[λ]為常數(shù)）的特殊情形，將變式引申6進(jìn)行再推廣

過(guò)拋物線[y2=2px（p>0）]上任一定點(diǎn)[P（x0，y0）]作兩弦[PA，PB]，則[kPAkPB=λ]（[λ]為非零常數(shù)）的充要條件是弦[AB]過(guò)定點(diǎn)[M（x0-2pλ，-y0）].

在變式引申7中，當(dāng)[P（x0，y0）]在拋物線[y2=2px]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，令[x=x0-2pλy=-y0]，解得[x0=x+2pλy0=-y]，并代入[y2=2px]中得[y2]=[2px+4p2λ]，可知[M]點(diǎn)的軌跡為拋物線.

于是我們又得到下面結(jié)論2：以拋物線[y2=2px]上一點(diǎn)[P（x0，y0）]為定頂點(diǎn)的所有內(nèi)接三角形中，[kPAkPB=λ]的充要條件是弦[AB]過(guò)點(diǎn)[M（x0-2pλ，-y0）]，當(dāng)[P]在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[M]的軌跡仍為拋物線.

點(diǎn)撥 ?本題通過(guò)一系列縱向變式引申，逐步發(fā)現(xiàn)拋物線的弦[AB]所過(guò)定點(diǎn)[M]的一般性結(jié)論.

橫向?qū)Ρ?/p>

在研究“變題”時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)中的試題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問(wèn)題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系.有利于透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題及其思想方法的核心本質(zhì)，有助于在情景變化過(guò)程中抓住問(wèn)題的本質(zhì)，真正做到舉一反三、觸類(lèi)旁通.

例2 ?已知橢圓方程[x24+y23=1]，[F1，0，N4，0]，[M]為橢圓上一點(diǎn)，且MF與x軸不垂直，直線MF，MN分別交橢圓于A，B，求證：[AB⊥x]軸.

變式引申1 ?將具體橢圓改為一般化的橢圓

已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1a>b>0]，[Fc，0，][Na2c，0]，M為橢圓上一點(diǎn)，且MF與x軸不垂直，直線MF，MN分別交橢圓于另一點(diǎn)A，B，求證：[AB⊥x]軸.

變式引申2 ?將橢圓改為雙曲線

已知雙曲線[C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，][Fc，0，][Na2c，0，]M為雙曲線上一點(diǎn)，且MF與x軸不垂直，直線MF，MN分別交雙曲線于另一點(diǎn)A，B，求證：[AB⊥x]軸.

證明 ?以上兩個(gè)命題可以一起證明. 統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為[mx2+ny2=1]（[m>0]，且[n≠0，]且當(dāng)[n>0]時(shí)，[m

設(shè)[Mx0，y0]，則有[mx02+ny02=1].

所以[kMF=y0x0-c]，直線[MF：x=x0-cy0y+c]，

代入[mx2+ny2=1]得，

[mx0-c2y20+ny2+2cmx0-cy0y+mc2-1=0].

由韋達(dá)定理得，

[yA?y0=mc2-1m（x0-c）2+ny02?y02][=mc2-11-2mcx0+mc2?y20]，

所以[yA=mc2-11-2mcx0+mc2?y0].

同理，在上式中，用[1cm]換掉[c]，即得，

[yB=m1c2m2-11-2m1cmx0+m1c2m2?y0=1-mc2mc2-2mcx0+1?y0=-yA.]

而由圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)性知：[xA=xB]，所以[AB⊥x]軸.

變式引申3 ?將橢圓改為拋物線

拋物線[C：y2=2px，（p>0）]的焦點(diǎn)為[Fp2，0]，準(zhǔn)點(diǎn)[N-p2，0]，[M]為拋物線上一點(diǎn)，且[MF]不垂直[x]軸，直線[MF，MN]分別交拋物線于[A，B]，求證：[AB⊥x]軸.（證明略）

點(diǎn)撥 ?本題通過(guò)一系列橫向變式，既可以發(fā)現(xiàn)三種圓錐曲線，在相類(lèi)似的條件下具有類(lèi)似的結(jié)論“[AB⊥x]軸”;還可以發(fā)現(xiàn)三種圓錐曲線，相類(lèi)似的題型往往有相類(lèi)似的解題策略和方法.