周 娟，李 超

（湖北民族學(xué)院科技學(xué)院，湖北 恩施 445000）

基于盧卡西維茨多值演算的模態(tài)邏輯推理機(jī)

周 娟，李 超

（湖北民族學(xué)院科技學(xué)院，湖北 恩施 445000）

模態(tài)邏輯廣泛應(yīng)用于人工智能領(lǐng)域，但沒有實(shí)際有效的推理機(jī).針對上述問題，研究了模態(tài)邏輯中演繹推理的方法，該方法用必要的形式化方法將模態(tài)邏輯轉(zhuǎn)換為盧卡西維茨多值邏輯，再將盧卡西維茨多值邏輯轉(zhuǎn)換為布爾邏輯.結(jié)果表明和其他方法相比，該推理機(jī)在模態(tài)邏輯中具有普適性、計算簡單性、推理規(guī)則應(yīng)用的非限制性.

盧卡西維茨多值演算；模態(tài)邏輯；推理機(jī)

模態(tài)邏輯究必然、可能及其相關(guān)概念的邏輯性質(zhì).在模態(tài)家族中最熟悉的邏輯是從一個被稱為K（Saul Kripke）的弱邏輯建立的.K是古典命題演算增加以下初始規(guī)則和公理的直接擴(kuò)張．

初始規(guī)則（也稱必然化規(guī)則）：如果A是K的定理，則□A是定理．

公理 □（A→B）→（□A→□B）．

（這里使用“A”和“B”表示系統(tǒng)中任何為真的公式．）根據(jù)必然化規(guī)則，邏輯中的任何定理必然為真．

可能性算子◇通過必然性算子□定義為◇A＝┐□┐A．在系統(tǒng)K中，算子◇和□的特性非常類似于一階邏輯中的量詞?（所有）和?（一些）．例如，通過□定義◇反映了?xA與┐?x┐A的等價性．□和◇之間的這種類比可以在文獻(xiàn)［1－2］中找到．

模糊模態(tài)邏輯是通過指定模糊測度從模態(tài)邏輯公式推導(dǎo)而來的．例如，□xy［μ≥0．6］表示公式□xy為真的可能性為0．6．在模糊模態(tài)系統(tǒng)中沒有一個唯一的方法來構(gòu)建模態(tài)系統(tǒng)的推理機(jī)制，比如：公理化方法［3］，歸結(jié)原理［4］，根岑（Gentzen）系統(tǒng)的自然演繹方法［5］，表列方法［6］，其他方法［7］等，以上方法具有非普適性（相對于非經(jīng)典邏輯），計算復(fù)雜性，以及應(yīng)用推理規(guī)則的限制性.

在A.Mironov［8］中模糊克里普克模型被視為基于其在系統(tǒng)K中嚴(yán)格推論的推理規(guī)則，比如：□α（A→B）→（□αA→□αB），其中α是相應(yīng)公式的模糊測度．因為不同的公式有不同的模糊真值αi，所以考慮具有多層次β1，β2，…，βq的原公式集的模糊子集S（β1），S（β2），…，S（βq），其中包括模糊真值α≥βi的所有的公式的子集S（βi），是合理的．模糊模態(tài)公式φα的一般推斷應(yīng)該在每個βi≤α的子集S（βi）中都成立．

在Z.Zhang等［9］中使用了不同的方法，主要思想是對給定的模糊模態(tài)系統(tǒng)用標(biāo)準(zhǔn)的一階邏輯推理代替模糊推理.在Z.Zhang等［9］中使用的模糊推斷定義實(shí)際上類似于在本文中使用的定義.

在本文中，提出一個新穎的方法實(shí)現(xiàn)推理機(jī)［10］，該方法采用盧卡西維奇多值邏輯為理論背景和實(shí)踐基礎(chǔ)．它保證了推理過程的普適性．

1 盧卡西維茨的多值邏輯

使用模態(tài)邏輯和相應(yīng)的盧卡西維茨多值邏輯之間的關(guān)系，將給定的模態(tài)邏輯轉(zhuǎn)換為盧卡西維茨邏輯，在R·Sushko的研究基礎(chǔ)上［11］，再用相應(yīng)的推理方法轉(zhuǎn)換為布爾邏輯.根據(jù)文獻(xiàn)［10］本文有所縮寫.

1.1 模態(tài)邏輯和盧卡西維茨三值邏輯之間的聯(lián)系

為了構(gòu)建模態(tài)和模糊模態(tài)邏輯推理，先定義在模態(tài)邏輯系統(tǒng)中什么是真（假）公式．考慮這樣一個建模方法，這個方法研究模型M的解釋集合IM＝（I1，I2，…，Iz），解釋包含了所有可能模型變量值的組合，使得對于每一個Iα、Iβ至少有一個變量在Iα和Iβ中有不同的真假值．最簡單的情況是將IM劃分為兩個子集I1和I0，使IM＝I1∪I0，I1∩I0＝?．每一個子集定義了基本的邏輯演算公式，并且對于任意一個基本公式φ斷言，φ在I1中為真，在I0為假．在這種情況下，公式φ允許任意一個來自I1的解釋．假設(shè)φ和ε是兩個公式，分別對應(yīng)解釋Iφ和Iε．那么以下內(nèi)容是合理的：

定義1 公式在模型M中是真的，只要其允許所有可能的解釋IM．

用盧卡西維茨三值邏輯公式代替模態(tài)公式，即，盧卡西維茨三值邏輯可被視為模態(tài)邏輯一種模型．在盧卡西維茨三值邏輯中公式x有三個值：val（x）＝｛0，1／2，1｝，其中0代表不可能的，1／2－偶然的，1－必然的（或者也可以換種表達(dá)方式：val（z）＝｛0，1，2｝，其中val（z）＝（n－1）·val（x））［12－13］．

在后續(xù)的內(nèi)容中采用：

上面給出的在□x，◇x和盧卡西維茨三值邏輯之間的關(guān)系已經(jīng)被A.Tarski證明了［14］，但由于方法的特殊性，本文將給出直接演算證明．

借助于從模態(tài)公式到等價盧卡西維茨公式的轉(zhuǎn)換來執(zhí)行計算．假設(shè)給定以下公式：

令α［μ（α）］表示一個只允許val（α）≥μα解釋的公式．μα可以被視為公式α的不確定性的值．得到以下結(jié)果：

式（1）和（2）可改寫如下：

像文獻(xiàn)［10］中提到的方法，用二元矢量公式（x1，x2），（┐x2，┐ x1），（y1，y2），（┐ y2，┐ y1）對應(yīng)地替換三值公式x，┐ x，y，┐ y，即：

并使用以下三值公式和矢量公式之間的對應(yīng)關(guān)系：

用盧卡西維茨三值邏輯運(yùn)算的真值表論證這些替換．式（3）和（4）可改寫如下：

即獲得了等價的布爾系統(tǒng).因此，通過使用盧卡西維茨的三值邏輯，模態(tài)系統(tǒng)可以被置換為等效的布爾系統(tǒng)．本次置換的合理性在另文中論證．

注意：對于任意一個公式α，盧卡西維茨的三值邏輯不允許解釋α＝（α1，α2）＝（0，1）．因此，在上述系統(tǒng)還需要添加以下公式：

需要注意的是，例如，

1）當(dāng)x1＝1，x2＝0（val（x）＝0．5）時，公式□（x∨┐ x）＝□（x1∨┐ x2，x2∨┐x1）為假．因此，□（x∨┐x）不是真的模態(tài)公式．

2）□x∨┐□x為真，因為□x允許（1，1），并且┐□x允許（0，0）和

（1，0）．從觀察同樣可以得出 （1，1）∨◇┐ x＝（1，1）∨◇┐ （x2，x1）＝（1，1）∨（0，0）∨（1，0）．

3）◇（x∨┐ x）＝◇（x1∨┐ x2，┐ x1∨x2）＝（1，1）∨（1，0）＝x1∨┐ x2．對于三值邏輯中的x，這個公式允許所有可能的解釋（0，0），（1，0），（1，1），因此，◇（x∨┐ x）為真．

4）公式□（◇x∨┐ x）＝□（（（1，1）∨（1，0））∨（┐ x2，┐ x1））＝□（x1∨┐x2，?）＝x1∨┐x2允許每個可能的值，即，□（◇x∨┐x）為真．為了達(dá)到系統(tǒng)化的目的，用類似的公式，比如▽（▽z∨α），▽（▽z∧α），其中▽表示或者◇或者□，z表示三值公式，α表示有兩個可能的值0和1的嚴(yán)格的布爾變量，表示下面的關(guān)系：

因此，□（◇x∨┐ x2∧┐ x1）＝□（◇x）∨┐ x2∧┐ x1＝□x1∨┐ x2∧┐ x1＝x1∨┐ x2∧┐ x1＝x1∨┐ x2．同一類型的另一個例子：

使用α作為一個嚴(yán)格的布爾變量，這些推理的合理性是基于Shannon的公式［15］：

1.2 方法的推廣

為了在模糊模態(tài)邏輯中應(yīng)用上述方法，將其推廣到k（k＞3）值邏輯中．先考慮當(dāng)k＝4，k＝5時公式的表示方法．

在k＝4的情況下使用向量：

其否定形式：

和真值：

來表示．

在k＝5的情況下的向量表示如下：

表1 析取真值表Tab.1 The truth table of disjunction

表2 合取真值表Tab.2 The truth table of conjunction

表3 蘊(yùn)含真值表Tab.3 The truth table of implication

表4 否定真值表Tab.4 The truth table of negation

一般情況下，向量可以表示為如下：

滿足val（┐v）＝n－val（v）＋1的否定形式┐v．

通過用滿足實(shí)際應(yīng)用的多值邏輯值近似模糊值的方法，本文研究方法的關(guān)鍵是在模態(tài)邏輯中建立推理機(jī)．應(yīng)當(dāng)指出的是，直到現(xiàn)在在模糊邏輯中建立推理機(jī)的問題還是沒有得到圓滿解決．Mamdani［16］和類似方法考慮的邏輯規(guī)則形式如下：R：如果X＜i＞那么Y（μY）

同時考慮到規(guī)則的確定性測度μY．為了應(yīng)用規(guī)則需要定義類似的測度μX，該測度來自于規(guī)則R且在輸入向量Xt和X＜i＞之間．在一般情況下，μX沒有被提前定義且超出邏輯演算的范圍．

本文提出的推理機(jī)簡化了計算復(fù)雜性，以不確定測度μα≥2的5－值邏輯公式α＝（α1α2α3α4）為例說明．很容易記錄所有的解釋，這些解釋以惟一項α2的形式被α允許，因為在＜0110＞，＜1110＞和＜1111＞中α2＝1；當(dāng)α2＝0時在＜0000＞，＜0010＞中不被μα≥2允許，即α＝（α1α2α3α4）［μα≥2］→α2．再看一個例子，如果α＝（α1α2α3α4）［μ≥1］，那么被α允許的解釋表示為項α1＝1等．這一觀察結(jié)果表明，多維公式不確定性測度的使用不會導(dǎo)致增加公式表示的復(fù)雜性，把該結(jié)果用REF?表示［17］．

1.3 推理機(jī)的應(yīng)用

舉例說明推理機(jī)的應(yīng)用．證明或反駁命題，可以從公式α∨β［μ＝1］，┐α∨β［μ≥0．5］推出公式β［μ≥0.5］．

用向量的形式改寫α∨β，如下所示：

由于公式的測度μ等于1，則式（6）等價于：

第二個公式用向量表示如下：

本例中的前提用析取的形式表示如下：

證明由式（7）推出β＝（β1，β2）［μ≥0．5］（即（1，0）∨（1，1）或僅僅β1）．可以容易地用歸結(jié)原理完成，β1的確可由式（7）推出．

2 結(jié)論

本文只提供了一個近似的推理方法，因為它使用固定的邏輯值，而不是模糊邏輯中的連續(xù)值．這種方法證明了當(dāng)n→∞時n值盧卡西維茨邏輯和模糊邏輯之間是有關(guān)聯(lián)的．本文是階段性的研究成果，模態(tài)邏輯和盧卡西維茨的三值邏輯的相符性將在另文中詳細(xì)討論．另外，關(guān)于該方法在模糊模態(tài)邏輯中的進(jìn)一步應(yīng)用，也將展開更深入的討論．

［1］Blackburn P，Johan F.A.K，an B，et al.Handbook of modal logic，volume3（Studies in Logic and practical Reasoning）［M］.Netherlands：Elsevier，2007：3－12.

［2］Eric Pacuit.Notes in Modal Logic［EB／OL］.（2009－1－28）［2015－6－18］.http：／／www.docin.com／p－759520501.html.

［3］李駿，王國俊.基于支持度理論的廣義Modus Ponens問題的最優(yōu)解［J］.軟件學(xué)報，2007，18（11）：2712－2714.

［4］NivelleD H，Schmidt R A，Hustadt U.Resolution－based methods for modal logics［J］.Logic Journal of the IGPL，2002，10（1）：265－292.

［5］陳曉平.自然演繹邏輯導(dǎo)論［M］.廣州：中山大學(xué)出版社，2006：102－103.

［6］Jarmuz·ek T.Tableau Metatheorem for Modal Logics［M］.Germany：Springer International Publishing，2014：103－126.

［7］何映思.模糊推理方法及模糊邏輯形式系統(tǒng)研究［D］.重慶：西南大學(xué)，2011.

［8］Mironov A M.Fuzzy modal logics［J］.Fundamental and Applied Mathematics，2003，9（1）：201－230（In Russian）.An English Translation：Journal of Mathematical Sciences，2005，128（6）：3461－3483.

［9］Zhang Z，Sui Y，Cao C.Description of Fuzzy First－Order Modal Logic based on Constant Domain Semantics［C］／／Proc of RSFDGrC（Rough Sets，F(xiàn)uzzy Sets，Data Mining and Granular Computations，Regina），Canada，2005.

［10］German O V，Samko R A，German Yu O.An inference system for a fuzzy logic on the basis of multi－valued Lukasiewicz calculi［J］.Works of the Belarusian University of Technology（Minsk，Belarus），Natural Sciences and Informatics，VI，2010，18：190－193（in Russian）.

［11］Karpenko A S.Lukasiewicz Logics and prime numbers［M］.Moscow：Science，2000：46－98（in Russian）.

［12］吳洪博.Lukasiewicz命題邏輯中公式的Γ－真皮理論和極限定理［J］.中國科學(xué)：信息科學(xué)，2014，44（12）：1542－1559.

［13］周建仁.Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)中真度的等價定義及相關(guān)性質(zhì)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，30（4）：580－590.

［14］Ivin A A.Modal Theories of Jan Lukasiewicz［M］.Moscow：Russian Academy of Sciences，Philosophy Institute，2001：8－31（In Russian）.

［15］王慶平，王國俊.多值Lukasiewicz邏輯公式的范式表示和計數(shù)問題［J］.軟件學(xué)報，2013，24（3）：433－453.

［16］Babuska R.Fuzzy and neural control disc course lecture notes［M］.Netherlands：Delft University of Technology，2009：165－187.

［17］German O V.Non－classical logical calculi［M］.The Republic of Belarus：BSUIR，2012：21－25（in Russian）.

責(zé)任編輯：時 凌

Inference Machine for Modal Logics Based on Lukasiewicz Multivalued Calculi

ZHOU Juan，LI Chao
（College of Science and Technology，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

Modal logic is widely used in artificial intelligence，but there is not a practically efficient infer?ence machine in the modal logic.In this paper an inference approach to making inferences in modal sys?tems is studied.The approach is to convert modal logic into Lukasiewicz multi－valued logic，then into Boolean logic with a necessary formalization technique.The main advantages of the approach are univer?sality，computational simplicity and non－restrictions on application of the inference rules.

multi－valued Lukasiewicz calculus；modal logic；inference machine

TP18

A

1008－8423（2015）03－0285－04

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.015

2015－08－31.

周娟（1986－），女，碩士，主要從事模態(tài)邏輯研究.