晨旭

體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化 突出實(shí)踐能力──2015年高考數(shù)學(xué)試題評(píng)析

晨旭

2015年高考數(shù)學(xué)試題穩(wěn)中有新，體現(xiàn)了立德樹人的要求。試卷很好地體現(xiàn)了課改理念，時(shí)代特征和數(shù)學(xué)文化，突出了對(duì)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查，在應(yīng)用創(chuàng)新，能力考查方面進(jìn)行了積極有效的探索，突出對(duì)實(shí)踐能力的考查，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著較好的引導(dǎo)作用。

高考數(shù)學(xué)；能力考查

2015年高考數(shù)學(xué)試卷遵循考試大綱的各項(xiàng)規(guī)定[1]，重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，堅(jiān)持能力立意，運(yùn)用新材料，設(shè)置新情境，考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。今年數(shù)學(xué)試卷落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，突出對(duì)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查，體現(xiàn)時(shí)代特征和數(shù)學(xué)文化。

試卷全面考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，突出中學(xué)數(shù)學(xué)主干內(nèi)容，深入考查認(rèn)知能力，有利于科學(xué)選拔人才，有利于學(xué)生全面發(fā)展，有利于促進(jìn)社會(huì)公平。試卷創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了科學(xué)性、規(guī)范性、基礎(chǔ)性、公平性、選擇性、選拔性的特點(diǎn)，對(duì)提高考生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)考生獨(dú)立思考、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的養(yǎng)成發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。

1 體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，其重要特點(diǎn)是理性思維。加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化教育最重要的價(jià)值在于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本質(zhì)上體現(xiàn)了文化整體育人的基本要求，也是素質(zhì)教育的基本要求。中國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史悠久，在長(zhǎng)期的發(fā)展過程中，形成了不同西方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：注重歸納、強(qiáng)調(diào)實(shí)用、講究算法。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的研究品質(zhì)、研究特點(diǎn)和研究成果對(duì)學(xué)生的影響不容忽視。在數(shù)學(xué)科試題中滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)調(diào)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的傳統(tǒng)特色，在考查過程中使考生感受和學(xué)習(xí)前人嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，讓考生潛移默化地接受我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的熏陶，從而傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，弘揚(yáng)愛國(guó)主義精神。

2015年高考數(shù)學(xué)試卷選取了體現(xiàn)中國(guó)古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化并與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合緊密的素材，編擬數(shù)學(xué)試題，要求考生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，基本思想解決問題。

例1：（全國(guó)一卷第6題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1所示，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

圖1

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的代表性著作就。從《九章算術(shù)》各章內(nèi)容看，都是與生產(chǎn)、生活息息相關(guān)的知識(shí)和內(nèi)容。例2中的問題即來(lái)源于第五章“商功”，試題源于生活生產(chǎn)中谷物儲(chǔ)存的問題，結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行設(shè)問，試題的設(shè)計(jì)讓考生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)——數(shù)學(xué)要關(guān)注生產(chǎn)、生活等社會(huì)問題。優(yōu)秀文化的傳承對(duì)考生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)將起到積極的作用，試題的設(shè)計(jì)引導(dǎo)考生通過了解數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法在認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用，這些都體現(xiàn)了文化內(nèi)涵整體育人的功能。

例2：（全國(guó)二卷第8題）程序框圖（如圖2所示）的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=

圖2

（A）0 （B）2 （C）4 （D）14

例1中的“更相減損術(shù)”是為了解決“求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)”問題，國(guó)外的歐幾里得算法可以解決這個(gè)問題，但是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的“更相減損術(shù)”比歐幾里得算法更簡(jiǎn)單，操作方便，更符合算法的要求。通過設(shè)計(jì)這樣的試題背景，不僅讓考生通過學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)文化，形成理性思維，同時(shí)也讓考生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究的成就，增強(qiáng)愛國(guó)情懷。

2 突出實(shí)踐能力

數(shù)學(xué)學(xué)科兼具應(yīng)用性和實(shí)踐性的特點(diǎn)。2015年數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)了這一特點(diǎn)，對(duì)應(yīng)用性考查進(jìn)行了新的探索。考查實(shí)踐能力的試題涉及二氧化硫年排放量、產(chǎn)品的滿意度調(diào)查、年利潤(rùn)預(yù)測(cè)等背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的巨大作用和應(yīng)用價(jià)值。于此同時(shí)，2015年試題還突出了對(duì)實(shí)踐能力的考查，要求考生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，積極探索，運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)技能和方法解決問題。

例3：（全國(guó)二卷第3題）根據(jù)圖3給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是

圖3

（A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

（B）2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

（C）2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

（D）2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

環(huán)境保護(hù)是近年來(lái)社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題，隨著我國(guó)環(huán)境保護(hù)法的頒布，人們對(duì)大氣環(huán)境也越發(fā)關(guān)注。試題選取了2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量作為試題情景，考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)和基本方法，引導(dǎo)考生關(guān)注日常生活中的數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)考生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

例4：（全國(guó)二卷第19題）如圖4所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1E=4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

圖4

（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫法和理由）；

（Ⅱ）求直線AF與平面α所成角的正弦值.

試題要求考生畫出“交線圍成的正方形，不必說(shuō)明畫法和理由”，很有新意。試題鼓勵(lì)考生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，修正實(shí)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)理性的指導(dǎo)下獲得正確的實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)?！盵2]當(dāng)考生在實(shí)驗(yàn)中假設(shè)正方形另一個(gè)頂點(diǎn)H在AA1上時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)由此修正實(shí)驗(yàn)，H應(yīng)在上AB，且AH=10。或者當(dāng)考生在實(shí)驗(yàn)時(shí)假設(shè)正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)在BB1上時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)EH≥EB1≥12>10，由此修正H應(yīng)在AB上。在探索中強(qiáng)調(diào)求真的品質(zhì)也是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容。杜威說(shuō)：“如果學(xué)生不能籌劃自己解決問題的方法，自己尋找出路，他就學(xué)不到什么，即使他能背出一些正確的答案，百分之百正確，他還是學(xué)不到什么”。[3]當(dāng)前真正讓學(xué)生主動(dòng)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，主動(dòng)思考問題的課堂教學(xué)還不多，離課改的要求還有距離。因此，試題的設(shè)計(jì)對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的改革也起到了積極的導(dǎo)向作用。

3 注重邏輯推理

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的重要學(xué)科，數(shù)學(xué)的概念、思想和方法空前廣泛地滲透到數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科領(lǐng)域并影響著我們的生活。2015年數(shù)學(xué)高考堅(jiān)持把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，突出體現(xiàn)思維系統(tǒng)邏輯性、方法嚴(yán)密實(shí)證性、問題解決實(shí)效性的特點(diǎn)。在考查中注意以促進(jìn)考生學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)方法為手段、以考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的遷移。

例5：（全國(guó)一卷第8題）函數(shù)f(x)=cos(wx+φ)的部分圖像如圖5所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

圖5

試題給出了三角函數(shù)的部分圖像，考查考生對(duì)三角函數(shù)概念及三角函數(shù)性質(zhì)（周期性、單調(diào)性與對(duì)稱性）的三種表征的理解與轉(zhuǎn)換，考查考生邏輯推理能力。問題解決的途徑并不是唯一的，考生通過觀察圖像可以推出三角函數(shù)的最小正周期與最小值點(diǎn)，也可以得到該三角函數(shù)的周期性、最值點(diǎn)、對(duì)稱軸、零點(diǎn)等信息，最終得到一般解析表達(dá)式。在邏輯推理過程中，考生的數(shù)形結(jié)合、整體與部分、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法得到了不同程度的考查。

良好的思維品質(zhì)是人的核心素養(yǎng)的重要方面，新課改也在不斷強(qiáng)調(diào)“要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用”。對(duì)邏輯推理的考查不僅要求考生能綜合運(yùn)用知識(shí)，而且要求考生能融合貫通方法。這本質(zhì)上也考察了思維的嚴(yán)密性和思維的靈活性。近年來(lái)數(shù)學(xué)命題的一個(gè)特點(diǎn)就是從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體體系和思維價(jià)值的高度出發(fā)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，要求考生能夠理解其中的邏輯關(guān)系。例如2015年課標(biāo)一卷文科第（4）題，首先給出了勾股數(shù)的概念，考生需要理解此概念，然后根據(jù)勾股數(shù)的性質(zhì)從5個(gè)數(shù)中推理得到可以構(gòu)成勾股數(shù)的3個(gè)數(shù)，最后計(jì)算出概率。

4 倡導(dǎo)創(chuàng)新思維

創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，創(chuàng)新能力是社會(huì)經(jīng)濟(jì)文化發(fā)展的重要助推力，也是學(xué)生在青少年階段集中體現(xiàn)的特征性能力。創(chuàng)新不只是一種思想意識(shí)，更是一種認(rèn)識(shí)水平，不只是一種方法，更是一種能力。2015年數(shù)學(xué)試題對(duì)創(chuàng)新能力的考查著重體現(xiàn)在對(duì)創(chuàng)新思維的要求：一方面要求考生能夠打破常規(guī)思路，獨(dú)立思考，積極探究；另一方面要求考生能夠?qū)⒍喾N思維融合，創(chuàng)造性解決問題。

例6：（全國(guó)一卷第16題）在平面四邊形中ABCD，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

試題給出了四角形的一條邊的度量值，以及三個(gè)角的大小，是一個(gè)局部可解的四邊形問題?？忌枰\(yùn)用思維創(chuàng)新，將解三角形的原理推廣運(yùn)用到四邊形中，試題的考查重點(diǎn)不在具體運(yùn)用正弦定理、余弦定理等傳統(tǒng)解三角形的工具，而在需要考生在理解與掌握數(shù)學(xué)基本原理的基礎(chǔ)上，分析問題本質(zhì)，并發(fā)揮創(chuàng)新思維，從而解決問題。

例7：（全國(guó)一卷第10題）如圖6所示，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y=f(x)的圖像大致為

圖6

試題的題干似乎與三角函數(shù)毫不相關(guān)，但考生在計(jì)算距離時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，其形式化表征就是三角函數(shù)，通過分析該三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可解決問題。本題的問題情境設(shè)置為考生熟悉的簡(jiǎn)單平面幾何問題，解決問題的思維方法是豐富的，給不同思維（代數(shù)思維與幾何思維）的考生提供了不同的發(fā)揮空間。

5 合理區(qū)分考生

2015年數(shù)學(xué)試題，依然體現(xiàn)分梯度設(shè)置試題難度的特點(diǎn)。試題由易到難，有利于穩(wěn)定考生心態(tài)，促進(jìn)考生發(fā)揮正常水平。同時(shí)，體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)是考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考試——為高校選拔合格的新生，必須測(cè)試其必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；也體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)是注重能力的考試——要測(cè)試考生已有的和潛在的學(xué)習(xí)能力。而空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)對(duì)人的發(fā)展（學(xué)習(xí)和工作）非常重要。例如，選擇題中一般涉及集合、復(fù)數(shù)等基礎(chǔ)內(nèi)容，呈現(xiàn)形式也是考生熟悉的，考查的是數(shù)學(xué)中的通性通法；解答題則對(duì)多種能力提出了要求，要求考生具有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)視野和理性精神。這樣的試卷設(shè)計(jì)，保持了試卷結(jié)構(gòu)和難度的穩(wěn)定，有利于試題難度與考生水平的平衡，合理區(qū)分考生，為高校錄取新生提供了有效的數(shù)學(xué)成績(jī)依據(jù)。

與此同時(shí)，2015年數(shù)學(xué)試卷注意文、理科考生在相同知識(shí)的不同要求，梯度設(shè)問，合理區(qū)分文、理科考生。文、理科數(shù)學(xué)試卷中有不少試題屬于姊妹題，這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)出了對(duì)文、理科考生在相同知識(shí)背景下，有不同考查要求的特點(diǎn)。例如課標(biāo)二卷文科第（20）題和理科第（20）題為姊妹題，兩道試題背景都是考查直線與橢圓，但是設(shè)計(jì)有所區(qū)分，文科試題中的橢圓是給定的，在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步探究直線斜率之間的關(guān)系；理科試題則是在文科試題基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步，讓考生探究此時(shí)的四邊形OAPB能否為平行四邊形？這樣的設(shè)計(jì)針對(duì)文、理科考生要求的不同，進(jìn)行了區(qū)分，文科試題難度明顯低于理科試題。

2015年數(shù)學(xué)試卷充分滲透了數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)了立德樹人的要求。試題在應(yīng)用創(chuàng)新，能力考查方面進(jìn)行了積極有效的探索，突出對(duì)實(shí)踐能力的考查，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著較好的引導(dǎo)作用。

[1]教育部考試中心.2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[3]杜威，著.王承緒，譯.民主主義與教育[M].北京：人民教育出版社，1990.

[4]教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測(cè)量理論與實(shí)踐[M].北京：高等教育出版社，2006.

Reflect Mathematical Culture and Highlight Practice Ability: An Analysis of College Entrance Examination of Mathematics in 2015

CHEN Xu

2015 mathematics subject in College Entrance Examination encourages innovation while following conventional guidance,and emphasizes“strengthening morality education”.This examination reflects very well the New Curriculum Reform,epochal features of mathematics education,and the culture of mathematics.The College Entrance Examination also examined precious traditional Chinese culture and explored application,creativity, ability aspects of mathematics assessment.

College Entrance Examination of Mathematics；Ability Testing

G405

A

1005-8427（2015）11-0011-5