李婷，馬吉恩，李興林，何詞，方攸同

(1.浙江大學(xué)，杭州 310027；2.杭州軸承試驗(yàn)研究中心有限公司，杭州 310022)

磁流體軸承是20世紀(jì)60年代配合核動(dòng)力技術(shù)而發(fā)展起來(lái)的新型軸承。相比普通滑動(dòng)軸承，磁流體潤(rùn)滑滑動(dòng)軸承以同時(shí)具有流體以及磁性材料相類似特性的磁流體為潤(rùn)滑介質(zhì)，在外加磁場(chǎng)作用下，其流變性與空間形態(tài)能夠被控制，接觸區(qū)的潤(rùn)滑狀態(tài)穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)干摩擦，具有密封性好、端泄少、振動(dòng)低、噪聲小、發(fā)熱少、承載能力大、無(wú)需額外的供油系統(tǒng)等一系列優(yōu)點(diǎn)，尤其適用于某些具有特殊要求的場(chǎng)合，例如密封要求嚴(yán)格，甚至要求零泄漏的工況；無(wú)法提供龐大供油系統(tǒng)的工況等，具有廣闊的應(yīng)用前景[1-6]。

下文基于有限差分法，借助MATLAB軟件求解了穩(wěn)定工況下磁流體潤(rùn)滑滑動(dòng)軸承的潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布，得到了軸頸穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的偏位角，并運(yùn)用解析法對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，從而將差分法求解Reynolds方程的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次積分。對(duì)比2種算法的結(jié)果，驗(yàn)證了解析法簡(jiǎn)化的可行性。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了不同軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑膜承載力分布規(guī)律的影響。

1 磁流體軸承的原理及特點(diǎn)

所謂磁流體潤(rùn)滑滑動(dòng)軸承，就是以加入了磁性固體顆粒的載液(即磁流體)作為潤(rùn)滑介質(zhì)進(jìn)行潤(rùn)滑的軸承。填充間隙的磁流體材料由直徑為納米級(jí)的磁性固體顆粒、基液和表面活性劑組成。由于加入到摩擦副中的磁性固體顆粒大小只有5～10 nm，遠(yuǎn)小于表面粗糙度值，故一般不會(huì)引起磨損[3]。載液在實(shí)現(xiàn)與普通潤(rùn)滑油相同潤(rùn)滑效果的同時(shí)，通過(guò)磁性固體顆?？梢允?jié)櫥瑒┑膽腋》€(wěn)定性得到改善[4-5]。

與傳統(tǒng)軸承相比，該軸承具有以下特性：1)在外加磁場(chǎng)的影響下，磁性固體顆粒表面有特殊液態(tài)膜的保護(hù)，故潤(rùn)滑狀態(tài)更穩(wěn)定，可以防止端泄以及外界污染物進(jìn)入到軸承間隙中，能夠起到自潤(rùn)滑密封的作用，具有良好的密封性能；2)磁流體潤(rùn)滑能夠提供平穩(wěn)的低摩擦潤(rùn)滑，且具有良好的可控性，因而振動(dòng)小;3)磁流體潤(rùn)滑的摩擦因數(shù)小，故發(fā)熱少，可用于高溫、高速工況；4)由于磁場(chǎng)的存在，軸承承載能力更大；5)在強(qiáng)磁場(chǎng)、低偏心情況下甚至能做到零泄漏，減少潤(rùn)滑液端泄的同時(shí)簡(jiǎn)化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，降低了軸承的維護(hù)費(fèi)用，顯著延長(zhǎng)了軸承使用壽命[6-7]。

磁流體潤(rùn)滑滑動(dòng)軸承需要在外加磁場(chǎng)的作用下才能正常工作，一般采用永磁體或直流勵(lì)磁來(lái)激發(fā)磁場(chǎng)。永磁體產(chǎn)生磁場(chǎng)較穩(wěn)定，磁力線形狀規(guī)則，缺點(diǎn)是磁場(chǎng)不能變化；載流導(dǎo)體勵(lì)磁的磁流體軸承，可以改變磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁流體的分布，但不足是存在銅損，二者互有優(yōu)劣[8]。文中主要研究直流勵(lì)磁磁流體軸承，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 直流勵(lì)磁磁流體軸承結(jié)構(gòu)

2 磁流體軸承軸心位置的確定

對(duì)于磁流體滑動(dòng)軸承而言，穩(wěn)定工況下軸頸的旋轉(zhuǎn)會(huì)將潤(rùn)滑油不斷帶入到收斂間隙而產(chǎn)生流體動(dòng)壓潤(rùn)滑，當(dāng)潤(rùn)滑膜應(yīng)力的合力與外部載荷平衡時(shí)，軸頸就停留在某一個(gè)固定位置，在不發(fā)生干摩擦的狀態(tài)下穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)，其平衡位置偏于一側(cè)[9]，如圖2所示。

圖2 軸心位置示意圖

軸頸的平衡位置可以通過(guò)偏位角ψ和偏心率ε來(lái)確定。其中，偏位角ψ為軸頸與軸承連心線 與載荷W作用線之間的夾角。而偏心率ε=e/c，為偏心距e與半徑間隙c=R1-R2的比值。

3 潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布計(jì)算

3.1 數(shù)值計(jì)算方法

對(duì)于不可壓穩(wěn)態(tài)徑向滑動(dòng)軸承，量綱一化的Reynolds方程為[9]

(1)

α=(R2/b)2，

Z=z/b，

式中：H為軸承間隙函數(shù);P為應(yīng)力函數(shù)；μ為磁流體黏度；ω0為軸頸轉(zhuǎn)速；R2為軸頸半徑；b為軸承寬度。

規(guī)定應(yīng)力分布的Reynolds邊界條件為

軸向方向P|Z=±1/2=0，

(2)

圓周方向

(3)

Reynolds邊界方程中規(guī)定了應(yīng)力的起點(diǎn)、終點(diǎn)與終點(diǎn)上的應(yīng)力梯度，將發(fā)散間隙中的油膜應(yīng)力規(guī)定為0，即不考慮油膜破裂或者產(chǎn)生負(fù)壓的情況，滿足了流體不能承受拉力和連續(xù)流動(dòng)的條件，較為合理[9]。

迭代中，對(duì)P<0的節(jié)點(diǎn)令P=0，最終確定潤(rùn)滑膜終點(diǎn)位置。

對(duì)(1)式應(yīng)用等距差分公式得

(4)

此時(shí)的邊界條件為：

2)圓周方向，起始應(yīng)力邊界條件為P1,j=0；終止邊界條件應(yīng)同時(shí)滿足Pi,j=0及 ?P/?θ=0。迭代中，對(duì)Pi,j<0的節(jié)點(diǎn)令Pi,j=0，最終確定潤(rùn)滑膜終點(diǎn)位置。

迭代計(jì)算中，采用松弛法對(duì)各個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力p進(jìn)行修正，潤(rùn)滑膜應(yīng)力P迭代終點(diǎn)為各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力代數(shù)和的變化率不小于精度系數(shù)[ε1]。當(dāng)求出一組符合要求的應(yīng)力分布后，求出軸向力和周向力，對(duì)偏位角和偏心率進(jìn)行迭代，迭代終點(diǎn)為油膜合力F與承載力W的差小于相應(yīng)精度系數(shù)[ε2]。迭代過(guò)程對(duì)應(yīng)公式為

(5)

按照上述理論，運(yùn)用MATLAB軟件編程，計(jì)算軸承寬度b=23 mm、軸頸半徑R2=35.5 mm、半徑間隙c=50 μm、軸頸轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min、偏心率ε=0.5工況下的磁流體軸承潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布、潤(rùn)滑膜厚度分布，結(jié)果如圖3、圖4所示。從而得到軸頸穩(wěn)定時(shí)的偏位角為56°。

圖3 P隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角及軸向長(zhǎng)度的變化規(guī)律

圖4 H隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角以及軸向長(zhǎng)度的變化規(guī)律

利用有限差分法計(jì)算潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布具有很高的精度，能夠準(zhǔn)確地反映潤(rùn)滑膜的應(yīng)力情況。但是該方法計(jì)算量大，耗時(shí)長(zhǎng)，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求高。為此運(yùn)用解析法對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而將差分法求解Reynolds方程的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次積分。

3.2 解析計(jì)算方法

用解析法求解潤(rùn)滑膜應(yīng)力和偏位角，即從無(wú)限寬軸承的應(yīng)力函數(shù)出發(fā)，結(jié)合Reynolds方程和相應(yīng)的邊界條件，采用近似算法得出一定精度范圍內(nèi)的解。

在無(wú)限寬徑向滑動(dòng)軸承中，潤(rùn)滑液在寬度方向不存在流動(dòng)，且沿該方向的應(yīng)力梯度也為0，故Reynolds微分方程可簡(jiǎn)化為[10]

(6)

間隙函數(shù)H與應(yīng)力函數(shù)P在此處僅取決于單一變量θ，故積分后可得常微分方程

(7)

為確定積分常數(shù)C1，假定應(yīng)力分布曲線P(θ)在一定位置H0=H(θ0)處的應(yīng)力梯度為0，即

(8)

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中提到的索氏變換積分得到應(yīng)力函數(shù)為

(10)

對(duì)于有限寬軸承來(lái)說(shuō)，上述解的實(shí)際應(yīng)用會(huì)受到限制，即使降低了精度，也只適用于寬徑比大于4的軸承。常用的辦法是從無(wú)限寬軸承的應(yīng)力函數(shù)出發(fā)，采用近似關(guān)系

(11)

在軸承的中央處，應(yīng)力分布曲線除了具有一個(gè)與寬徑比有關(guān)的降低系數(shù)qB/D外，基本與無(wú)限寬軸承的應(yīng)力分布曲線相似，沿寬度方向則補(bǔ)充一個(gè)拋物線應(yīng)力分布。確定降低系數(shù)q要用到變分學(xué)中最小值原理，即求解Euler方程。這種方法從物理概念上解釋了極值原理，即潤(rùn)滑液在無(wú)壓力下從軸承邊緣流出的流量必定等于被擠壓的體積。

根據(jù)Reynolds邊界條件，在應(yīng)力分布曲線終點(diǎn)θ0和x0處，應(yīng)力及應(yīng)力梯度應(yīng)為0。故可令(10)式中x=x0，整理得

(12)

變換后，可得應(yīng)力曲線終點(diǎn)x0的方程為

ε(sinx0cosx0-x0)+2(sinx0-x0cosx0)=0。

(13)

用MATLAB軟件數(shù)值法求解該超越方程，可求得應(yīng)力終點(diǎn)位置為3.83 rad，即220°。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)

(14)

可得軸承寬度b=23 mm、軸承半徑R=35.5 mm、半徑間隙c=50 μm、軸頸轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min、偏心率ε=0.5工況下磁流體軸承軸頸穩(wěn)定時(shí)的偏位角ψ為1.02 rad(58.3°)。磁流體軸承潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布情況如圖5所示。

圖5 P隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角以及軸向長(zhǎng)度變化圖

對(duì)比2種方法的計(jì)算結(jié)果可知，二者計(jì)算得到的潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布規(guī)律一致，峰值大小相差約6%～7%，偏位角相差約4%，但解析法更為簡(jiǎn)單，計(jì)算量更小，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求不高，用于精度要求不高的場(chǎng)合具有突出優(yōu)勢(shì)。

4 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)潤(rùn)滑膜應(yīng)力和承載力的影響

在上述計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)

(15)

可求得軸承承載能力。為了進(jìn)一步闡明軸承潤(rùn)滑膜承載能力受軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)不同轉(zhuǎn)速、偏心率和間隙比情況下的磁軸承潤(rùn)滑膜應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖6～圖8所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)速下潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布圖

圖6中取偏心率ε=0.5，間隙比λ=1.41‰。由圖可知，當(dāng)軸承偏心率和間隙比保持不變時(shí)，潤(rùn)滑膜應(yīng)力值隨轉(zhuǎn)速的增加而增大，潤(rùn)滑膜應(yīng)力最大值所對(duì)應(yīng)角度不變。圖7中取轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min，間隙比λ=1.41‰?？芍?，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速和間隙比保持不變時(shí)，增大偏心率會(huì)使?jié)櫥?yīng)力值也相應(yīng)增大，且偏心率越大潤(rùn)滑膜應(yīng)力隨軸瓦旋轉(zhuǎn)角的變化率也隨之增大，潤(rùn)滑膜應(yīng)力最大值位置隨偏心率增大逐步向最小膜厚位置靠近。圖8中取轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min，偏心率為ε= 0.5?？梢钥吹?，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速和偏心率保持不變時(shí)，間隙比越小軸承潤(rùn)滑膜應(yīng)力越大，且應(yīng)力最大值位置保持不變。

圖7 不同偏心率下潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布圖

圖8 不同間隙比下潤(rùn)滑膜應(yīng)力分布圖

軸承承載能力隨長(zhǎng)徑比以及間隙比的變化規(guī)律分別如圖9、圖10所示。圖9中取間隙比λ=1.41‰，轉(zhuǎn)速ω= 3 000 r/min?？梢?jiàn)，軸承承載能力隨長(zhǎng)徑比增加而增大，且在ε<0.6的情況下，軸承長(zhǎng)徑比對(duì)其承載能力的影響較小，ε>0.6時(shí)，承載能力隨長(zhǎng)徑比增加而顯著增大。圖10中取長(zhǎng)徑比為0.324，轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min。可以看到，承載能力隨間隙比增加而減小，當(dāng)ε<0.6時(shí)軸承間隙比對(duì)承載能力的影響較小；但當(dāng)ε>0.6時(shí)，承載能力隨間隙比增大而顯著減小。

圖9 承載能力隨長(zhǎng)徑比及偏心率的變化圖

圖10 承載能力隨間隙比及偏心率的變化圖

5 結(jié)論

1)運(yùn)用解析法將差分法求解Reynolds方程的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次積分。二者計(jì)算結(jié)果綜合偏差約為5%。在要求精度不高的前提下，可以使用解析法的結(jié)果作為近似解。潤(rùn)滑膜應(yīng)力的精確解只能使用差分法求解。

2)差分法的計(jì)算量較大，可考慮對(duì)差分法做進(jìn)一步的優(yōu)化。比如對(duì)應(yīng)力峰值附近使用較小的步長(zhǎng)，以提高最小膜厚附近的精度，其余位置使用較大的步長(zhǎng)，以降低計(jì)算量。

3)當(dāng)轉(zhuǎn)速逐漸增大時(shí)，潤(rùn)滑膜應(yīng)力最大值增大速度加快，但其所對(duì)應(yīng)的角度不變。

4)在大偏心率情況下，潤(rùn)滑膜應(yīng)力以及承載能力隨長(zhǎng)徑比增加而增大，隨間隙比的增大而減小，小偏心率情況下長(zhǎng)徑比和間隙比的影響較小。