遞推法在解決高中物理問(wèn)題中的應(yīng)用

陳 燕

（西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)，江蘇 蘇州 215021）

遞推法是一種研究問(wèn)題的基本方法，它是從認(rèn)識(shí)個(gè)別的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物.特別是數(shù)學(xué)遞推法對(duì)人的思辨性思維要求較高，要根據(jù)已有的前提條件，進(jìn)行歸納和邏輯推導(dǎo)，進(jìn)而得到最終的結(jié)論.凡涉及遞推法求解的物理問(wèn)題都具有過(guò)程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過(guò)程均不是原來(lái)的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)，隨著物理過(guò)程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化.

利用遞推法求解物理問(wèn)題基本思路為：先分析某一次物理過(guò)程，得出結(jié)論；再逐個(gè)分析多個(gè)相近的物理過(guò)程，得出結(jié)論；最后利用遞推思想找出任意情況下的通式，歸納出各個(gè)物理量間的關(guān)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法或規(guī)律求解出物理問(wèn)題.

下面筆者通過(guò)近3年來(lái)江蘇高考物理試卷中的幾道題的解法分析，談?wù)勥f推法在高中物理解題中的妙用.

1 研究過(guò)程有規(guī)律重復(fù)時(shí)可使用遞推法

圖1 質(zhì)譜儀工作原理圖

（1）求原本打在MN中點(diǎn)P的離子質(zhì)量m；

（2）為使原本打在P的離子能打在QN區(qū)域，求加速電壓U的調(diào)節(jié)范圍；

（3）為了在QN區(qū)域?qū)⒃敬蛟贛Q區(qū)域的所有離子檢測(cè)完整，求需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù)（取lg2＝0.301，lg3＝0.477，lg5＝0.699）.

解析：（1）離子在電場(chǎng)中加速，有

在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

由（1）、（2）兩式可得

（3）此題作為高考物理試題的最后一道計(jì)算題的最后一小題，讓不少學(xué)生望而生畏.絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)于這一小題，找不到切入的方法.其實(shí)審清題目要求后，我們可以分析出要能在QN檢測(cè)出所有MQ間的離子，則要調(diào)節(jié)電壓變大，使離子半徑增大，打在采集器上的落點(diǎn)向右移，但是打在最右邊的離子不能超出N點(diǎn)，否則就檢測(cè)不到，于是我們可以把MQ區(qū)域分割成很多小區(qū)域，把打在一個(gè)個(gè)小區(qū)域的離子往右側(cè)調(diào)，使它剛好可以打到QN區(qū)域.第1次調(diào)節(jié)到某個(gè)電壓，剛好可以使原本打在Q點(diǎn)的離子打到N點(diǎn)，而原本打在Q1的離子剛好可以打到Q點(diǎn)，第2次調(diào)節(jié)只要使原本打在Q1的離子能打到N點(diǎn)，而原本打在Q2的離子剛好可以打到Q點(diǎn)，則第3次調(diào)節(jié)只要使原本打在Q2的離子能打到N點(diǎn)，而原本打在Q3的離子剛好可以打到Q點(diǎn)，以此類推，如圖2所示，就可以歸納出題目的規(guī)律和特點(diǎn).具體解答如下：

圖2

由（1）式可知，r∝，第1次調(diào)節(jié)電壓到U1，使原本打在區(qū)域Q1Q的離子恰好能打到QN，則原本打在Q點(diǎn)的離子打在N點(diǎn)，滿足

原本打在半徑Q1點(diǎn)（半徑r1）的離子打在Q點(diǎn)，滿足

兩式相比可得Q1處離子運(yùn)動(dòng)半徑為r1＝（5/6）2L.

第2次調(diào)節(jié)電壓到U2，使原本打在區(qū)域Q2Q1的離子恰好能打到QN，則原本打在Q1點(diǎn)［半徑r1＝（5/6）2L］的離子打在N點(diǎn)滿足

原本打在半徑Q2點(diǎn)（半徑r2）的離子打在Q點(diǎn)滿足

兩式相比可得Q2點(diǎn)處離子運(yùn)動(dòng)半徑為r2＝（5/6）3L.

同理可得，第n次調(diào)節(jié)電壓Un，可將打在Qn點(diǎn)（半徑為rn）的離子打在Q點(diǎn)，rn＝（5/6）nL，

此問(wèn)題的分析和研究過(guò)程具有規(guī)律性的重復(fù)，我們只需分析最初幾次規(guī)律，就可以通過(guò)遞推歸納出問(wèn)題要滿足的條件，因此，像這種對(duì)于研究過(guò)程具有規(guī)律性重復(fù)的問(wèn)題我們通常可以使用遞推法解題.

2 運(yùn)動(dòng)過(guò)程有周期性變化時(shí)可使用遞推法

例2.（2014年江蘇高考第14題）某裝置用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，工作原理如圖3所示.裝置的長(zhǎng)為L(zhǎng)，上下兩個(gè)相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向與紙面垂直且相反，兩磁場(chǎng)的間距為d.裝置右端有一收集板，M、N、P為板上的3點(diǎn)，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下磁場(chǎng)的上、下邊界上.在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子以某一速度從裝置左端的中點(diǎn)射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過(guò)上方的磁場(chǎng)區(qū)域一次，恰好到達(dá)P點(diǎn).改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達(dá)收集板上的位置.不計(jì)粒子的重力.

圖3 磁場(chǎng)控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)的工作原理圖

（1）求磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h；

（2）欲使粒子到達(dá)收集板的位置從P點(diǎn)移到N點(diǎn)，求粒子入射速度的最小變化量Δv；

（3）欲使粒子到達(dá)M點(diǎn)，求粒子入射速度大小的可能值.

解析：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為r，根據(jù)題意可得，

（2）設(shè)改變?nèi)肷渌俣群罅Ｗ釉诖艌?chǎng)中的軌道半徑為r′，則

由題意得 3rsin30°＝3r′sin30°，解得

（3）如圖4所示，粒子要能上移到M點(diǎn)，則入射速度要變小，在區(qū)域內(nèi)至少2次通過(guò)上下磁場(chǎng)（若小于2次，則半徑太大，粒子要從磁場(chǎng)的上邊界飛出，脫離區(qū)域運(yùn)動(dòng)），作出運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，可以看出，如果粒子要能到達(dá)M點(diǎn)，可能是通過(guò)2次磁場(chǎng)后到A點(diǎn)時(shí)剛好到達(dá)M點(diǎn)，也可以速度再小，則3次通過(guò)磁場(chǎng)后到C點(diǎn)恰好是到達(dá)M點(diǎn)，以此類推，如果速度更小，還可能4次通過(guò)磁場(chǎng)后到達(dá)M點(diǎn)、5次通過(guò)磁場(chǎng)后通過(guò)M點(diǎn)，粒子在區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)具有周期性變化的規(guī)律.具體解法如下：

圖4

第1種可能是2次通過(guò)磁場(chǎng)后到達(dá)M點(diǎn)，有

L＝4dcos30°＋4rsin30°，

第2種可能是3次通過(guò)磁場(chǎng)后到達(dá)M點(diǎn)，有

L＝6dcos30°＋6rsin30°，

第3種可能是4次通過(guò)磁場(chǎng)后到達(dá)M點(diǎn)，有

L＝8dcos30°＋8rsin30°，

同理可推得第n種可能滿足規(guī)律

L＝（2n＋2）dcos30°＋（2n＋2）rnsin30°.解出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑滿足的條件為

此題最大的特點(diǎn)就是粒子在區(qū)域中運(yùn)動(dòng)具有完美的周期性，我們只要抓住區(qū)域長(zhǎng)度，分析最初幾次能到達(dá)M點(diǎn)滿足的關(guān)系式，就可以遞推出所有可能到達(dá)M點(diǎn)要滿足的條件，因此，像這種對(duì)于物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程具有周期性變化特征的問(wèn)題我們也常常從遞推法入手找規(guī)律.

圖5

（1）求P在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小v0；

（2）求B0應(yīng)滿足的關(guān)系；

圖6

（2）只有當(dāng)t＝2τ時(shí)，P在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)束，再開(kāi)始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，才能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖6所示.

設(shè)P在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T.則由遞推法可知

由勻速圓周運(yùn)動(dòng)有

圖7

此后P的運(yùn)動(dòng)情況與上述運(yùn)動(dòng)完全相同，可以遞推出速度為0的時(shí)刻橫坐標(biāo)x＝0，縱坐標(biāo)由A、B兩種情況，遞推出規(guī)律滿足

代入r1、r2解得

此題的特點(diǎn)就是粒子P運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜，且具有周期性，我們只需要分析出一個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)情況就可以遞推出粒子做周期性運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而尋找到解題的辦法.