聞卉

【摘要】本文通過具體的例題分析同階無窮小量在證明二元函數(shù)極限不存在中的應(yīng)用，給出了這類題目的解題技巧.

【關(guān)鍵詞】 二元函數(shù);極限不存在;同階無窮小量

1.引 言

二元函數(shù)極限的存在性是多元函數(shù)微積分教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，而證明二元函數(shù)極限的不存在則是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中普遍存在的難點(diǎn).下面通過具體例題分析如何借助同階無窮小量來證明二元函數(shù)的極限不存在，并給出這類題目的解題技巧.

2.實(shí) 例

例1 設(shè)f（x，y）=x2x+y，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，故可設(shè)x+y=kx2（即x+y與x2為當(dāng)x→0時的同階無窮小量），其中k為任意常數(shù)且不為零，由此得y=kx2-x.

因?yàn)閘imx→0

y=kx2-xf（x，y）=1k與k值有關(guān)，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例2 設(shè)f（x，y）=xx+y，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，若將x與y視為相同的變量，則x與x+y具有相同的次冪，故可設(shè)y=kx，其中k為任意常數(shù)且不為零.

因?yàn)閘imx→0

y=kxf（x，y）=11+k與k值有關(guān)，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例3 設(shè)f（x，y）=xyx2+y2，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，若將x與y視為相同的變量，則xy與x2+y2具有相同的次冪，故可設(shè)y=kx，其中k為任意常數(shù)且不為零.

因?yàn)閘imx→0

y=kxf（x，y）=k1+k2與k值有關(guān)，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例4 設(shè)f（x，y）=xy3x2+y6，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，若將x與y3視為相同的變量，則xy3與x2+y6具有相同的次冪，故可設(shè)y3=kx，其中k為任意常數(shù)且不為零.

因?yàn)閘im x→0

y3=kxf（x，y）=k1+k2與k值有關(guān)，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

3.小 結(jié)

通過上述例題可以看出，人為選取特殊的路徑，即設(shè)置y的表達(dá)式，使得f（x，y）

中的分子分母為同階無窮小量，從而利用極限結(jié)果的不唯一性證明了這類多元函數(shù)極限的不存在性.

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔡光興，李德宜.微積分[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[2]李逢高，鄭列，等.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用與提高[M].北京：科學(xué)出版社，2009.