平行四邊形中考點(diǎn)擊

王軍

四邊形知識(shí)是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，縱觀近幾年的中考試題，四邊形以其獨(dú)特的魅力占據(jù)了一席之地，試題從拼圖、剪切、分割到閱讀理解、科學(xué)探究發(fā)現(xiàn)應(yīng)有盡有，題型涉及填空、選擇、解答題等各種形式，尤其重視的是與四邊形相關(guān)的開放探索性問題. 估計(jì)四邊形試題將繼續(xù)保持綜合性，加大開放性，增強(qiáng)探索性，體現(xiàn)應(yīng)用性.

考點(diǎn)一 平行四邊形的判定方法

1. （2014·云南昆明）如圖1所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）.

A. AB∥CD，AD∥BC

B. OA=OC，OB=OD

C. AD=BC，AB∥CD

D. AB=CD，AD=BC

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別判斷得出答案即可.

【解答】A. 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；B. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；C. 一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，不能判定其為平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確. 故選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確把握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)

2. （2014·湖南益陽）如圖2所示，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是（ ）.

A. AE=CF B. BE=FD

C. BF=DE D. ∠1=∠2

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定. 利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定分別得出即可.

【解答】A. 當(dāng)AE=CF，無法得出△ABE≌△CDF，故此選項(xiàng)符合題意；B. 當(dāng)BE=FD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF，

BE=FD，

AB=CD，

∴△ABE≌△CDF（SAS），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. 當(dāng)BF=DE，∴BE=FD，同上可得△ABE≌△CDF，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 當(dāng)∠1=∠2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

3. （2014·安徽）如圖3所示，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是_______. （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì). 分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【解答】①∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此選項(xiàng)正確；②延長EF，交CD延長線于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F是AD中點(diǎn)，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，

∠ A=∠MDF，

AF=FD，

∠AFE=∠MFD，

∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=FM，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM=EF，故此選項(xiàng)正確；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵M(jìn)C>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確，故答案為①②④.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)三 平行四邊形和三角形聯(lián)合命題

4. （2014·江蘇南京）如圖5所示，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ ）.

A.

，3、

-，4

B.

，3、

-，4

C.

，、

-，4

D.

，、

-，4

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì). 首先過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案.

【解答】過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F.

∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE.

在△ACF和△OBE中，

∠F=∠BEO=90°，

∠CAF=∠BOE，

AC=OB，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3.

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴=，即=，

∴OE=，即點(diǎn)B

，3，∴AF=OE=，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-

2-=-，

∴點(diǎn)C

-，4. 故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5. （2014·江蘇泰州）如圖7所示，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC.

（1）求證：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積.

【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結(jié)論；

（2）首先過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，易求得DG與DE的長，繼而求得答案.

【解答】（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，

∴AF=DE，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠DBE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE，

∴BE=AF.

（2）解：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，如圖8.

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四邊形ADEF的面積為DE·DG=6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí). 此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學(xué)校）