劉堅(jiān) 肖明春

一、考查圓的性質(zhì)

在高考中對(duì)圓的性質(zhì)考查主要體現(xiàn)在：（1）對(duì)稱性;（2）幾何性，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”等等.

例1 ?（1）過點(diǎn)[A（11，2）]作圓[x2+y2+2x-4y-164=0]的弦，其中弦長為整數(shù)的共（ ? ）

A. 16條 B. 17條

C. 32條 D. 34條

（2）已知圓的方程為[x2+y2-6x-8y=0]，設(shè)該圓過點(diǎn)（3，5）的最長弦和最短弦分別是[AC]和[BD]，則四邊形[ABCD]的面積是 ? ? ? .

解析 ?（1）過點(diǎn)（11，2）最短弦長為10，最長弦長為26，分別只有一條，

其它為整數(shù)的弦長還有11，12，…，25的各2條，

所以共有弦長為整數(shù)2+2×15=32條，故選C.

（2）由（1）知，最長弦長為10，最短弦長為[46]，

故四邊形[ABCD]的面積為[S=12×10×46=206.]

點(diǎn)撥 ?（1）由圓的對(duì)稱性介于最短弦和最長弦的弦各有兩條，不可忽視.（2）過圓內(nèi)的點(diǎn)最長的弦是直徑，最短弦是過此點(diǎn)與直徑垂直的弦，解題時(shí)應(yīng)充分利用圓的幾何性.

二、考查圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系主要包含：（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;（2）直線與圓的位置關(guān)系;（3）圓與圓錐曲線（包括圓）的位置關(guān)系，而解決方法常有方程法、平面幾何法、向量法等.

例2 ?（1）若直線[ax+by=1]與圓[x2+y2=1]相交，則[P（a，b）]與圓[x2+y2=1]的關(guān)系為（ ? ）

A. 在圓上 ? B. 在圓外

C. 在圓內(nèi) ? D. 以上都有可能

（2）已知直線[ax+y-2=0]與圓心為[C]的圓[（x-1）2+（y-a）2=4]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，且[△ABC]為等邊三角形，則實(shí)數(shù)[a]的值為 ? ? ? ? .

（3）與圓[C1：x2+y2+2x-6y-26=0]，[C2：x2+y2-4x][+2y+4=0]都相切的直線有（ ? ）

A. 1條 ? B. 2條

C. 3條 ? D. 4條

解析 ?（1）[∵直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交]，

[∴1a2+b2<1，即a2+b2>1，故選]B.

（2）[C（1，a）]到直線[ax+y-2=0]的距離[d=|2a-2|a2+1].

[因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，]

[所以|AB|=|BC|.]

[所以（|2a-2|a2+1）2+1=22.]

[解得a=4±15.]

（3）把已知圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可判斷兩圓相內(nèi)切，它們只有一條公切線，故選A.

點(diǎn)撥 ?（1）點(diǎn)與圓的位置判斷，還可滲透向量法，如：點(diǎn)[O]在以[AB]為直徑的圓上，圓內(nèi)，圓外[?OA·OB=0，OA·OB<0，OA·OB>0].（2）直線和圓的位置關(guān)系，主要采用幾何法. 計(jì)算弦長時(shí)，要利用半徑、弦心距、半弦長構(gòu)成的直角三角形.（3）研究兩圓的位置關(guān)系，要靈活運(yùn)用平面幾何法、坐標(biāo)法，從而去確定兩圓的公切線的條數(shù).

三、圓的切線及切線長

涉及圓的切線，過圓[x2+y2+Dx+Ey+F=0]外一點(diǎn)[M（x0，y0）]引圓的切線，[T]為切點(diǎn)，切線長公式[|MT|=x02+y02+Dx0+Ey0+F].

已知[⊙O1：x2+y2=r2，⊙O2：（x-a）2+（y-b）2=r2]，若點(diǎn)[M（x0，y0）]在圓上，則過點(diǎn)[M]的切線方程分別為[x0x+y0y=r2，][（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，]這與點(diǎn)[M]在圓外引圓的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在的直線方程是一樣的，掌握這些結(jié)論對(duì)解題是有幫助的.

四、與圓有關(guān)的軌跡問題

例3 ?（1）已知圓[M：（x+1）2+y2=1];圓[N：（x-1）2][+y2][=9]，動(dòng)圓[P]與圓[M]外切并與圓[N]內(nèi)切，圓心[P]的軌跡為曲線[C]，求曲線[C]的方程.

（2）由動(dòng)點(diǎn)[P]向圓[x2+y2=1]引兩條切線[PA]，[PB]切點(diǎn)分別為[A，B]，且[∠APB=60°]，則動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡方程為（ ? ）

A. [x2+y2=4] B. [x2+y2=3]

C. [x2+y2=2] D. [x2+y2=1]

解析 ?（1）由已知得圓[M]的圓心為[M（-1，0）]，半徑[r1=1]，圓[N]的圓心為[N（1，0）]，半徑[r2=3].

設(shè)動(dòng)圓[P]的圓心為[P（x，y）]，半徑為[R.]

∵圓[P]與圓[M]外切且與圓[N]內(nèi)切，

∴[|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由橢圓的定義可知，曲線[C]是以[M，N]為左右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為[3]的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為[x24+y23=1（x≠-2）.]

（2）由題設(shè)，在直角[△POA]（[O]為原點(diǎn)）中，[|OP|]為圓半徑[|OA|]的2倍，即[|OP|=2]，

所以點(diǎn)[P]的軌跡方程為[x2+y2=4].

點(diǎn)撥 ?軌跡問題是高考命題的熱點(diǎn)問題，如平面上與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，平面上與兩定點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)[λ]的點(diǎn)的軌跡.這些常見軌跡要熟記，同時(shí)特別關(guān)注圓與圓錐曲線相結(jié)合，考查圓錐曲線定義的軌跡問題.

五、與圓有關(guān)的最值問題

與圓上點(diǎn)[（x，y）]有關(guān)代數(shù)式的最值問題的常見題型及解法：

（1）形如[μ=y-bx-a]，本質(zhì)是直線的斜率的最值問題;

（2）形如[t=ax+by]，轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題;

（3）形如[（x-a）2+（y-b）2]，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.

例4已知點(diǎn)[（x，y）]在圓[（x-2）2+（y-3）2=1]上，求：

（1）[x+y]的最大值和最小值;

（2）[yx]的最大值和最小值;

（3）[x2+y2+2x-4y+5]的最大值與最小值.

解析 ?（1）[（x+y）max=2-1]，[（x+y）min=-2-1]

（2）[yx]的最大值為[-2+233]，最小值為[-2-233]

（3）[x2+y2+2x-4y+5]的最大值為[34+1]，最小值為[34-1].