耿鎖華

【摘要】本文簡(jiǎn)述了柯西中值定理的物理意義，給出了定理的積分證明，最后從定理的一種錯(cuò)誤證明中給出羅必達(dá)法則的另一證明.

【關(guān)鍵詞】柯西中值定理;拉格朗日微分中值定理;羅必達(dá)法則

【中圖分類號(hào)】O174.2 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

預(yù)備知識(shí)

1.柯西中值定理：如果函數(shù)f（x），g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)任意x∈（a，b），F(xiàn)′（x）≠0，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，ξ∈（a，b），使得函數(shù)f（x），g（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)有：f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.

2.羅必達(dá)法則：設(shè)（1）當(dāng)x→a（Δx→0）時(shí)，函數(shù)f（x），g（x）都趨近于零（無(wú)窮小量）;

（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0;

（3）limx→af′（x）g′（x）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），

那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）.

3.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，ξ∈（a，b），使得

f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a或f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

一、概 說(shuō)

羅爾、拉格朗日、柯西三大中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它們都有重要的作用.我們的微積分教材是直接給出定理，事實(shí)上可以用物理、幾何知識(shí)引導(dǎo)，以減少學(xué)習(xí)時(shí)的唐突;教材著重討論、運(yùn)用羅爾、拉格朗日兩中值定理，對(duì)于柯西中值定理在證明羅必達(dá)法則后就很少出現(xiàn).鑒于此點(diǎn)，本文就柯西中值定理展開一些討論.

柯西中值定理包含的內(nèi)容最廣，如果g（x）=x可導(dǎo)出拉格朗日中值定理，再加上條件f（b）=f（a）可進(jìn)一步導(dǎo)出羅爾中值定理.

柯西中值定理中的幾何意義：兩光滑曲線在同弧段上至少存在一點(diǎn)，在此點(diǎn)處的兩曲線的長(zhǎng)度之比等于兩曲線的斜率之比.

柯西中值定理中的物理意義：兩運(yùn)動(dòng)在同時(shí)段中至少存在一點(diǎn)，在此點(diǎn)處兩運(yùn)動(dòng)的路程（位移）之比等于它們的速度之比.

柯西中值定理中的應(yīng)用：涉及兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、定積分之比的應(yīng)用題、證明題可考慮運(yùn)用柯西中值定理.

二、柯西中值定理的證明

（1）經(jīng)典證明

簡(jiǎn)潔、經(jīng)典、公認(rèn)的證明還是教材中給出的，建立輔助函數(shù)，利用羅爾中值定理證明.可見(jiàn)各高等數(shù)學(xué)教材.

（2）物理引導(dǎo)反證

物理學(xué)中的路程（位移）、速度等同于數(shù)學(xué)中的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)，不過(guò)也還是有區(qū)別的.我們知道任何物體有速度，并且還有速度的速度（加速度）;然而在數(shù)學(xué)中就達(dá)不到這一點(diǎn)，不是任何函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都存在，更不用說(shuō)二階導(dǎo)數(shù)，但我們還是可以利用物理學(xué)中的速度對(duì)柯西中值定理進(jìn)行引導(dǎo).

給定兩運(yùn)動(dòng)sf，sg在區(qū)間[a，b]上分別過(guò)點(diǎn)[a，f（a）]，[b，f（b）]和[a，g（a）]，[b，g（b）]，并假設(shè)k0=f（b）-f（a）g（b）-g（a），k=f′（x）g′（x），x∈[a，b].

我們以運(yùn)動(dòng)sg為基準(zhǔn)，如果恒有k=k0，那么在同時(shí)段中，運(yùn)動(dòng)sf以速度f(wàn)′（x）（其中f′（x）=kg′（x））從點(diǎn)[a，f（a）]開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[b，f（b）]處.

事實(shí)上：f（b）-f（a）=∫baf′（x）dx，g（b）-g（a）=∫bag′（x）dx，

那么S=∫bakg′（x）dx=∫bak0g′（x）dx=k0∫bag′（x）dx=k0（g（b）-g（a））=f（a）-f（b）.

柯西中值定理推導(dǎo)如下：（恒有k=k0時(shí)，定理成立）

反證，假設(shè)不存在這樣一點(diǎn)，使得k=k0成立，那么變量k與常量k0相比不是大于就是小于.

如果存在一點(diǎn)k>k0，另一點(diǎn)k

證明時(shí)構(gòu)造函數(shù)F（x）=f′（x）-k0g′（x）即可.

如果全部大于（或小于）k>k0，那么以運(yùn)動(dòng)sg為基準(zhǔn)，運(yùn)動(dòng)sf以速度f(wàn)′（x）（其中f′（x）=kg′（x））從點(diǎn)[a，f（a）]開始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)同時(shí)段后就會(huì)得到高于點(diǎn)[b，f（b）]的點(diǎn).

S=∫bakg′（x）dx>∫bak0g′（x）dx

=k0∫bag′（x）dx=k0（g（b）-g（a））=f（a）-f（b）.

意味著同時(shí)段運(yùn)動(dòng)中速度快的與速度慢的路程（位移）數(shù)值一致，矛盾！故定理成立.

本文的推導(dǎo)與教材中的證明是無(wú)法相比的，但作為擴(kuò)展思維，加強(qiáng)物理運(yùn)用還是十分恰當(dāng)?shù)?

（3）錯(cuò)誤證明

柯西中值定理中給出的兩函數(shù)都滿足拉格朗日微分中值定理，從而可知

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），g（b）-g（a）=g′（ξ）（b-a）.

兩式比較就得f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.注意證明是錯(cuò)誤的.

（4）錯(cuò)誤證明的運(yùn)用

在（3）的證明過(guò)程中我們忽視了兩等式中ξ是否要求一致，故不正確.然而我們可以反思，如果可以忽略ξ的共同性，上述證明就可行了.

我們補(bǔ)充條件：在點(diǎn)x=a處定義函數(shù)值f（a）=g（a）=0，f′（x），g′（x）具有連續(xù)性，則函數(shù)f（x）g（x）在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間a，x（或x，a）上，f（x）g（x）滿足拉格朗日微分中值定理的全部條件，因此有：

f（x）g（x）=f（x）-f（a）g（x）-g（a）=f′（ξ1）g′（ξ2），（a<ξ1，ξ2

其中雖然ξ1與ξ2數(shù)值不一定相同，但當(dāng)x→a時(shí)，顯然有ξ1→a，ξ2→a，于是求上式兩邊的極限得：

limx→af（x）g（x）=limξ1→a

ξ2→af′（ξ1）g′（ξ2）=A（或∞）.

證明補(bǔ)充了條件，無(wú)關(guān)大局，原因是個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值不影響極限的存在性;另初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)仍然可導(dǎo).

證明放寬了極限條件，教材中要求limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），證明只要求limξ1→a

ξ2→a f′（ξ1）g′（ξ2）=A（或∞）就可.

三、后 記

我們是先認(rèn)知速度然后導(dǎo)數(shù)，用速度來(lái)加深導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是理所當(dāng)然的事，本文也是如此;牛頓的導(dǎo)數(shù)概念也淵源于速度的研究，今天的高等數(shù)學(xué)教材和我們的教學(xué)過(guò)程中，在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)也沒(méi)離開過(guò)物理學(xué)中運(yùn)動(dòng)、速度的牽引，但以后的內(nèi)容更多的是用導(dǎo)數(shù)求速度，而不再求源，探究速度對(duì)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)、研究的引導(dǎo).事實(shí)上，我們可以進(jìn)一步利用速度和一些基本常識(shí)、熟悉的物理知識(shí)概念來(lái)緩沖我們大學(xué)生在學(xué)習(xí)和研究導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)的認(rèn)知、接受過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知到許多抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)、公式就在我們身邊.

本文用拉格朗日中值定理證明羅必達(dá)法則，那么在微積分教材中可回避柯西中值定理，因?yàn)樵S多微積分教材中的柯西中值定理就是為了證明羅必達(dá)法則而存在的.

【參考文獻(xiàn)】

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