細(xì)長壓桿失穩(wěn)理論對(duì)一級(jí)臺(tái)階凸模的設(shè)計(jì)指導(dǎo)

董冠文，李宗義，朱七二

（甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水741001）

0 引言

眾所周知，沖裁凸模作為冷沖模重要的工作零件之一，始終受到模具設(shè)計(jì)人員的重視。本文擬采用細(xì)長壓桿失穩(wěn)理論，分析一級(jí)臺(tái)階凸模在沖裁過程中的受力特點(diǎn)，將臺(tái)階凸模刃口長度部分視為彈性桿，其余部分視為剛性桿，建立了彈性和剛性的混合桿系的力學(xué)模型，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一階常微分方程的初值問題，用4 階經(jīng)典Rung-Kutta 法，計(jì)算彈性和剛性的混合桿系的力學(xué)模型的數(shù)值解，進(jìn)而獲得隨一級(jí)臺(tái)階凸模的彈性長度與剛性長度之比的大范圍變化的載荷參數(shù)的關(guān)系曲線。

1 彈性和剛性的混合桿系的力學(xué)模型建立

1.1 凸模的結(jié)構(gòu)組成

以圖1 所示圓臺(tái)階凸模為例，結(jié)合沖模術(shù)語國家標(biāo)準(zhǔn)，圓凸模的結(jié)構(gòu)組成要素如下：①頭部，即直徑最大的圓柱部分；②頭厚，即頭部的厚度；③頭部直徑，圓錐頭時(shí)為最大直徑；④連接半徑，防止應(yīng)力集中；⑤桿，為凸模與固定板孔配合部分；⑥桿直徑，一般與固定板孔為H7/m6 配合；⑦引導(dǎo)直徑，可略小于桿直徑，便于壓入固定板；⑧過渡半徑，光滑連接刃口直徑與桿直徑；⑨刃口直徑，圓凸模直徑尺寸；⑩過渡圓角，光滑連接刃口直徑與桿直徑；?刃口長度，包括切入材料的深度和刃磨長度；?凸模總長度，簡稱凸?？傞L。

1.2 一級(jí)臺(tái)階凸模的控制方程

現(xiàn)考慮一外形結(jié)構(gòu)如圖1 所示的一級(jí)臺(tái)階凸模，各截面皆為圓形，刃口截面直徑⑨為d1，引導(dǎo)直徑⑦為d2，頭部直徑為d3，凸模總長度?為l+a，其中刃口?與過渡半徑⑧總長度為l，頭厚②、連接半徑④、桿⑤總長度為a，且滿足l=6a，凸模工作時(shí)，刃口?深入板料，此時(shí)刃口最容易失穩(wěn)變形，其余部分相比變形較小，可忽略不計(jì)。依據(jù)細(xì)長壓桿失穩(wěn)理論，將刃口?及其過渡部分⑧看成彈性桿，其余部分看成剛性桿，建立了如圖2 所示的彈性與剛性混合桿系的力學(xué)模型，AC 段為細(xì)長彈性桿，彎曲剛度為EI，長度為l，CB 段為剛性桿。在沖裁過程中，相當(dāng)于施加一微小的側(cè)向干擾F，使彈性桿AC 微彎，剛性桿CB 微偏轉(zhuǎn)[4]。

圖1 圓臺(tái)階凸模的結(jié)構(gòu)組成

圖2 彈性與剛性混合桿系的力學(xué)模型示意圖

FBy=FAy=0

設(shè)截面x 的撓度為w，則桿AC 段的彎矩方程為

M（x）=-Fw

由此得該桿段的撓曲線的微分方程為

其通解為

設(shè)截面C 的撓度為δ，則該截面的轉(zhuǎn)角∠B 大小為

在x=0 處，w=0，代入式（1）得B=0

在x=l 處，w=δ 代入式（1）得

《孟子》云：“天下之本在國，國之本在家，家之本在身?！奔磦€(gè)人是家庭的基礎(chǔ)，家庭是社會(huì)和國家的基本細(xì)胞，而婚戀則是個(gè)體發(fā)展、家庭延續(xù)乃至國家生生不息的必要前提和基礎(chǔ)。但在現(xiàn)實(shí)中，許多貧困農(nóng)村的男青年遙望著“圍城”內(nèi)的生活，卻因種種現(xiàn)實(shí)和自身的原因而無法走進(jìn)婚姻的殿堂。

由（2）得

將（4）代入（3）得

特征根方程（5）就是臨界載荷所應(yīng)滿足的方程。

2 數(shù)值方法及結(jié)果

特征根方程（5）是含有正切三角函數(shù)的超越方程, 無法求出其顯式解析解，這里采用4 階經(jīng)典Rung-Kutta 法求其數(shù)值解[5]。

引入無量綱量

將（6）、（7）代入（5）得

由（8）得

當(dāng)t=0 代人（9）得

（10）就是（9）的初值。現(xiàn)對(duì)（9）取一階導(dǎo)數(shù)得

于是（10）和（11）構(gòu)成如下一階常微分方程的初值問題

取步長h=0.01，已知t0=0 則tn=t0+nh=nh 階經(jīng)典Rung-Kutta 法為

通過計(jì)算結(jié)果的原始數(shù)據(jù)，得到了圖3 一級(jí)臺(tái)階凸模無量綱載荷參數(shù)與其彈性長度剛性長度比的關(guān)系，圖3 反映了隨著一級(jí)臺(tái)階凸模其彈性長度剛性長度比的增大，其臨界載荷增大，凸模越不易失穩(wěn)，因此將直通式凸模改造成一級(jí)臺(tái)階凸模是合理的。也可以依據(jù)圖3 推測并確定，當(dāng)t→∞時(shí)，y→π，Q→π2，此時(shí)不難得到同時(shí)由初值得，當(dāng)于是凸模的沖裁力范圍為進(jìn)而確定凸模刃口長度范圍為不難確定凸模長度。在本例中t=6，所以進(jìn)而確定凸模刃口長度范圍為這樣一來，既確定了凸模長度的下限，又確定了凸模長度的上限。

圖3 載荷參數(shù)與長度比的關(guān)系（0≤t≤6）

圖4 反映了一級(jí)臺(tái)階凸模無量綱載荷參數(shù)與其刃口長度剛性長度比的關(guān)系局部近似于線性彈簧的線性關(guān)系，主要是由于一級(jí)臺(tái)階凸模剛性長度部分被先確定不輕易改變，而后確定凸模刃口長度，在調(diào)整凸模長度尺寸時(shí)，首先調(diào)整凸模刃口長度，這樣就導(dǎo)致凸模刃口長度大小往往會(huì)影響一級(jí)臺(tái)階凸模的刃口長度剛性長度比大小，局部呈線彈性關(guān)系。

圖4 載荷參數(shù)與長度比的關(guān)系局部放大圖（0≤t≤0.1）

圖5 反映了隨著一級(jí)臺(tái)階凸模其刃口長度剛性長度比的增大，一級(jí)臺(tái)階凸模刃口長度系數(shù)減小的特征。由此可推測并確定，當(dāng)t→∞時(shí)，μ→1，一級(jí)臺(tái)階凸模相當(dāng)于兩端鉸支的壓桿。當(dāng)t=0 時(shí)，μ=2，一級(jí)臺(tái)階凸模相當(dāng)于一端固定、另一端自由的壓桿。在本例中，當(dāng)t=6 時(shí)，μ=1.1586 一級(jí)臺(tái)階凸模介于兩端鉸支的壓桿和一端固定，另一端自由的壓桿之間的支撐結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)論

圖5 長度系數(shù)與長度比的關(guān)系（1≤t≤6）

本文依據(jù)細(xì)長壓桿失穩(wěn)理論，通過對(duì)一級(jí)臺(tái)階凸模的校核方法的改進(jìn)研究，提出了校核凸模長度需先確定凸模刃口的長度范圍的觀點(diǎn)，指出了傳統(tǒng)校核方法將凸模長度與凸模刃口長度混為一談進(jìn)行校核是不合理的。首次采用4 階經(jīng)典Rung-Kutta法，計(jì)算了彈性和剛性的混合桿系的力學(xué)模型的數(shù)值解，確定了一級(jí)臺(tái)階凸模刃口長度的上限和下限，對(duì)一級(jí)臺(tái)階凸模的設(shè)計(jì)具有一定參考價(jià)值。

[1]盧險(xiǎn)峰.沖壓工藝模具學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.

[2]盧險(xiǎn)峰.模具學(xué)導(dǎo)論[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2007.

[3]么廷先.臺(tái)階凸模的穩(wěn)定性[J].模具工業(yè)，1990，（8）：2～7.

[4]單輝祖.材料力學(xué)——問題、例題與分析方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]關(guān) 治，陸金甫.數(shù)值方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.