一個(gè)需要完善的經(jīng)典反例

☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級(jí)中學(xué) 沈金興

一個(gè)需要完善的經(jīng)典反例

☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級(jí)中學(xué) 沈金興

一、棱柱定義與經(jīng)典反例

文1中提到了棱柱概念的進(jìn)化并提供了一個(gè)典型反例，筆者覺(jué)得這個(gè)反例值得商榷，有必要做進(jìn)一步完善.

先看一下人教版教材《必修2》1.1.1節(jié)中對(duì)棱柱下的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.而作為一線教師，一定會(huì)同時(shí)給出一個(gè)辨析題：能否把棱柱定義為“有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”.

絕大多數(shù)同學(xué)會(huì)認(rèn)為可以，當(dāng)然也有一部分同學(xué)覺(jué)得不可以，但理由會(huì)說(shuō)：“如果可以這樣簡(jiǎn)潔地定義，那教材為何還要這么啰嗦地下定義呢？”這顯然不是數(shù)學(xué)方面的理由，而是邏輯上的理由.其實(shí)，要否定它，只要一個(gè)反例就可以了，但要讓學(xué)生自己去獨(dú)立思考，可能會(huì)很難想到.因此，教師就會(huì)給出像文1中一樣的一個(gè)經(jīng)典反例，如圖1.

圖1

二、對(duì)反例的詰問(wèn)

首先來(lái)看多面體的定義，以人教2004年版教材為例，多面體定義為“由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形”，并對(duì)多面體進(jìn)行分類，“把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體”，而另一類便是凹多面體.

接著來(lái)看圖1這個(gè)反例，它雖然是辨析題中那個(gè)定義的反例，但顯然這個(gè)反例是凹多面體的.筆者以前在上《棱柱》這節(jié)課時(shí)，也是舉這個(gè)經(jīng)典反例的，可在最近一次上這節(jié)課時(shí)，有學(xué)生一下課就來(lái)追問(wèn)：“老師，棱柱是多面體，而多面體有凹、凸之分，可剛才給出的反例是一個(gè)凹多面體，那在凸多面體中有沒(méi)有反例呢？如果沒(méi)有，則辨析題那個(gè)定義中的多面體只要改成凸多面體不就正確了”.最后該生又加了一句話：“反正老師您給出的這個(gè)反例不能讓我信服！”

面對(duì)學(xué)生的詰問(wèn)，筆者也思索起來(lái)，覺(jué)得學(xué)生說(shuō)得很有道理.這么說(shuō)，以前我們舉的經(jīng)典反例是有問(wèn)題的，那只不過(guò)是凹多面體中的一個(gè)反例，還缺少凸多面體中的反例.筆者一方面為學(xué)生有這樣的批判性思維而高興，另一方面自己也陷入了深思.

三、數(shù)學(xué)史上的棱柱定義

回頭再看一看在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過(guò)程中對(duì)棱柱下的定義.

早在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-275）著的《幾何原本》中，在其第Ⅺ卷有這樣一個(gè)定義：“一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對(duì)的、相等的，相似且平行的，其他各面都是平行四邊形.”［2］這個(gè)定義不就是辨析題中的說(shuō)法嗎？由此可見(jiàn)，棱柱的這種錯(cuò)誤定義來(lái)源于影響了2000多年的《幾何原本》.古希臘先賢也犯了錯(cuò)，難怪現(xiàn)在的學(xué)生會(huì)重蹈覆轍.這也進(jìn)一步印證了“歷史發(fā)生原理”：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解過(guò)程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難正是學(xué)生所經(jīng)歷的障礙.［3］

由于《幾何原本》是經(jīng)典幾何中的“圣經(jīng)”，故沒(méi)有數(shù)學(xué)家對(duì)棱柱定義提出懷疑，即使到了二十世紀(jì)初依舊如此.在1906年，數(shù)學(xué)家Failor對(duì)棱柱重新下了定義：棱柱是兩個(gè)面為全等且平行的多邊形，其他面為平行四邊形的多面體.在1913年，數(shù)學(xué)家Smith也把棱柱定義為：有兩個(gè)面為平行平面上的全等多邊形，其他面均為平行四邊形的多面體.顯然，這兩個(gè)定義還是《幾何原本》中棱柱定義的翻版，只是描述得簡(jiǎn)潔一點(diǎn)而已，并無(wú)本質(zhì)區(qū)別.這說(shuō)明該定義的反例是很難找的，否則在歷經(jīng)2000多年的歷史長(zhǎng)河中，到了上世紀(jì)初竟還無(wú)一位數(shù)學(xué)家提出修正，所以學(xué)生想不到反例也很正常.

四、完善反例并制作模型

由于平時(shí)舉的這個(gè)反例是屬于凹多面體的，故需要再舉一個(gè)凸多面體的反例，這樣才完整.當(dāng)然，也不必重起爐灶，只要在原有反例的基礎(chǔ)上進(jìn)行完善，把它變成凸多面體就可以了.

1.用“補(bǔ)形”方法來(lái)完善

原有的反例是凹的，那只要在凹進(jìn)去的地方補(bǔ)上一個(gè)多面體，使之變成凸的不就行了，當(dāng)然側(cè)面還是要保證平行四邊形的.為了更一般化，原來(lái)反例中的上、下底面可改成一般的四邊形，然后為了美觀，還可再“補(bǔ)形”，使上、下底面為平行四邊形，最后就得一個(gè)很漂亮的凸多面體反例.具體的“補(bǔ)形”過(guò)程見(jiàn)圖2.

2.用“切割”方法來(lái)制作

凸多面體的反例是在原有凹多面體反例的基礎(chǔ)上通過(guò)“補(bǔ)形”方法得來(lái)的，但在給學(xué)生說(shuō)明時(shí)，還不太好辦，因?yàn)檫@個(gè)反例不容易畫.所以，最好能制作一個(gè)模型，直接給學(xué)生看，這樣就很有說(shuō)服力了.

但要憑空制作這個(gè)反例的模型也有點(diǎn)困難，于是就聯(lián)想到立體幾何中常用的“切割”方法.由于反例有十二個(gè)面，取上、下相對(duì)的兩個(gè)有四條棱的頂點(diǎn)，則發(fā)現(xiàn)該頂點(diǎn)可看成一個(gè)四棱錐的頂點(diǎn)，即有4個(gè)側(cè)面，這樣上下就有8個(gè)側(cè)面，再加上中間四個(gè)面，就構(gòu)成十二個(gè)面了.如此一來(lái)，就很自然地想到正八面體，然后取各條棱的中點(diǎn)，再把各中點(diǎn)相連就形成了圖2中的凸多面體反例.具體“切割”過(guò)程如圖3，最后再旋轉(zhuǎn)一下觀看，就誕生了一個(gè)完美的凸多面體反例模型，如圖4.

圖2

圖3

圖4

五、結(jié)束語(yǔ)

至此，針對(duì)棱柱錯(cuò)誤定義的反例就完善了，從而讓學(xué)生更加明白了教材中對(duì)棱柱所下定義的正確性.由于流傳了2000多年的《幾何原本》中對(duì)棱柱下的錯(cuò)誤定義，從而導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)棱柱定義的誤解也屬正常，因?yàn)闅v史上這么多大數(shù)學(xué)家都認(rèn)為《幾何原本》中的棱柱定義是正確的，更何況學(xué)生.而教師舉的反例也不應(yīng)只局限于凹多面體的，還要補(bǔ)充凸多面體的反例才完整.希望本文完善的反例能給一線教師在教學(xué)上帶來(lái)方便.

1.馮耀斌.HPM視角下高中數(shù)學(xué)若干“核心概念”的回歸［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（3）.

2.歐幾里得，箸.幾何原本［M］.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2011.

3.汪曉勤，韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.FH