郭柏壽

【摘要】在初等數(shù)學(xué)書刊中，有關(guān)拋物線開口的比較都是定性化的描述，即：拋物線解析式二次項(xiàng)系數(shù)絕對值越大，開口越小;反之，開口越大.對于拋物線開口大小的量化問題尚未見報道，也就是當(dāng)解析式給定后，如何判斷一條拋物線開口是另一條的幾倍或幾分之幾，或者如何判定兩條拋物線在幾何形狀上全等？基于這些問題，提出拋物線開度的定義，推導(dǎo)出拋物線開度的計(jì)算公式;舉例說明這一新的概念在與拋物線有關(guān)的問題求解中的具體應(yīng)用.建議在今后的初等數(shù)學(xué)書刊編輯中引入該概念，以加深學(xué)生對拋物線性質(zhì)的理解.

【關(guān)鍵詞】拋物線;開度;計(jì)算公式;應(yīng)用

初等數(shù)學(xué)中函數(shù)及其圖像的理解對學(xué)生而言比較抽象，尤其涉及函數(shù)y=ax2+bx+c時，都知道其圖像為拋物線，然而當(dāng)a，b，c變化時，函數(shù)的圖像如何變化？對于形如y=kx+b的函數(shù)，可以說拋開直線的函數(shù)表達(dá)形式，單純就其歐幾里得幾何形狀而言，直線只有一種，即平面或空間內(nèi)不同位置的直線經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后均可重合.然而針對拋物線能這么判斷嗎？拋物線重合或就其幾何性狀來講全等的條件是什么？怎樣量化一條拋物線開口大小是另一條的幾倍或幾分之幾？在初等數(shù)學(xué)教材及著作中，對于y=ax2這樣的函數(shù)僅表明：當(dāng)|a|越大時其圖像開口越小，|a|越小時開口越大. 可見，目前對拋物線開口大小仍處于描述或定性表述階段.那么拋物線開口大小如何定量表述呢？怎么證明當(dāng)|a|相等時，兩條拋物線單純就其幾何形狀而言一模一樣（即可以重合到一起或簡稱全等）？

鑒于以上問題，特引入拋物線開度的定義，并推導(dǎo)出開度的計(jì)算公式，最后簡要說明這一新的概念引入后的具體應(yīng)用.建議在今后初等數(shù)學(xué)書刊編輯中對該定義給予推廣和應(yīng)用.

一、拋物線開度的定義

如果要比較兩條拋物線開口的大小，唯一的方法就是讓其頂點(diǎn)和對稱軸分別重合，開口朝向同一方向，然后從對稱軸上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于拋物線對稱軸的直線，分別與兩條拋物線交于兩點(diǎn)，比較這條直線被兩條拋物線截得的線段長度，開口的大小便可一目了然（圖1），當(dāng)截得的線段相等時，兩條拋物線必然一模一樣.

圖1 拋物線開口大小比較的思路

故得衡量拋物線開口大小的“拋物線開度”定義如下：對于解析式為y=ax2+bx+c的拋物線，在其對稱軸上任取一點(diǎn)T，過T作對稱軸的垂線，與拋物線交于兩點(diǎn)A和B，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M（圖2），則將|AB|2|TM|稱之為拋物線的開度，并以σ表示，即σ=|AB|2|TM|.

二、拋物線開度公式的推導(dǎo)

如圖2，作y=ax2+bx+c的圖像，顯然其對稱軸方程為x=-b2a，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為-b2a，-b2-4ac4a，過T點(diǎn)垂直于對稱軸的直線必然平行于x軸，T的坐標(biāo)為（-b2a，t），則該垂線解析式為y=t，它與拋物線兩個交點(diǎn)分別為A（x1，t）和B（x2，t），可知x1和x2是方程ax2+bx+c=t的兩個解.

圖2 拋物線開度定義圖示

即：x1=-b-b2-4a（c-t）2a，

x2=-b+b2-4a（c-t）2a，

|AB|=|x2-x1|=-b+b2-4a（c-t）2a-

-b-b2-4a（c-t）2a=b2-4a（c-t）a，

|TM|=t-（-b2-4ac4a）=b2-4a（c-t）4a，

故可知σ=|AB|2|TM|=b2-4a（c-t）a2b2-4a（c-t）4a=4|a|.

可見：拋物線的開度與所選T點(diǎn)沒有任何關(guān)系，只與解析式二次項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而且當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)一定時，其開度為定值;如果σ相等，那么兩條拋物線幾何形狀相同，亦即可以相互重合或稱作全等.

三、拋物線開度的應(yīng)用

1.比較任意兩條拋物線開口的大小

對于任意的兩條拋物線而言，比如：A1x2+B1x+C1y+D1=0和A2x2+B2x+C2y+D2=0 （A1，A2，C1，C2均不等于0），要比較它們開口大小，首先將其一般式分別變形如下：

y=-A1C1x2-B1C1x-D1C1，①

y=-A2C2x2-B2C2x-D2C2.②

可知方程①和②的二次項(xiàng)的系數(shù)分別為：-A1C1和-A2C2.

由上節(jié)推導(dǎo)的拋物線開度公式得：

σ1=4C1A1;σ2=4C2A2

比較σ1和σ2的大小，便知兩條拋物線開口的大小.

2.在與拋物線有關(guān)的解析幾何問題求解中的應(yīng)用

例題：已知拋物線y=ax2+bx-c與x軸交于兩點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且x21+ x22=269，又知另一條拋物線y=3（x-1）2，問后一條拋物線向上平移幾個坐標(biāo)單位能和y=ax2+bx-c的圖像重合？

解 將y=-3（x-1）2的右邊展開，得：

y=-3x2+6x-3.③

③式的圖像要平移后和y=ax2+bx-c的圖像重合，那說明這兩條拋物線幾何形狀相同，即它們開度相等，且開口朝向相同，所以可知：

a=-3.④

由原題知，僅是上移后就重合，說明兩條拋物線對稱軸重合，即它們對稱軸方程相同，而對稱軸方程為：x=-b2a，既然二次項(xiàng)系數(shù)a都為-3，那么一次項(xiàng)系數(shù)b也相等，即：

b=6.⑤

又因?yàn)閤1和x2是ax2+bx-c=0的兩個根，所以：

x1+x2=-ba ?⑥

x1x2=-ca⑦

由⑥和⑦得：x21+x22=b2+2aca2，即：

b2+2aca2=269.⑧

聯(lián)立④⑤⑧得：

a=-3，

b=6，

b2+2aca2=269，

可求得：c=53.

y=ax2+bx-c即為y=-3x2+6x-53.⑨

⑨-③，得：

Δy=-53-（-3）=43.

因此，可知后一條拋物線向上平移43個坐標(biāo)單位即可與y=ax2+bx-c的圖像重合.

四、結(jié) 語

經(jīng)查閱大量相關(guān)文獻(xiàn)，尚未發(fā)現(xiàn)拋物線開度的定義及其計(jì)算公式.

引入拋物線開度定義后，在描述拋物線開口大小的時候就具有了定量化的公式，教師不必再以定性化的表述去說明拋物線的開口程度，這樣做有助于學(xué)生對概念的精準(zhǔn)理解和把握，并使學(xué)生積極大膽地將新概念所賦予的知識信息應(yīng)用到解決問題之中.所以，這個概念的確立有一定意義，建議在初等數(shù)學(xué)書刊編輯中給予應(yīng)用.

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