張 盈,張景雄

武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院,湖北武漢 430079

顧及空間相關(guān)性的遙感影像信息量的度量方法

張 盈,張景雄

武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院,湖北武漢 430079

提出了一種結(jié)合信息論與地學(xué)統(tǒng)計法的遙感影像信息量計算的方法。此方法基于遙感影像加性噪聲模型和互信息上界的計算原理,同時考慮了噪聲和空間相關(guān)性等影響遙感影像信息量的因素,適于計算具有穩(wěn)健空間相關(guān)性、不同地物類型的光學(xué)影像的信息含量。利用Landsat TM影像子集,分別計算了城市、農(nóng)田、山地3種不同地物類型的影像信息量。結(jié)果表明,城市含有最大的信息量,同時影像信息量與影像方差呈對數(shù)正相關(guān)關(guān)系。

信息熵；信息量；變異函數(shù)；空間相關(guān)性；加性噪聲；遙感影像

1 引 言

在社會進(jìn)步乃至日常生活中,遙感和地理信息系統(tǒng)(GIS)的作用日益凸顯。然而,目前對于多源空間數(shù)據(jù)信息量的研究偏少,遠(yuǎn)沒有達(dá)到以米計長度、以千克論質(zhì)量、以安培量電流的定量程度[1],這與空間信息的重要地位極不相稱。

估算與分析遙感影像的信息量是定量遙感的基礎(chǔ)性工作,并有諸多應(yīng)用:首先,作為綜合指標(biāo),信息計量通常須考慮影像分辨率、信噪比、量測精度等因素,因而比傳統(tǒng)的單一性指標(biāo)(如分辨率等)更準(zhǔn)確地度量其“信息”量而不是“數(shù)據(jù)”量,從而成為合理確定信息產(chǎn)業(yè)價格的重要參考指標(biāo);其次,信息熵量化了數(shù)據(jù)可壓縮的極限,可用于指導(dǎo)數(shù)據(jù)壓縮,更好地辨別、利用不同的壓縮方法對于不同數(shù)據(jù)的適用性;另外,還可用于改善遙感影像處理方法,確定影像處理方法的性能,以提高處理方法的可靠性和效率。

經(jīng)典信息論中[2],信息是可量測的數(shù)量,反映接受者從多個符號串辨識某一串符號的能力。作為對地面信息的記錄,遙感影像獲取、處理、存儲和分發(fā)過程中,始終伴隨著信息的傳遞和信息量的增減,因此,使用信息科學(xué)基礎(chǔ)理論之一的信息論進(jìn)行遙感影像信息量的度量和遙感影像質(zhì)量的評價是適當(dāng)?shù)腫3]。影像信息量的測度和指標(biāo)包括空間分辨率、輻射分辨率、不同目標(biāo)類型間的輻射對比度、所獲取影像的最終應(yīng)用等[4]?，F(xiàn)有的影像信息度量的方法有的直接利用信息熵作為評價信息量的標(biāo)準(zhǔn)[5-6],例如,文獻(xiàn)[7]在處理遙感分類問題中,提出了基于信息熵的最優(yōu)空間尺度選擇方法;文獻(xiàn)[8]在影像融合處理中,通過計算信息熵來確定遙感數(shù)據(jù)的最佳波段組合。

遙感影像的信息量取決于灰度量化等級、灰度噪聲、空間分辨率、幾何變形、鄰元相關(guān)性、波段間相關(guān)性等因素[1]。現(xiàn)有研究中,學(xué)者們通常會分別考慮影響影像信息量的這些因素,并分別將其納入信息量的計算中,例如,文獻(xiàn)[9]討論了信息量與信噪比的關(guān)系;文獻(xiàn)[10]討論了分辨率對信息量的影響;文獻(xiàn)[11—12]討論了相鄰像元間相關(guān)性對信息量的影響。然而,這些影響因素之間存在相關(guān)性,簡單地分別計算分析將導(dǎo)致結(jié)果欠精準(zhǔn),因?yàn)樗鼈兊木C合影響不是單因素影響的簡單相加,故不能單純地將其分開來進(jìn)行計算。

地統(tǒng)計學(xué)中的變異函數(shù),也稱為變差函數(shù),可用來度量影像中的空間變異性。由傳感器獲得的度量結(jié)果(即數(shù)據(jù))可理解為區(qū)域化變量的實(shí)現(xiàn),故可以用變異函數(shù)來度量遙感影像的空間結(jié)構(gòu)[13-14]。變異函數(shù)可以描述某像素與其鄰域的空間依賴關(guān)系,將半方差與空間間隔聯(lián)系起來,提供了空間變異性的尺度和模式的無偏估計[15]。

本文采用信息論與地統(tǒng)計的方法,綜合考慮鄰元相關(guān)性和噪聲等因素的影響,提出了遙感影像信息量上界的計算方法,并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

2 方 法

2.1 信息熵與影像信息量

信息是個相當(dāng)寬泛的概念,很難用一個簡單的定義將其完全準(zhǔn)確地把握。然而,對于任何一個概率分布,可以定義一個稱為熵(entropy)的量,它的許多特性符合度量信息的直觀要求[16-17]。熵是隨機(jī)變量的不確定性的一個度量,設(shè)有Q個可能的消息,其相應(yīng)的概率分別為p1, p2,…,pQ,于是,平均信息量可用熵H進(jìn)行計算,即

而此數(shù)字圖像中總的信息量最多可達(dá)到(當(dāng)每一灰度級等概出現(xiàn)時)

這個概念可以推廣到互信息?；バ畔⑹窃诮o定另一隨機(jī)變量知識的條件下,原隨機(jī)變量不確定度的縮減量[16]。考慮兩個隨機(jī)變量S和Z,它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(sz),其邊際概率密度函數(shù)分別為p(s)和p(z),將互信息定義為

互信息用來度量一個隨機(jī)變量包含另一個隨機(jī)變量的信息量,而熵恰好變成一個隨機(jī)變量的自信息[16],同時,熵是平均不肯定性的定量描述,而熵差才是接收端獲得的信息量,因此互信息是比熵更有意義的物理量[20]。

若信道不存在噪聲,信道輸出符號與輸入符號將一一對應(yīng),于是接收到傳遞過來的符號后就能消除對發(fā)送信號的先驗(yàn)不肯定性。但實(shí)際的信道中總存在著噪聲,它會導(dǎo)致接收到符號Z后對發(fā)送的符號仍有不肯定性,于是引入條件熵的概念,定義為

式中,S表示原始影像(即信號);N表示噪聲。根據(jù)式(5)—式(7),容易推出信息熵、互信息、條件熵的關(guān)系,即

因而,互信息I(S;Z)是在Z給定知識的條件下S的不確定度的縮減量。

在光學(xué)遙感系統(tǒng)中,附加在數(shù)據(jù)Z中的噪聲N被認(rèn)為是獨(dú)立于信號的,并且是加性噪聲[21],表示為Z＝S＋N。加性噪聲即由發(fā)生源產(chǎn)生并疊加在圖像信號上且與圖像信號無關(guān)的噪聲,通?？梢杂烧龖B(tài)分布(高斯分布)表示為均值為零的隨機(jī)過程,其概率密度函數(shù)可表示為

式中,∑NN表示噪聲N的協(xié)方差矩陣;det(∑NN)表示噪聲N的協(xié)方差矩陣的行列式。

若假設(shè)影像信號亦服從正態(tài)分布,則影像概率密度函數(shù)為

式中,∑SS表示信號S的協(xié)方差矩陣;det(∑SS)表示S的協(xié)方差矩陣的行列式;μ為S的均值向量。由于影像與噪聲相互獨(dú)立,故數(shù)據(jù)Z的協(xié)方差為S與N的協(xié)方差之和為

根據(jù)互信息的計算式(8)可得在加性噪聲條件下的互信息為

本文參照文獻(xiàn)[9]中對于信息量計算的結(jié)論,首先對H(N)進(jìn)行推導(dǎo),則有

式中,m表示自由度,即樣本中獨(dú)立或能自由變化的數(shù)據(jù)的個數(shù)。若假設(shè)Z服從正態(tài)分布,對H(Z)可以進(jìn)行類比推導(dǎo),H(Z)可表示為

故影像的信息量(影像Z傳遞的關(guān)于信號S (即地表分布)的互信息)為

若Z的正態(tài)分布假設(shè)不成立,式(14)依然可以用于計算影像Z的信息熵的上限,因?yàn)橥讲畹碾S機(jī)分布中,正態(tài)分布的信息熵最大。因此,式(15)可用于影像的信息含量的上限值,或者視為影像Z作為傳輸信號S的信道的容量。

因而,計算影像信息量的問題轉(zhuǎn)化為對于影像協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣的計算問題?；诖丝紤],由于地統(tǒng)計學(xué)中的變異函數(shù)可用來分析影像空間結(jié)構(gòu)特征,量化特定影像的空間相關(guān)性,故有效解決協(xié)方差矩陣的計算問題,從而進(jìn)行影像信息量的計算。

2.2 變異函數(shù)模型與影像的空間協(xié)方差

在地統(tǒng)計學(xué)中,變異函數(shù)是研究中非常重要的工具,它用來表示區(qū)域內(nèi)區(qū)域化變量的相關(guān)關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)。對于遙感影像,變異函數(shù)可表示為[22-23]

式中,z(xi)表示像素xi的灰度值;h表示距離間隔;N為點(diǎn)對個數(shù)。變異函數(shù)與像素xi的位置無關(guān),只依賴于兩個像素點(diǎn)之間的距離,因而變異函數(shù)可以測量間距為h時兩個像素間的相關(guān)性與差異性。通常情況下,距離相近的點(diǎn)要比遠(yuǎn)離的點(diǎn)關(guān)系更為密切,像素間間距越大,其變異性越大,相似性越小。

為了表征區(qū)域化變量在一定尺度上的空間變異和相關(guān)程度,通常有3個重要的參數(shù):基臺值、變程、塊金值?；_值表示變異函數(shù)隨著間距遞增到一定程度時出現(xiàn)的平穩(wěn)值,代表由于樣本數(shù)據(jù)中存在空間相關(guān)性而引起的方差變化范圍。變程是變異函數(shù)達(dá)到基臺值時的樣本間距,在變程距離范圍內(nèi),樣本點(diǎn)之間具有相關(guān)性,因此,在此范圍內(nèi)的插值才是有意義的。理論上當(dāng)h＝0時,變異函數(shù)的值應(yīng)該等于0。但由于噪聲等因素的影響,通常會使得在h很小時,變量值之間仍然存在差異,因而有了塊金值的概念。本文中主要用塊金值來衡量噪聲的影響[24],它表示區(qū)域化變量在小于觀測尺度時的非連續(xù)變異,此時的變異性在空間不存在相關(guān)關(guān)系。當(dāng)h→0時,變異函數(shù)為

式中,σ2n為噪聲方差;C0為塊金值。因而在得到塊金值后,即可對噪聲方差進(jìn)行評估,從而得到噪聲的協(xié)方差矩陣,即式(15)中的分母部分。

在地統(tǒng)計方法中,利用數(shù)學(xué)模型對已有的變異函數(shù)進(jìn)行擬合是非常必要的[25-26],因?yàn)楸疚牟粌H需要利用到塊金值,同時還需要利用擬合后的模型的參數(shù)進(jìn)行協(xié)方差函數(shù)的計算。本文主要用到球狀模型和指數(shù)模型,因?yàn)檫@兩個模型在所選定的擬合策略中,擬合效果是最好的。球狀模型定義為

式中,C0為塊金值;C為基臺值;a為變程。

協(xié)方差函數(shù)C(h)也可描述空間的變異性,遙感影像灰度具有一階馬爾科夫過程的統(tǒng)計特征,其協(xié)方差陣可描述為[1]

式中,σ2為影像方差;ρ為相鄰像元間的自相關(guān)系數(shù)。地統(tǒng)計學(xué)中,協(xié)方差函數(shù)與變異函數(shù)的關(guān)系可表示為

式中,C(0)為區(qū)域化變量的方差,對于遙感影像來說,C(0)就是影像的方差。在得到擬合后的模型參數(shù)后,根據(jù)協(xié)方差函數(shù)所需的要素,即可得到此影像的協(xié)方差函數(shù),從而有效地解決了式(15)中分子部分協(xié)方差矩陣的問題,因而使得影像信息量的問題迎刃而解。

3 實(shí)例分析

3.1 試驗(yàn)區(qū)域和數(shù)據(jù)

試驗(yàn)區(qū)域位于湖北省武漢市,采用美國陸地探測衛(wèi)星系統(tǒng)Landsat TM獲取的影像,軌道號為P123R39,獲取時間是2009年3月14日,影像被裁剪成200像素×200像素的大小,由于不同地物類型對于影像的信息量影響較大,故本文分別對城市、農(nóng)田、山地3種不同的地物類型進(jìn)行信息量的計算,如圖1所示。

圖1 Landsat TM影像Fig.1 Landsat TM images representing different land cover types

3.2 試驗(yàn)過程

Landsat TM影像的1—5波段和7波段參與影像信息量的計算,首先分別求取不同波段影像對應(yīng)的變異函數(shù),根據(jù)變異函數(shù)的具體性狀選擇合適的擬合模型對其進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的模型參數(shù)。根據(jù)變異函數(shù)與協(xié)方差矩陣的關(guān)系,分別得到影像的協(xié)方差矩陣和噪聲的矩陣,從而得到影像的信息量。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

圖2分別描述波段1—5和波段7中,城市、農(nóng)田、山地3種典型地物的變異函數(shù)曲線,本文根據(jù)點(diǎn)對數(shù)目作為權(quán)系數(shù)、最小二乘意義下進(jìn)行加權(quán)擬合的策略,確定采用的擬合模型是套合結(jié)構(gòu),即結(jié)合塊金模型時,指數(shù)模型或球狀模型的自由組合結(jié)構(gòu)。對于同一種地物類型,不同波段的變異函數(shù)曲線的變化性狀是相似的,差別在于縱坐標(biāo)的變化很大。綜合3種地物類型來看,波段1—3變異函數(shù)的縱坐標(biāo)偏小,波段4、波段5、波段7變異函數(shù)的縱坐標(biāo)明顯增加。當(dāng)橫坐標(biāo)達(dá)到變程時,變異函數(shù)的縱坐標(biāo)會相應(yīng)增加到基值,并基本達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài),此時縱坐標(biāo)的大小反映了影像方差的大小情況。圖2(a)—(f)中,城市的變異函數(shù)曲線的縱坐標(biāo)值明顯大于其他兩種地物類型,其中第5波段城市影像的方差是最大的。圖2(d)中,農(nóng)田的變異函數(shù)曲線的縱坐標(biāo)明顯大于其他兩種地物類型,此波段農(nóng)田影像的方差是最大的。由于變異函數(shù)在原點(diǎn)處的性狀可以反映區(qū)域化變量的空間連續(xù)性,從圖2可以看出,城市的變異函數(shù)曲線變異程度增加得最快,農(nóng)田和山地變化較緩慢,其中山地的空間連續(xù)性略優(yōu)于農(nóng)田,而城市的空間連續(xù)性最差,而這是由它們各自的空間結(jié)構(gòu)和紋理特征決定的。根據(jù)擬合后的變異函數(shù),可以得到擬合后套合模型的參數(shù),用于進(jìn)行協(xié)方差函數(shù)的計算。協(xié)方差函數(shù)的構(gòu)成同樣是由塊金值、基值和變程3個因素決定,3種不同地物類型在模型的選擇上,除了均含有塊金模型外,對于城市本文選擇指數(shù)模型與球狀模型的組合,農(nóng)田選擇兩個指數(shù)模型的組合,山地選擇兩個球狀模型的組合,具體參數(shù)如表1、表2、表3所示。

圖2 3種地物類型的變異函數(shù)曲線Fig.2 Variograms estimated from three different land cover types

表1 城市各波段的變異函數(shù)參數(shù)Tab.1 Variogram parameters for city in different bands

表2 農(nóng)田各波段的變異函數(shù)參數(shù)Tab.2 Variogram parameters for farmland in different bands

表3 山地各波段的變異函數(shù)參數(shù)Tab.3 Variogram parameters for mountain in different bands

根據(jù)協(xié)方差函數(shù),可以得到3種不同地物類型影像的信息量。為了進(jìn)一步說明相鄰像元間的相關(guān)性給信息量帶來的冗余,筆者分別計算了未考慮相關(guān)性和顧及相關(guān)性兩種情況下的影像的信息量,如表4、表5所示。在這兩種情況下,不同類型的地物的信息量均表現(xiàn)出很大差別,這也是本文針對不同地物類型分別進(jìn)行影像信息量計算的原因。其中,從不同波段的角度來看,城市的信息量普遍大于農(nóng)田和山地,而農(nóng)田和山地的信息量有微小差別。城市和山地在第5波段的信息量最大,農(nóng)田在第4波段的信息量最大。綜合所有波段來看,城市的總信息量最大,農(nóng)田和山地的總信息量較相似。試驗(yàn)結(jié)果表明,顧及影像空間相關(guān)性后的信息量度量結(jié)果較未考慮空間相關(guān)性的結(jié)果偏小,因?yàn)榍罢哂嬎銜r扣除了相關(guān)性導(dǎo)致的冗余信息,結(jié)果更客觀、準(zhǔn)確,且能說明不同地物類型的地學(xué)特征。圖3更直觀地展現(xiàn)了3種地物類型的信息量,城市所包含的大量信息量更加明顯,這亦符合人們對于這3種地物類型的信息量的直觀理解,由于城市這種地物類型紋理較細(xì),變化較快,所以信息量會明顯大于農(nóng)田和山體這類紋理比較規(guī)則、變化比較慢的地物類型。

表4 不考慮相關(guān)性時的不同波段影像的信息量Tab.4 Information content calculated in different bands regardless of spatial correlation bit/pixel

表5 顧及相關(guān)性時的不同波段影像的信息量Tab.5 Information content calculated in different bands considering spatial correlation bit/pixel

圖3 3種地物類型不同波段的信息量Fig.3 Information content estimated by three different land cover types in different bands

對于影像的信息量大小與方差的關(guān)系,文獻(xiàn)[9]已對其進(jìn)行研究。其研究是在不考慮影像相關(guān)性的情況下,證明了影像的信息量與噪聲存在正相關(guān)關(guān)系。而筆者更關(guān)心的問題在于利用式(15)后與僅利用式(1)的區(qū)別,即考慮空間相關(guān)性的基礎(chǔ)上,如何解決影像信息量的度量問題。為了探尋其內(nèi)在聯(lián)系,基于Blacknell的理論基礎(chǔ),本文對影像信息量與方差的關(guān)系進(jìn)行了擬合分析,如圖4所示,3種不同地物分別進(jìn)行對數(shù)擬合的擬合度均大于90%,因而可以推斷影像信息量與方差存在對數(shù)正相關(guān)關(guān)系,而不是完全獨(dú)立的?；诖?筆者對影像信息量與方差的對數(shù)的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步明確,如圖5所示,故結(jié)合表1可以解釋不同地物信息量的大小不同的原因。同時,根據(jù)擬合公式的系數(shù)可知,隨著方差的增加,城市的信息量增加得最快,農(nóng)田其次,而山地的信息量增加得最慢。

圖4 3種地物類型影像信息量與方差的關(guān)系圖Fig.4 Relation between information content and variance for three different land cover types

圖5 3種不同地物類型影像信息量與方差對數(shù)的關(guān)系圖Fig.5 Relation between information content and logarithm of variance for three different land cover types

本文采用了不同的擬合方法對影像的信息量進(jìn)行擬合,如表6所示,從各種擬合方法的擬合公式可以推斷,影像方差與信息量確實(shí)存在著正相關(guān)關(guān)系。從可決系數(shù)可知,對數(shù)擬合的擬合效果在城市和山地這兩種地物類型中明顯優(yōu)于其他擬合方法。對于農(nóng)田來說,乘冪擬合的擬合效果略優(yōu)于對數(shù)擬合,而對數(shù)擬合的效果優(yōu)于其他兩種擬合方法。根據(jù)本文所采用的數(shù)據(jù),綜合3種不同的地物類型,筆者認(rèn)為可以推斷影像方差與信息量存在對數(shù)正相關(guān)關(guān)系,而是否不同地物類型會導(dǎo)致方差與信息量存在不同的正相關(guān)關(guān)系,仍需大量數(shù)據(jù)進(jìn)行探討。

表6 不同擬合方法對信息量(I)進(jìn)行擬合的結(jié)果Tab.6 Fitting results using different fitting methods

4 結(jié) 語

本文提出了基于加性噪聲環(huán)境的多光譜遙感影像的信息度量方法,以期解決考慮了噪聲和空間相關(guān)性等影響遙感影像信息量的因素的不同地物類型的影像信息量。試驗(yàn)表明,城市含有最大的信息量,同時影像的信息量與影像方差呈對數(shù)正相關(guān)關(guān)系?？紤]到城市含有道路、房屋等多種類型的復(fù)雜結(jié)構(gòu),而農(nóng)田、山地的空間結(jié)構(gòu)相對簡單規(guī)則,因此隨著方差的增加,農(nóng)田和山地的信息量增加相對較慢。于是,可從遙感影像的信息論特性,解釋遙感影像所要表達(dá)的信息的內(nèi)涵,這也正是本文想要探討影像信息量問題的原因。遙感影像信息量的計量,對于定量評價影像的質(zhì)量起到關(guān)鍵作用,它使得用戶在利用影像之前,對于影像的信息具有客觀的認(rèn)知。

致謝：感謝美國加州大學(xué)圣芭芭拉分校地理系的Phaedon Kyriakidis教授為本文提供理論指導(dǎo)。

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(責(zé)任編輯:張艷玲)

Measure of Information Content of Remotely Sensed Images Accounting for Spatial Correlation

ZHANG Ying,ZHANG Jingxiong

School of Remote Sensing and Information Engineering,Wuhan University,Wuhan 430079,China

A measure is proposed based on the information theory and geostatistics to evaluate information content in remotely sensed images.The method is based on the additive noise model and maximum mutual information.These factors affecting the information content have been taken into account,such as noise, spatial correlation and so on.It is suitable for measuring the information content in optical images that have robust spatial correlation with different land cover types.An experiment was performed on a Landsat TM image with three different kinds of land cover types(city,farmland and mountain).The result shows that city has the most information content.It also proves that there is a log positive correlation between information content and the variance of the images.

information entropy;information content;variogram;spatial correlation;additive noise; remotely sensed imagery

The National Natural Science Foundation of China(Nos.41171346;41471375)

ZHANG Ying(1987—),female,PhD c andidate,majors in photogrammetry and remote sensing.

ZHANG Jingxiong

P227

A

1001-1595(2015)10-1117-08

國家自然科學(xué)基金(41171346；41471375)

2014-08-21

張盈(1987—),女,博士生,研究方向?yàn)閿z影測量與遙感。

E-mail:yingzhang.whu＠gmail.com

張景雄

E-mail:jxzhang＠whu.edu.cn

ZHANG Ying,ZHANG Jingxiong.Measure of Information Content of Remotely Sensed Images Accounting for Spatial Correlation[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2015,44(10):1117-1124.(張盈,張景雄.顧及空間相關(guān)性的遙感影像信息量的度量方法[J].測繪學(xué)報,2015,44(10):1117-1124.)

10.11947/j.AGCS.2015.20140417

修回日期:2015-05-07