許燕頻（福建幼兒師范高等?？茖W(xué)校 人文科學(xué)系，福建 福州350007）

學(xué)科教學(xué)知識（PCK）對師范生教育的啟示
——以小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)為例

許燕頻
（福建幼兒師范高等?？茖W(xué)校 人文科學(xué)系，福建 福州350007）

摘要：學(xué)科教學(xué)知識（PCK）是教師個人教學(xué)經(jīng)驗、學(xué)科內(nèi)容知識和教育學(xué)的特殊整合．小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識（PCK）是由數(shù)學(xué)學(xué)科知識、數(shù)學(xué)課程知識、學(xué)生理解數(shù)學(xué)的知識以及數(shù)學(xué)教學(xué)策略知識重組、整合而成的．在師范生教育中應(yīng)通過提升師范生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的理解水平、拓展師范生對小學(xué)生數(shù)學(xué)理解的認識、發(fā)展師范生對數(shù)學(xué)理解的多元表征能力、建立豐富的PCK資源庫、加強實踐教學(xué)等，幫助師范生建構(gòu)學(xué)科教學(xué)知識（PCK）．

關(guān)鍵詞：學(xué)科教學(xué)知識；數(shù)學(xué)；師范生；教育

師范生的培養(yǎng)和專業(yè)發(fā)展是當(dāng)前國際教師教育的熱點問題，同時也是國內(nèi)高師教育面臨的嚴峻問題，為使師范生具備適應(yīng)新形勢下優(yōu)秀教師的基本素質(zhì)和潛力，許多師范院校在課程設(shè)置上進行了相應(yīng)的改革，在注重對師范生實踐能力培養(yǎng)的同時，也關(guān)注了教師教育類課程與專業(yè)知識類課程之間的平衡．但師范生的諸多表現(xiàn)表明，雖然他們掌握了大量的學(xué)科專業(yè)知識以及教育教學(xué)理論，并具備了教師的一般教學(xué)技能，在上課時卻常常講不到“點子”上．為什么經(jīng)過學(xué)科專業(yè)類課程和教師教育類課程學(xué)習(xí)的師范生依然無法駕馭看似簡單的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容？在師范生教育中，怎樣才能使師范生能拓展和連接專業(yè)類課程知識和教師教育類課程知識以創(chuàng)造“新”的知識去更好地駕馭小學(xué)數(shù)學(xué)課堂？

1　學(xué)科教學(xué)知識的內(nèi)涵

學(xué)科教學(xué)知識（pedagogical content knowledge，簡稱PCK）是美國舒爾曼教授在1986年提出，將其定義為“教師個人教學(xué)經(jīng)驗、學(xué)科內(nèi)容知識和教育學(xué)的特殊整合”．他認為：教師除了應(yīng)具備學(xué)科內(nèi)容知識和一般教學(xué)法知識外，還必須具備另一種能將學(xué)科知識“轉(zhuǎn)化”為學(xué)生有效獲得的學(xué)科教學(xué)智能［1］，也就是所謂的學(xué)科教學(xué)知識（PCK）．

美國學(xué)者P.L格羅斯曼以舒爾曼的研究為基礎(chǔ)，將學(xué)科教學(xué)知識（PCK）的內(nèi)涵分成了四個部分［2］.

（1）學(xué)科的知識：指學(xué)科中最核心、最基本的知識；學(xué)科的思想、方法、精神和態(tài)度等．

（2）課程的知識：作為課程的某一知識在整個學(xué)科體系中的地位和作用以及與之相聯(lián)系的知識之間的聯(lián)系、與兒童生活、經(jīng)驗的聯(lián)系等．

（3）學(xué)生的知識：包括了解學(xué)生的認知基礎(chǔ)、認識方式及差異；知道哪些知識學(xué)生容易理解；哪些問題容易混淆；如何辨析和糾正學(xué)生常見的錯誤．

（4）教學(xué)的知識：指為了達到教學(xué)目標的要求，根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展水平而采取合適表征內(nèi)容的教學(xué)手段和策略的知識．

以上四個部分內(nèi)容不是互相獨立，而是互相嵌套、融為一體的，學(xué)科教學(xué)知識（PCK）是在它們基礎(chǔ)上進行重組、整合而成的一種新的知識，具有實踐性、個體性、情境性等特點．

2　小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識（PCK）結(jié)構(gòu)

根據(jù)P.L格羅斯曼對學(xué)科教學(xué)知識（PCK）內(nèi)涵的解釋，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識（PCK）的結(jié)構(gòu)可用圖1所示．

圖1　小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識（PCK）的結(jié)構(gòu)

2.1關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科知識

數(shù)學(xué)學(xué)科知識是學(xué)科教學(xué)知識（PCK）的基礎(chǔ)和首要核心的成分，主要包括數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)于數(shù)學(xué)認識方法的理解．?dāng)?shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象概括而逐漸形成的科學(xué)語言和工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會科學(xué)中發(fā)揮越來越重要的作用．?dāng)?shù)學(xué)是人類文化的主要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)［3］．因此，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解應(yīng)有以下幾個層面：第一是知識層面的，包括數(shù)學(xué)的概念、公式、定理等，這些是數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科的內(nèi)容體系；第二是思想方法層面的，是使人終身受益的、當(dāng)大部分數(shù)學(xué)知識忘記之后剩下的東西，也就是一個人的思維方式和他的價值取向；第三是文化層面的，數(shù)學(xué)是一種文化，它展示了數(shù)學(xué)除了具體有形的知識（數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法、應(yīng)用等）外，還具有無形的知識（如理性層面、精神層面的內(nèi)容），這些無疑會對學(xué)生理性精神的發(fā)展起到積極的作用．

2.2關(guān)于數(shù)學(xué)課程的知識

小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)課程知識可分為三個層次.第一層次是關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)課程的總體目標和客觀的課程結(jié)構(gòu)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》將義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程知識劃分成“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”四個領(lǐng)域；第二層次是關(guān)于各領(lǐng)域的目標和教科書基本結(jié)構(gòu)的知識；第三層次是關(guān)于特定課題的目標要求和教科書組織的知識．在小學(xué)數(shù)學(xué)教師的課程知識結(jié)構(gòu)中，前一層次對后一層次知識起著指導(dǎo)和定位的作用．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》還強調(diào)了數(shù)學(xué)與社會生活以及其他學(xué)科之間的關(guān)系，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教師的課程知識中還應(yīng)包括特定課題在橫向和縱向組織及結(jié)構(gòu)的知識（如軸對稱和平移的關(guān)系）以及與其他學(xué)科的聯(lián)系等．為適應(yīng)學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的需要，教師還必須具有對小學(xué)數(shù)學(xué)知識進行各種表征的知識，這種表征可以由隱喻、類似、圖解、活動、舉例等組成，這些知識是連接教師的理解與學(xué)生需求的橋梁．

2.3關(guān)于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的知識

學(xué)科教學(xué)知識（PCK）的內(nèi)涵實質(zhì)就是一種“轉(zhuǎn)化”，將學(xué)科知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)的形式，其核心就是“立足學(xué)生立場，實現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化”．為了實現(xiàn)有效地將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以理解的形式，教師必須關(guān)注和呼應(yīng)學(xué)生的思考，知道學(xué)生是如何理解數(shù)學(xué)的．

學(xué)生理解數(shù)學(xué)的知識包括三個方面：其一是對特定的數(shù)學(xué)課題學(xué)生知道了什么，也就是學(xué)生已有的知識和基礎(chǔ)是什么，只有明確了學(xué)生對特定的數(shù)學(xué)課題知道了什么，教師才能設(shè)計出特定課題的邏輯起點，將特定課題與學(xué)生原有知識和經(jīng)驗建立起有意義的聯(lián)系，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解．例如，在五年級學(xué)習(xí)“分數(shù)的意義”內(nèi)容時，學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)是三年級學(xué)習(xí)的“認識幾分之幾”（知道將一個物體進行平均分后，表示其中幾份的數(shù)就是幾分之幾），這是學(xué)生學(xué)習(xí)“分數(shù)的意義”的邏輯起點．其二是學(xué)生對特定數(shù)學(xué)課題的可能的認知途徑，例如，在面對12×4這樣一個算題時，不同的學(xué)生會根據(jù)自己的理解得出了以下不同的算法：（1）12+12+12+12=48；（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48；（3）12×2+12×2=48；（4）6×2×4=6× 8=48；（5）（6+6）×4=6×4+6×4=48；（6）10+10+10+10+2+2+2+2=48；（7）4×10+4×2=40+8=48.只有對學(xué)生可能的認知路徑心中有數(shù)，才能設(shè)計出適合學(xué)生個性發(fā)展的教學(xué)設(shè)計．其三是學(xué)生理解特定的數(shù)學(xué)課題會出現(xiàn)哪些典型的錯誤等．

2.4關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)策略的知識

教學(xué)策略主要是指教學(xué)內(nèi)容的選擇與組織、教學(xué)內(nèi)容的表征與呈現(xiàn)方式、學(xué)生活動的設(shè)計等．選擇什么樣的教學(xué)策略是基于某個特定課題以及教師對這個課題PCK前三個方面的理解．例如，對于“加法交換律”與“平行四邊形面積”這兩個課題，所采用的教學(xué)策略就各不相同．“加法交換律”側(cè)重于讓學(xué)生從特例歸納出運算定律；“平行四邊形面積”則側(cè)重于運用化歸轉(zhuǎn)化的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，利用長方形面積公式推出平行四邊形面積．

選擇數(shù)學(xué)教學(xué)策略應(yīng)遵循以下三條原則：（1）要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，即在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生去揭示數(shù)學(xué)知識的形成過程，感受數(shù)學(xué)知識的發(fā)展方向，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生“再創(chuàng)造”“再發(fā)現(xiàn)”的過程；（2）要為學(xué)生提供一個熟悉的、可接受的情境，以促進學(xué)生對知識的理解；（3）要選擇合理的數(shù)學(xué)表征方式，以突出所教課題內(nèi)容的本質(zhì)屬性，適合學(xué)生的思維特點．

3　學(xué)科教學(xué)知識（PCK）對師范生教育的啟示

學(xué)科教學(xué)知識（PCK）是由學(xué)科知識、課程知識、學(xué)生理解的知識和教學(xué)的知識重組整合而成的，它來源與對數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的理解、對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心理過程的把握以及對實踐的感受和體悟．因此，在師范生教育中必須注意以下幾個方面，才能有效地幫助師范生建構(gòu)學(xué)科教學(xué)知識（PCK）．

3.1提升師范生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的理解水平

數(shù)學(xué)學(xué)科知識是PCK結(jié)構(gòu)的基石，只有把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能獲得對學(xué)科知識的深刻理解．

把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)應(yīng)做到以下幾個方面：一是對數(shù)學(xué)基本概念的理解，數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識體系基本的、重要的組成部分，對數(shù)學(xué)概念的理解包括知道概念的原型、數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)符號以及由此概念構(gòu)建的一個概念體系等．二是對數(shù)學(xué)思想方法的挖掘，數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識一樣是構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線，只不過數(shù)學(xué)知識是一條明線，而數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，與數(shù)學(xué)知識相比，數(shù)學(xué)思想方法具有更高的概括性和包容性，對人的成長和發(fā)展具有更重要的影響．小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思想方法主要有：分類思想、轉(zhuǎn)化思想（或化歸思想）、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應(yīng)思想、函數(shù)思想、方程思想、集合思想、符號化思想、類比思想等．三是對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟，每一學(xué)科都有其獨特的認識世界的角度和思維方式，數(shù)學(xué)思維具有概括性、問題性和相似性等特點［4］，這些特點構(gòu)成了數(shù)學(xué)特有的思維方式，它直接影響著人們掌握和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的廣度和深度．小學(xué)階段主要的思維方式有：比較、分析、類比、抽象、概括、猜想等．四是對數(shù)學(xué)美的鑒賞，數(shù)學(xué)美的核心是簡潔、對稱、奇異、統(tǒng)一等，領(lǐng)悟和欣賞數(shù)學(xué)美是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本成分．五是對數(shù)學(xué)精神的追求，數(shù)學(xué)本身就是一種精神，一種探索精神，正是這種精神，使得人類思維得以應(yīng)用到更完善的程度，也正是由于這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活，努力去理解和控制自然，盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵［5］．

因此，在數(shù)學(xué)專業(yè)類課程的教學(xué)中，要注重科學(xué)主義與人文主義目標的整合，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中了解其背后的精神、思想和方法，感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式［6］；要適時地向?qū)W生滲透一些與所學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，使學(xué)生了解古今中外數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的重大數(shù)學(xué)成果的孕育、發(fā)展和完善的演化過程，從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原始創(chuàng)新的一般規(guī)律和思維方法，感受數(shù)學(xué)中所蘊涵的豐富深邃的哲理思想以及數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的密切聯(lián)系，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)［7］．

3.2拓展師范生對小學(xué)生數(shù)學(xué)理解的認識

基于“學(xué)生立場”進行教學(xué)，按照學(xué)生的心理特點和認知水平及已有的知識經(jīng)驗去審視并組織所教的知識，才能將學(xué)科知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生可學(xué)的形式．要做到基于“學(xué)生立場”進行教學(xué)，就必須對小學(xué)生數(shù)學(xué)理解有深刻的認識，除了要知道小學(xué)生對特定課題知道了什么、可能認識的途徑以及典型的錯誤之外，很重要的一點是要明確產(chǎn)生錯誤的原因，只有這樣才能對學(xué)生進行有效的指導(dǎo)．例如，在學(xué)習(xí)“異分母分數(shù)加法”這一內(nèi)容時，學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤是將分子與分子相加、分母與分母相加．表面上看，學(xué)生是用錯了分數(shù)加法的運算法則，如果僅站在這個角度來看待問題，那么教師就會從分數(shù)加法法則入手，強調(diào)要進行通分化為同分母分數(shù)計算，這樣做的結(jié)果是小學(xué)生只記住了法則，學(xué)會了計算，但沒有理解原因，以后遇到相似的問題可能還會出錯．實際上學(xué)生出現(xiàn)這個錯誤是受到“整數(shù)以及小數(shù)加法”計算方法負遷移的影響，究其深層次的原因是小學(xué)生對整數(shù)、小數(shù)以及同分母分數(shù)加法法則的本質(zhì)（相同計數(shù)單位才能相加）不理解所致．

因此，在課程教學(xué)中，應(yīng)從以往的關(guān)注教師是“如何教”的，轉(zhuǎn)向既關(guān)注教師是“如何教”，又關(guān)注學(xué)生是“如何學(xué)”．可以通過案例教學(xué)的方式，將小學(xué)生可能出現(xiàn)的典型問題呈現(xiàn)給師范生進行討論分析；也可以讓師范生去關(guān)注小學(xué)生的作業(yè)本，通過與小學(xué)生的個別交流，了解其出現(xiàn)錯誤的個體原因，再通過與小學(xué)專家教師的討論，挖掘小學(xué)生出現(xiàn)錯誤的真正共性根源，只有這樣才能做到基于“學(xué)生立場”進行教學(xué)．

3.3發(fā)展師范生對數(shù)學(xué)理解的多元表征能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要整合其對學(xué)科知識的理解以及對小學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的認識，并將它們用一定的方式呈現(xiàn)和表達出來，才有可能被學(xué)生所理解．對同一個數(shù)學(xué)知識，可以有不同的方式進行表征，但不同的表征只提供該知識的某一方面的信息，而且不同的表征對學(xué)生理解數(shù)學(xué)的作用是不相同的．圖形表征給學(xué)生以直觀的映像，便于學(xué)生理解；文字表征突出概念的本質(zhì)屬性，便于學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵；符號表征體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美和抽象性的特征．例如，在學(xué)習(xí)三角形概念時，教材中是以文字的形式給出三角形的概念“三條線段圍成的圖形叫三角形”，這個概念的關(guān)鍵詞是“三條線段”“圍成”，學(xué)生理解的難點是“圍成”，用圖形表征就可以直觀地展示概念的內(nèi)涵（見圖2）．

圖2　用圖形表征直觀地展示三角形的內(nèi)涵

一個合適的教學(xué)表征的使用會直接影響到小學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，在選取用什么方式來表征數(shù)學(xué)時，要考慮到其是否反映了該知識的本質(zhì)屬性和特征，是否遵循了學(xué)生的認知特點．

3.4建立豐富的PCK資源庫，幫助師范生積累學(xué)科教學(xué)知識

在構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)教師PCK的四種知識結(jié)構(gòu)中，師范生最為欠缺的是關(guān)于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識以及對特定課題教學(xué)策略的知識．這兩類知識更多地是來源于實踐經(jīng)驗的積累，因此需要建立PCK資源庫，將優(yōu)秀教師的已經(jīng)被實踐證明對特定課題有效的PCK整理保存下來，提供給師范生，使其經(jīng)過理解、轉(zhuǎn)化后內(nèi)化為個人的知識，幫助師范生積累學(xué)科教學(xué)知識．

3.5加強實踐教學(xué)，在實踐中發(fā)展師范生的學(xué)科教學(xué)知識

學(xué)科教學(xué)知識（PCK）不是一種靜態(tài)的知識，它具有情境性、個體性，是一種在實踐中逐步生成的動態(tài)知識，需要在“實踐——反思——再實踐——再反思”的循環(huán)反復(fù)中［8］，將原有知識進行再造和重組，是從事教學(xué)實踐活動的教師所獨有的．所以，僅憑課堂教學(xué)，師范生是無法形成真正的學(xué)科教學(xué)知識，必須加強實踐，在實踐中發(fā)展師范生的學(xué)科教學(xué)知識．

實踐教學(xué)不僅要注重量的提高（如延長學(xué)生的見習(xí)、實習(xí)時間），更要注重質(zhì)的把控，應(yīng)加強對師范生的見實習(xí)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)師范生圍繞著學(xué)科教學(xué)知識（PCK）在“實踐——反思——討論——再實踐——再反思——再討論”的循環(huán)中建構(gòu)自己的學(xué)科教學(xué)知識（PCK）．

參考文獻：

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［8］湯杰英,周兢,韓春紅.學(xué)科教學(xué)知識構(gòu)成的厘清及對教師教育的啟示［J］.教育科學(xué),2012,28(10):37-42.

（責(zé)任編輯：李婉）

中圖分類號：G620

文獻標識碼：A

文章編號：1007-5348（2015）06-0080-05

［收稿日期］2014-01-20

［基金項目］福建幼兒師范高等?？茖W(xué)校重點課題（FJYGZ-B09）.

［作者簡介］許燕頻（1963－），女，福建福州人，福建幼兒師范高等?？茖W(xué)校人文科學(xué)系副教授，碩士；研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)、小學(xué)數(shù)學(xué)教育.

On Pedagogical Content Knowledge（PCK）on Mathematics Normal Education——A Case Study of Mathematics Course in Elementary Schools

XU Yan-pin
（Department of Humanities,Fujian Infant normal College,Fuzhou 350007,Fujian,China）

Abstract:Pedagogical Content Knowledge（PCK）is a special integration of personal teaching experience, subject content knowledge and pedagogy.The pedagogical content knowledge（PCK）of primary mathematics teacher is res tructuring and integration of knowledge of mathematics,mathematics curriculum knowledge, knowledge of students'understanding of mathematical knowledge and teaching strategies of mathematics.Student of normal school should be adopted to enhance the understanding of mathematical knowledge,to expand the understanding of elementary school students’knowledge of mathematics,to develop the ability of multiple representations for mathematical knowledge,to establish a rich repository of PCK,to strengthen teaching practice, and so on.The aim is to help students of normal school construct pedagogical content knowledge（PCK）.

Key words:PCK;Mathematics;Student of normal school;Education