ArcGIS空間校正對比實驗分析

伍 艷，白 林

(成都理工大學(xué) 數(shù)學(xué)地質(zhì)四川省重點實驗室，四川 成都 610059)

0 引 言

ArcGIS 是目前世界具有代表性的地理信息系統(tǒng)，其空間校正工具被廣泛用于原始數(shù)據(jù)的粗加工、圖形的修正、坐標的簡單轉(zhuǎn)換等.通常采用SHAPE文件格式將地理空間資料以坐標點串的形式存儲起來，幾乎所有的GIS 軟件都支持對它的轉(zhuǎn)換甚至支持對其直接進行讀寫操作，是現(xiàn)今GIS 界的一種標準格式，因此對通用的數(shù)據(jù)格式的校正是十分必要的［1］.

ArcGIS 是目前廣泛用于地質(zhì)數(shù)據(jù)處理的信息系統(tǒng)，其空間校正多用于地圖數(shù)字化，不同紙質(zhì)地圖和影像地圖的數(shù)字化多采用空間校正.空間校正中的射影校正多用于圖像配準［2］，ArcGIS 中的空間校正模塊是多維數(shù)學(xué)模型，可對地質(zhì)圖、紙質(zhì)圖、影像圖進行配準，本研究選用的是二維空間校正模型，從空間校正的通用數(shù)學(xué)理論來比較3 種常用空間校正的特征.

1 空間校正算法模型對比分析

計算機科學(xué)研究的圖像是真實世界(即二維或三維歐氏空間)到像平面的射影變換.如何提取真實世界的信息十分重要.若要在像平面中確定l∞的像，可以將射影變換變成仿射變換，消除射影變換的變形;一旦確認虛圓點，仿射變換就可以恢復(fù)到相似變換，消除仿射變形.對于余下相似變形，需要用真實世界的測量和度量單位消除.3 種變換關(guān)系如圖1所示.

圖1 空間校正關(guān)系圖

E1:射影變換到仿射變換

在射影變換下，無窮遠點可以映射為有限點，因此l∞可以被映射為有限直線.在仿射變換下，l∞不會被映射為有限直線，仍留在無窮遠處，即仿射變換保持直線的平行性，推出如下模型［3］，

即仿射變換是保持l∞不變的射影變換，H 是射影變換，A 是射影變換矩陣.

E2:射影變換到相似變換［4］

在相似變換下，l∞上有2 個不動點，為虛圓點(也稱絕對點)，記為I，J，其標準坐標表示為，

這一對虛圓點是復(fù)共軛理想點，在保持相似變換方向不變的情況下，模型如下，

即在射影變換H 下，虛圓點I 和J 為不動點當(dāng)且僅當(dāng)H 為相似變換.

E3:仿射變換到相似變換

仿射變換又稱仿射映射，是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換并接上一個平移，變換為另一個向量空間.常用二維數(shù)學(xué)模型為，

式中，a11、a12、a21、a22為4 個基本比例參數(shù)，b1、b2為2 個平移配準參數(shù)，x、y 為原變量，x'、y'是目標值.通常采用的6 參數(shù)模型利用模型計算配準參數(shù)，用最小二乘法達到用多個配準點擬合出最優(yōu)參數(shù)解得目標值.

仿射變換可以簡化為相似變換，即經(jīng)過坐標系的平移、旋轉(zhuǎn)和比例變換實現(xiàn)，其數(shù)學(xué)模型為，

相似變換至少需要2 個定向點，才能求解出4個參數(shù).為了減少誤差影響，探測粗差，應(yīng)選擇m ≥2 個已知點，就會產(chǎn)生不符值.可按最小二乘法求解上式中的系數(shù).

對于仿射變換到相似變換，參數(shù)得到簡化，模型變得更簡單.

綜上所述，射影變換、仿射變換、相似變換滿足一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，并且射影變換是三者中最為復(fù)雜、相對運用最廣的模型.射影校正可以是多維的數(shù)學(xué)模型，其二維數(shù)學(xué)模型為，

式中，a1、b1、d、e 和a2、b2、d、e 為2 組4 個基本比例參數(shù)，c、f 為2 個平移配準參數(shù)，x、y 為原變量，x'、y' 是目標值.射影校正至少需要4 個位移關(guān)聯(lián)才可求得參數(shù).

射影變換可以分解為仿射變換、相似變換、射影變換的組合［5－6］，其方式為，

式中，A = sRK + tvT/v 是非奇異矩陣，K 是滿足detK= 1 的歸一化上三角矩陣.當(dāng)v ≠0，分解成立，取s為正，分解唯一.

矩陣HS、HA、HP分別是相似變換、仿射變換和射影變換.HP移動無窮遠直線，HA改變仿射性質(zhì)，但保持無窮遠直線在無窮遠處.HS是一般相似變換，它不改變仿射及射影性質(zhì)，變換HP屬于透視變換.對射影變換，有2 個約束，就可以消除射影變形，有4個約束消除仿射變形.在二維平面空間校正中，射影變換在4 個約束下，是3 種變換中最佳選擇.

2 實驗分析

本研究選取的實驗數(shù)據(jù)為道路(road)和設(shè)計(design)2 個圖層，將設(shè)計圖層通過空間校正方法校正到道路中去.建立空間校正的鏈接文件，提取需要校正的圖層的校正點坐標位置及目標圖層的校正點坐標位置，形成.txt文本文檔，如圖2 所示.

圖2 原始實驗數(shù)據(jù)

通過運用3 種空間校正的方法依次對原始數(shù)據(jù)圖層進行校正，選擇拐點等標志性位置得出校正結(jié)果如圖3 所示.通過直接比較，無法看出圖形之間的誤差，通過對校正結(jié)果進行誤差分析，得出表1 和表2 的實驗結(jié)果.

圖3 3 種空間變換校正結(jié)果

根據(jù)空間校正3 種數(shù)學(xué)模型，選取4 個位移連接，用最小二乘法進行參數(shù)求解，求得空間校正3 種模型的誤差精度［7］.

表1 參數(shù)誤差精度

坐標校正參數(shù)求解后，在目標圖層上選擇3 個要素點(x'a，y'a)、(x'b，y'b)和(x'c，y'c)分別帶入式(1)、(2)、(3)，可得仿射變換、相似變換、射影變換的坐標值，即(xa，ya)、(xb，yb)和(xc，yc).這樣需要校正的原始圖層校正點就有4 種坐標值，即(x，y)、(xa，ya)、(xb，yb)和(xc，yc).以(x，y)為真值，可以得到仿射變換、相似變換、射影變換的真誤差，分別用△xa、△ya、△xb、△yb和△xc、△yc表示，即△xi= xi－ x(i = a，b，c)，點位誤差為，

得出每次校正中的誤差計算式如式(5)，n 為點的個數(shù)，結(jié)果見表2.

表2 校正精度誤差

通過表1 和表2 的2 組數(shù)據(jù)，繪制空間校正的誤差分布圖，如圖4 所示.

圖4 空間校正誤差分布圖

由圖4 可知，射影變換的誤差走勢趨于平緩，而仿射變換的誤差變化最大，由于選取的是二維笛卡爾坐標系，對于相似變換優(yōu)于仿射變換，選取的校正點多為拐角、折線交點，因此，射影變換優(yōu)于仿射變換和相似變換［8］.

相對于仿射變換，相似變換不會對于軸單獨縮放，對于一般地圖矢量數(shù)據(jù)，采用笛卡爾直角坐標系，因此，對于通用坐標系下，橫縱軸的坐標不會改變，相似變換雖然是仿射變換的特例，卻是在保持要素的相對形狀下，優(yōu)先選擇相似變換.

對于選取的design 圖層到roadcenter 的校正，屬于二維矢量數(shù)據(jù)的校正.選取的點都是折線交點，因此，對于保持變換前后的不連續(xù)性，射影變換的RMS 誤差是最小的.

3 結(jié) 論

地質(zhì)工作中數(shù)據(jù)的后期處理非常重要，尤其數(shù)據(jù)不全紙質(zhì)檔案及圖片影像等，對于空間校正的準確度要求非常高.對此，本研究比較了3 種常用的校正方法，希望能夠?qū)?shù)據(jù)的校正提供更精確的指導(dǎo)，為后續(xù)工作減少誤差.

本研究討論了仿射變換、相似變換、射影變換.從廣義的角度來說，3 種變換方法都是線性變換，只是參數(shù)、精度及適用范圍不同.對于仿射變換，保留原始圖層的平行線、平行線段的長度比、面積比不變.相似變換適用于常用的直角坐標系中變換，保持要素的相對形狀條件下，避免圖層的扭曲.由于二維矢量數(shù)據(jù)的校正，選取的點都是折線交點，對于保持圖層變換前后的不連續(xù)性，射影變換具有優(yōu)勢.

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