淺談微分法在機(jī)械工程中的兩個(gè)應(yīng)用

高彥輝,孫澤鵬（河北農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,河北　保定　071001）

淺談微分法在機(jī)械工程中的兩個(gè)應(yīng)用

高彥輝,孫澤鵬
（河北農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,河北保定071001）

摘要：微分學(xué)不僅是理論知識(shí)的基礎(chǔ)理論，而且是解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法。本文論述了利用微分法計(jì)算定位誤差和快速繪制剪力圖及彎矩圖，并且通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了微分法在解決機(jī)械工程中復(fù)雜問(wèn)題的快捷性，拓寬解題思路。

關(guān)鍵詞：微分法；定位誤差；剪力（彎矩）圖

0　引言

微分學(xué)高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，其思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用。在專業(yè)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我體會(huì)到了微分學(xué)在解答一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)會(huì)迎刃而解。其一是在機(jī)床夾具設(shè)計(jì)過(guò)程中需要計(jì)算定位誤差，而對(duì)于包含多誤差因素的復(fù)雜定位方案的定位誤差分析計(jì)算用合成法或者幾何法計(jì)算就會(huì)很繁瑣，以至于無(wú)法計(jì)算出定位誤差，此時(shí)用微分法就會(huì)做到事半功倍；其二是在機(jī)械設(shè)計(jì)過(guò)程中，在對(duì)軸的強(qiáng)度和剛度校核時(shí)，通常要將軸簡(jiǎn)化為梁，畫出剪力圖和彎矩圖，以便快速的找出危險(xiǎn)截面。而在畫剪力圖和彎矩圖時(shí)應(yīng)用微分法就會(huì)簡(jiǎn)化解題步驟，可以在很短的時(shí)間內(nèi)畫出剪力圖和彎矩圖，因此掌握微分學(xué)在其他學(xué)科的運(yùn)用越來(lái)越重要。

1　微分法計(jì)算定位誤差

1.1微分法計(jì)算定位誤差概述

對(duì)于包含多誤差因素的復(fù)雜定位方案的定位誤差分析計(jì)算，如果采用合成法或者幾何法，分析過(guò)程較為繁瑣，若有角度誤差影響時(shí)，分析計(jì)算更加困難。根據(jù)定位誤差的實(shí)質(zhì)，借助尺寸鏈原理，列出工件定位方案中某工序尺寸與相關(guān)的工件本身和夾具定位元件尺寸之間的關(guān)系方程，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行全微分可以獲得定位誤差與各個(gè)誤差因素之間的關(guān)系。

1.2應(yīng)用實(shí)例

工件以外圓柱面在V形塊上定位，如圖1所示，計(jì)算尺寸A的定位誤差。

圖1　微分法計(jì)算尺寸A的定位誤差

分析過(guò)程：尺寸A的工序基準(zhǔn)為外圓的下母線M，可以寫出M點(diǎn)至加工尺寸方向的某固定點(diǎn)（取V形塊兩斜面交點(diǎn)N）的距離

對(duì)上式取全微分，并忽略V形塊的角度誤差（即將α視為常量）得到：

用微小增量代替微分，并將尺寸誤差視為微小增量，可以得到尺寸A的定位誤差為：

式δd,δа中分別為工件外圓直徑公差和V形塊的角度公差，由于實(shí)際中在支承定位的情況下，V形塊的角度誤差可以通過(guò)調(diào)整刀具相對(duì)于夾具的位置來(lái)進(jìn)行補(bǔ)償，因此可以得到用V形塊對(duì)外圓表面定位，當(dāng)工序基準(zhǔn)為外圓下母線時(shí)，在垂直方向上的定位誤差為

2　用微分法直接繪制剪力圖和彎矩圖

2.1彎矩F(x)、Fs(x)和載荷集度q(x)之間的微分關(guān)系

由以上三式可以得出以下推論：

（1）彎矩、剪力圖曲線的斜率依次與剪力Fs、分布載荷q的值一一對(duì)應(yīng)。

在無(wú)分布載荷作用的一段梁上，F(xiàn)s(x)是常數(shù)，剪力圖為水平直線，其斜率為零。當(dāng)Fs(x)＞0時(shí)，彎矩圖為向右上方傾斜的直線，斜率為正；當(dāng)Fs(x)＜0時(shí)，彎矩圖為向右下方傾斜的直線，斜率為負(fù)；當(dāng)Fs(x)=0時(shí)，彎矩圖為一水平直線，斜率為零。

在有均布載荷作用的一段梁上，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。當(dāng)q(x)方向向下時(shí)，剪力圖為向右下方傾斜的直線，斜率為負(fù)，彎矩圖為凹向下的二次拋物線；當(dāng)q(x)方向向上時(shí)，剪力圖為向右上方傾斜的直線，斜率為正，彎矩圖為凹向上的二次拋物線。

（2）在集中力F作用處，剪力有突變，其突變量等于集中力的大小，且剪力圖上數(shù)值的變化方向與集中力的方向一致，彎矩圖斜率有突變，彎矩圖出現(xiàn)尖角，發(fā)生轉(zhuǎn)折。

（3）在集中力偶Me作用處，剪力圖無(wú)變化，彎矩圖有突變，其突變量等于該力偶矩的大小。若Me為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，則彎矩值驟升；Me為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，則彎矩圖驟降。

（4）在分布載荷規(guī)律突變處，剪力圖斜率發(fā)生間斷，出現(xiàn)尖角，而彎矩圖曲率發(fā)生間斷，但斜率連續(xù)。

（5）剪力的極值可能出現(xiàn)在集中力作用處或分布載荷規(guī)律突變處，而彎矩的極值可能出現(xiàn)在剪力為零的截面上，或在集中力、集中力偶作用處。

2.2利用微分關(guān)系直接作剪力圖和彎矩圖的步驟

（1）分別建立梁的受力圖、剪力圖和彎矩圖的直角坐標(biāo)系，規(guī)定X軸向右為正，y軸、Fs軸和M軸向上為正。

（2）畫出受力圖，求約束力，明確力的大小和方向。

（3）根據(jù)載荷和約束力的作用情況，確定控制面。所謂控制面，是指這樣的截面，在任意兩個(gè)控制面之間的剪力和彎矩分別按同樣的規(guī)律變化。例如集中力、集中力偶作用處和分布載荷集度發(fā)生突變處的截面，均為控制面。

（4）利用截面法或者直接求和法，確定控制面兩側(cè)剪力和彎矩的大小，并標(biāo)在剪力圖和彎矩圖上。

（5）利用微分關(guān)系判斷控制面之間的剪力曲線和彎矩曲線的形狀特點(diǎn)和變化趨勢(shì)：直線還是曲線，傾斜方向及凹凸性，兩段曲線連接處是否光滑等。對(duì)于直線，只需以直線連接兩個(gè)控制面的點(diǎn)即可，對(duì)于曲線，則應(yīng)計(jì)算幾個(gè)中間值，再用光滑的曲線連接起來(lái)。

2.3應(yīng)用實(shí)例

一簡(jiǎn)支梁的如圖2所示，其中F1=120kN，F(xiàn)2=60kN，q1=30kN/m，q2=20kn/m，M=80kn?m。作該梁的剪力圖和彎矩圖。

圖2　簡(jiǎn)支梁

圖3　受力圖

圖4　剪力圖

圖5　彎矩圖

分析過(guò)程如下：

（1）求約束反力。取整體為分離體，建立直角坐標(biāo)系，梁的受力如圖3所示。由∑MA=0，∑ME=0求得FA=75kN，F(xiàn)E=25kn。

（2）由圖可知A、B、C、D和E五處截面均為控制面。

（3）確定各控制面兩側(cè)的力和彎矩的大小。

各控制面左側(cè)的剪力和彎矩可通過(guò)直接求和法求得如下：

各控制面右側(cè)的剪力和彎矩可由間接規(guī)律求得如下：

利用微分關(guān)系判斷各控制面之間的剪力和彎矩曲線的形狀，畫剪力圖和彎矩圖。

AB段梁上無(wú)外力作用，故剪力圖為一條水平直線，彎矩圖為向右上方傾斜的直線。BC段也無(wú)外力作用，故剪力圖仍為一條水平線，彎矩圖為向右下方傾斜的直線。CD段有方向向上的均布載荷作用，故剪力圖為向右上方傾斜的直線，彎矩圖為凹向上的二次拋物線。DE段有方向向下的均布載荷作用，故剪力圖為向右下方傾斜的直線，彎矩圖為凹向下的二次拋物線。因此，剪力圖由幾段直線構(gòu)成，依次用直線直接連接表示控制面兩側(cè)剪力大小的點(diǎn)就可以得到剪力圖如圖4所示。對(duì)于彎矩圖，在CD段和DE段均為曲線，因此需要計(jì)算中間值。CD段：由剪力圖可知，在截面F處剪力為零，該處彎矩取得極值，極值為

DE段:由剪力圖可知，在截面G處剪力為零，該處彎矩取得極值，極值為

因此，彎矩圖的AB段和BC段均為直線，用直線連接控制面的點(diǎn)即可，CD段和DE段為曲線，用光滑的曲線連接表示控制面兩側(cè)彎矩大小的點(diǎn)和極值點(diǎn)，便可以得到彎矩圖如圖5所示。

3　結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析可知，用微分法解決復(fù)雜定位誤差計(jì)算時(shí)會(huì)變得很簡(jiǎn)單，并且在繪制復(fù)雜受力梁的剪力圖和彎矩圖時(shí)會(huì)更加簡(jiǎn)便、快捷、有效。因此，我們應(yīng)重視微分法在機(jī)械工程中的應(yīng)用。

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