林斌

摘 要 傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理決定了最終采樣得到的數(shù)據(jù)非常龐大，這給數(shù)據(jù)實時化傳輸帶來了挑戰(zhàn)。壓縮感知理論的指出可以用遠少于信號長度的測量值，通過重構(gòu)算法來近似重構(gòu)原始信號。本文主要探討了壓縮感知理論的三大步驟以及其在各領(lǐng)域中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 采樣定理；壓縮感知；信號稀疏；測量矩陣；重構(gòu)算法

中圖分類號TP3 文獻標(biāo)識碼 A 文章編號 1674-6708（2015）138-0083-01

早期，香農(nóng)奈奎斯特（Shannon Nyquist）采樣理論是用于不失真地恢復(fù)信號。香農(nóng)理論指出至少以信號最大頻率的2倍頻率進行采樣才能保證精確恢復(fù)原始信號。由香農(nóng)理論得到的采樣數(shù)據(jù)將會是十分的龐大，將會造成很大的數(shù)據(jù)傳輸成本。有學(xué)者提出是否可以在采集數(shù)據(jù)的時候只采集重要的數(shù)據(jù)，即獲取采集數(shù)據(jù)的同時進行壓縮和采樣。壓縮感知理論提供了解決辦法。

1 壓縮感知

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）采樣理論[1-2]于2006年由Cand?s、Tao、Donoho等人提出。CS理論指出：一個信號若是可稀疏或可壓縮的，可以通過測量矩陣對該信號進行“感知測量”得到采樣數(shù)據(jù)，最后通過重構(gòu)算法采樣信號進行重構(gòu)，就可以近似地恢復(fù)原來的信號。下面開始介紹CS理論的三大步驟：信號稀疏、測量矩陣和信號重構(gòu)。

1.1 信號稀疏

利用信號的稀疏性是CS理論應(yīng)用的一個前提條件。假設(shè)有一信號為一維信號，將信號在一組正交變換基上展開得到：

（1）

其中：是信號的稀疏系數(shù)。從公式（1）可以理解為信號的稀疏化。一般，現(xiàn)實中的信號都可以找到一組正交變換基用來展開。假如此時只有個非零值（），則可以認為信號是稀疏或可壓縮的。在某些場合，前個數(shù)據(jù)對信號而言是相對重要的，后個數(shù)據(jù)是可以忽略的，在傳輸?shù)臅r候是可以拋

棄的。

1.2 測量矩陣

在CS采樣理論中，測量矩陣的作用是用于數(shù)據(jù)采樣，是CS理論中感知測量數(shù)據(jù)中關(guān)鍵的一步。測量矩陣設(shè)計的好壞將會直接影響到后續(xù)數(shù)據(jù)重構(gòu)的精度。

假設(shè)信號，利用一組測量矩陣（其中）對信號進行采樣，從而得到的個采樣數(shù)據(jù)。

整個采樣過程是一個降維過程，其可以用公式（2）

描述：

（2）

因為最終得到的采樣數(shù)據(jù)的維度，且不受信號帶寬影響，所以相對于傳統(tǒng)香農(nóng)采樣理論而言，其采樣得到的數(shù)據(jù)容量要小的多。

測量矩陣必須滿足有限等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，RIP），即公式（2）中對于任意k稀疏信號和常數(shù)，測量矩陣滿足[3]：

（3）

目前，測量矩陣主要有：確定性和隨機性測量矩陣。確定性測量矩陣有Toepltiz和循環(huán)矩陣；隨機性矩陣主要有高斯、貝努利矩陣等等。

1.3 信號重構(gòu)

由于，公式（2）是一個欠定方程組，無法求出其具體解，如何求出具體解將是CS理論需要解決的問題。在滿足RIP條件下，可以利用范數(shù)優(yōu)化方法求解的近似解或逼近解，即通過式（4）求解：

（4）

另外也可用使用范數(shù)代替范數(shù)，以解決式（4）存在的NP-hard問題：

（5）

CS重構(gòu)算法的好壞決定了信號恢復(fù)的精度。目前主要的重構(gòu)算法有正交匹配追蹤OMP算法、匹配追逐MP算法和基追蹤BP算法等等。

2 壓縮感知應(yīng)用

CS理論自誕生以來，在光學(xué)、醫(yī)學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域得到了蓬勃發(fā)展。CS理論具有采集數(shù)據(jù)小，同時具有很好保密性，近年來在軍事領(lǐng)域引起了關(guān)注。下面將介紹CS理論在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用。

1）光學(xué)領(lǐng)域。

單像素相機是CS理論應(yīng)用于光學(xué)的一個很好的例子。其工作原理是：通過光敏二極管電極兩端的電壓變換記錄采集得到數(shù)據(jù)微鏡裝置（Digital Micromirror Device，DMD）陣列反射的測量值，然后經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)換，當(dāng)采集一定數(shù)量的數(shù)據(jù)之后，經(jīng)過重構(gòu)算法恢復(fù)得到原始圖像。

2）醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，CS理論主要是用于核磁共振（Magnetic Resonance Imaging，MRI）成像領(lǐng)域。CS理論的應(yīng)用可以在減少儀器測量時間的同時保證數(shù)據(jù)恢復(fù)精度并減少儀器對病人身體帶來的傷害。隨著計算機的處理速度大大加快，采用CS理論進行MRI成像，甚至可以達到實時成像。

3）物聯(lián)網(wǎng)。

當(dāng)今，我們社會步入了物聯(lián)網(wǎng)時代，無線傳感網(wǎng)絡(luò)是其中關(guān)鍵的技術(shù)支撐。無線傳感器本身具有工作環(huán)境特殊，容易受到高溫、風(fēng)沙、地震等等惡劣環(huán)境的影響，將容易導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失。CS理論將很好的解決數(shù)據(jù)丟失問題，這會是以后人們研究的一大熱點。

4）軍事領(lǐng)域。

目前信息化已經(jīng)滲透到軍事領(lǐng)域，軍事戰(zhàn)爭對信息的實時性傳輸性提出了很高的要求。反映戰(zhàn)場形式最直觀的數(shù)據(jù)是各種語音、圖像等數(shù)據(jù)，但它們過于龐大，對實時傳輸造成了巨大的影響。而CS理論的提出將解決此類問題，一方面可以達到減少數(shù)據(jù)冗余，實現(xiàn)實時傳輸，另一方面也具有很好的保密性。

3 總結(jié)

本文介紹了壓縮感知的理論框架，探討了CS理論中三個關(guān)鍵步驟：信號稀疏、測量矩陣、信號重構(gòu)。文章最后介紹了CS理論的實際應(yīng)用的情況，作為一門新生的理論，在信號處理各領(lǐng)域中注入了新生的血液，給廣大研究者提供了廣闊的研究前景。

參考文獻

[1]David L.Donoho， Compressed sensing[J]. IEEE Transaction on Information Theory， 2006， 52（4）：1289-1306

[2]CANDES E. Compressive Sampling[A].Proceedings of the International Congress of Mathemati-cians[C]//Madrid，Panin，2006.33-1452.

[3] E.Candès， T.Tao. Decoding by linear programming[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2005，51（12）：4203-4215.