彈性碰撞問(wèn)題的“抽絲剝繭”

楊習(xí)志

摘 要：本文通過(guò)一定的數(shù)學(xué)技巧以及對(duì)稱(chēng)性思想對(duì)彈性碰撞問(wèn)題進(jìn)行求解，并由一解變換得到各種類(lèi)型的碰撞問(wèn)題，然后深入探討彈性碰撞所應(yīng)滿足的相關(guān)條件，由此將困難而復(fù)雜的彈性碰撞問(wèn)題逐層瓦解。

關(guān)鍵詞：彈性碰撞；求解技巧；求解條件

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）5-0045-2

彈性碰撞問(wèn)題在動(dòng)量守恒的運(yùn)用中是比較復(fù)雜也比較難的一類(lèi)問(wèn)題。比如，動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律方程的聯(lián)立求解問(wèn)題對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)是難度比較大的問(wèn)題，碰撞前后的條件也是比較容易忽略和難以判斷的問(wèn)題。但不管有多復(fù)雜，只要抓住其特點(diǎn)并能靈活運(yùn)用就能將很多問(wèn)題簡(jiǎn)化，做到隨機(jī)應(yīng)變。

1 彈性碰撞問(wèn)題的求解

■

圖1 m1與m2發(fā)生彈性碰撞

如圖1所示，考慮兩個(gè)剛性小球，質(zhì)量分別為m1與m2，碰撞前的速度分別為v1與v2，碰撞后的速度分別為v'1與v'2，根據(jù)動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒可列出方程如下：

m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2（1）

■m1v■■+■m2v■■=■m1v■■+■m2v■■（2）

這兩個(gè)方程若直接帶入求解會(huì)非常的困難，可將其作如下變形：

m1（v1-v'1）=m2（v'2-v2）（3）

m1（v1-v'1）（v1+v'1）=m2（v'2-v2）（v'2+v2）（4）

然后把（3）代入（4）中可求解得：

v'1=■（5）

此時(shí)，v'2根本不需要再求，因?yàn)閮蓚€(gè)小球是完全相同的，沒(méi)有任何一個(gè)是特殊的，故v'2與v'1沒(méi)有任何區(qū)別，只需將“1”與“2”交換，即：

v'2=■（6）

由于求解的困難，一般不建議學(xué)生在考試時(shí)臨時(shí)去求解，而是記住結(jié)果。但記結(jié)果也是有技巧的，其實(shí)所有彈性碰撞的求解只需要記住公式（5），其他的結(jié)果可完全由公式（5）變換出來(lái)，例如：

情形1：v1與v2同向，則將（5）式中的“1”與“2”交換可得：

v'1=■（7）

v'2=■（8）

情形2：v1與v2反向，則將（7）（8）式中的v2寫(xiě)成負(fù)值可得：

v'1=■（9）

v'2=■（10）

情形3：v1不為零而v2等于零，則將（7）（8）式中的v2取為零可得：

v'1=■（11）

v'2=■（12）

例1 （2010全國(guó)）小球A和B的質(zhì)量分別為mA和mB，且 mA >mB，在某高度處將A和B先后從靜止釋放，小球A與水平面碰撞后向上彈回，在釋放處下方與釋放處距離為H的地方恰好與正在下落的小球B發(fā)生正碰，設(shè)所有碰撞都是彈性的，碰撞時(shí)間極短，求小球A、B碰撞后B上升的最大高度。

解析 由題目知A、B兩球碰前速度等大反向，設(shè)碰前速度為v0，碰后速度為v'A與v'B，則根據(jù)碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒有

mAv0+mB（-v0）=mAv'A+mBv'B（13）

■mAv■■+■mBv■■=■mAv■■+■mBv■■（14）

（13）（14）式的解法屬“情形2”，故由公式（10）可得

v'B=■（15）

再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律相關(guān)知識(shí)2gH=v■■與2gh=v■■，可解得h= （■）2H。

例2 （2007全國(guó)）用放射源釙的α射線轟擊鈹時(shí)，能發(fā)射出一種穿透力極強(qiáng)的中性射線，這就是所謂鈹“輻射”。1932年，查德威克用鈹“輻射”分別照射（轟擊）氫和氮（它們可視為處于靜止?fàn)顟B(tài)），測(cè)得照射后沿鈹“輻射”方向高速運(yùn)動(dòng)的氫核和氮核的速度之比為7。查德威克假設(shè)鈹“輻射”是由一種質(zhì)量不為零的中性粒子構(gòu)成的，從而通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)在歷史上首次發(fā)現(xiàn)了中子。假設(shè)鈹“輻射”中的中性粒子與氫核或氮核發(fā)生彈性正碰，試在不考慮相對(duì)論效應(yīng)的條件下計(jì)算構(gòu)成鈹“輻射”的中性粒子的質(zhì)量。（質(zhì)量用原子質(zhì)量單位u表示，1 u等于1個(gè)12C原子質(zhì)量的十二分之一。取氫核和氦核的質(zhì)量分別為1 u和14 u。）

解析 碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒，有：

mv0=mHvH+mv1（16）

■mv■■=■mHv■■+■mv■■（17）

mv0=mNvN+mv2（18）

■mv■■=■mNv■■+■mv■■（19）

■=■（20）

mH=1 u（21）

mN=14 u（22）

（16）（17）與（18）（19）的解法屬“情形3”，由式（12）得：

v'■=■（23）

v'■=■（24）

再由（21）（22）（23）（24）（25）式解得

m=1.2 u。

2 彈性碰撞問(wèn)題的條件

考慮圖1所示的兩個(gè)小球，發(fā)生彈性碰撞，則需要條件①v1>v2；碰后各自做勻速直線運(yùn)動(dòng)且不可能再碰，故需要條件②v'10。

例3 甲、乙兩球在光滑水平軌道上同向運(yùn)動(dòng)，已知它們的動(dòng)量分別是5 kg·m/s和7 kg·m/s，甲追上乙并發(fā)生碰撞，碰撞后乙球的動(dòng)量變?yōu)?0 kg·m/s，則兩球質(zhì)量m甲與m乙的關(guān)系可能是（ ）

A.m甲=m乙 B.2m甲=m乙

C.4m甲=m乙 D.6m甲=m乙

解析 由條件①v1>v2可得m乙>1.4m甲，條件②v'1

例4 在光滑水平面上，有甲、乙兩個(gè)小球向右沿同一直線運(yùn)動(dòng)，取向右為正，兩球的動(dòng)量分別是P甲=5 kg·m/s，P乙=7 kg·m/s，如圖2所示。若能發(fā)生正碰，則碰后兩球的動(dòng)量增量ΔP甲、ΔP乙可能是（ ）

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圖2 碰撞圖

A.ΔP甲=-3 kg·m/s；ΔP乙=3 kg·m/s

B.ΔP甲=3 kg·m/s；ΔP乙=3 kg·m/s

C.ΔP甲=-10 kg·m/s；ΔP乙=10 kg·m/s

D.ΔP甲=3 kg·m/s；ΔP乙=-3 kg·m/s

解析 由條件⑤ΔP1<0和⑥ΔP2>0可排除A、D選項(xiàng)，再由條件④可排除C選項(xiàng)，故選A選項(xiàng)。

綜上所述，只要記住彈性碰撞的求解通式v'1=■以及六個(gè)條件，稍加分析與變化，就能處理各種類(lèi)型的彈性碰撞問(wèn)題。

（欄目編輯 陳 潔）