何靜

“學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與教師的教學(xué)方法密切相關(guān)，正確的教學(xué)方法能啟發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，為智力活動(dòng)創(chuàng)造有利條件.”因此為了確保教育教學(xué)的高效，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)努力鉆研教法和學(xué)法，以幫助學(xué)生能夠從題海中跳出來(lái).平面向量是高中數(shù)學(xué)中一塊重要的內(nèi)容，它也是數(shù)形結(jié)合的重要載體.在高中數(shù)學(xué)必修4的課本中，向量是這樣定義的：既有大小又有方向的量.從定義中來(lái)看向量就兼具有數(shù)量與圖形的特征，這也就為解決向量問(wèn)題提供了方法和依據(jù).一方面，向量可以用有向線(xiàn)段來(lái)表示，這是進(jìn)行向量線(xiàn)性運(yùn)算（幾何運(yùn)算）的基礎(chǔ);另一方面，根據(jù)平面向量基本定理可知平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線(xiàn)向量的線(xiàn)性組合，這是向量坐標(biāo)運(yùn)算（代數(shù)運(yùn)算）的基礎(chǔ).因此，正確處理向量問(wèn)題應(yīng)從數(shù)（坐標(biāo)運(yùn)算）和形（線(xiàn)性運(yùn)算）兩個(gè)角度切入思考.

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)站在新的高度把握向量的教學(xué)，這就要求教師應(yīng)熟悉高考考試要求.《高考數(shù)學(xué)科考試說(shuō)明》對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在下表中分別用A，B，C表示），其中：

了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題;

理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問(wèn)題;

掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問(wèn)題.

從表中可以看出，教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)沒(méi)有必要盲目挖深，當(dāng)然也不能要求過(guò)低.而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的能力水平，以教科書(shū)為基礎(chǔ)，緊扣考試說(shuō)明，精心選題，以達(dá)到良好的教學(xué)效果，下面以具體的實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明.

例1 如圖，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線(xiàn)OM、線(xiàn)段OB及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且OP=xOA+yOB，則x的取值范圍是;當(dāng)x=-12時(shí)，y的取值范圍是.

解 由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，該四邊形應(yīng)是以O(shè)B和OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)為兩鄰邊，∴x的取值范圍是（-∞，0）.

當(dāng)x=-12時(shí)，要使P點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即P點(diǎn)應(yīng)落在線(xiàn)段DE（不含端點(diǎn)）上，CD=12OB，CE=32OB，∴y的取值范圍是12，32.故答案為：-∞，0，12，32.

評(píng)析 本題以平面向量基本定理為背景主要考查了平面向量的加法運(yùn)算，本題的難點(diǎn)是要求學(xué)生能夠理清平面中點(diǎn)P與平面的一組基底OA，OB的相對(duì)位置關(guān)系，需要學(xué)生有一定的分析和綜合能力.

例2 如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），設(shè)AP=αAB+βAD（α，β∈R），則α+β的取值范圍是.

解 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），

則（x，y）=α（3，0）+β（0，1），∴α=x3，β=y.

∴Z=α+β=x3+y，即Z表示直線(xiàn)y=-x3+Z的縱截距.

∵B（3，0），D（0，1），C（1，1），∴DB的方程為x3+y=1，BC的方程為x+2y-3=0.

根據(jù)圖像，

可得Z=x3+y在DB邊取得最小值1，在點(diǎn)C處取得最大值43，∴α+β的取值范圍是1，43.

評(píng)析 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語(yǔ)言——“坐標(biāo)語(yǔ)言”，其實(shí)質(zhì)是“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”.解決平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握坐標(biāo)運(yùn)算的法則，并注意向量運(yùn)算的幾何意義，其本質(zhì)是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原理解題.本題將向量與不等式（線(xiàn)性規(guī)劃）巧妙地結(jié)合在一起，這就提醒一線(xiàn)教師在復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識(shí)時(shí)，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)，又要注意平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問(wèn)題的思想方法，從而提高分析問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，站在新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解向量.

上面的兩個(gè)例題展示了處理向量問(wèn)題的兩個(gè)常規(guī)方法：①利用平面向量基本定理線(xiàn)性運(yùn)算（形）;②建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)運(yùn)算（數(shù)）.這兩個(gè)例題的切入口比較單一，前者從線(xiàn)性運(yùn)算入手，后者從坐標(biāo)運(yùn)算入手.因此，解決向量問(wèn)題時(shí)只需從這兩個(gè)角度入手，往往就能獲得成功.