徐鋒　王春雨　馬云周

摘 要：本文針對船體曲面的NURBS表達(dá)與設(shè)計進(jìn)行探討分析。

關(guān)鍵詞：船體曲面；NURBS；非均勻

概述：

NURBS是非均勻有理B樣條曲線（Non-Uniform Rational B-Splines）的縮寫，NURBS由Versprille在其博士學(xué)位論文中提出，1991年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）頒布的工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)STEP中，把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。1992年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織又將NURBS納入到規(guī)定獨(dú)立于設(shè)備的交互圖形編程接口的國際標(biāo)準(zhǔn)PHIGS（程序員層次交互圖形系統(tǒng)）中，作為PHIGS Plus的擴(kuò)充部分。Bezier、有理Bezier、均勻B樣條和非均勻B樣條都被統(tǒng)一到NURBS中。此理論如今被廣泛應(yīng)用到船舶設(shè)計領(lǐng)域中。

一、NURBS曲線與曲面的定義

一條k 次NURBS曲線可以表示為一分段有理多項式函數(shù)，其數(shù)學(xué)定義為：

其中di（i=0，1， ，n）是控制頂點(diǎn)；wi（i=0，1，L，n）稱為權(quán)或權(quán)因子（ weights），分別與di（i=0，1， ，n）相聯(lián)系；Ni，k（u）是k次B樣條基函數(shù)，由節(jié)點(diǎn)矢量U=（u0，u1，u2，L，un+k+1）按德布爾遞推公式?jīng)Q定：

這里di，j（i=0，1，L，m；j=0，1，L，n）是控制頂點(diǎn)，呈拓?fù)渚匦侮嚵?，形成一個控制網(wǎng)格；wi，j是與控制頂點(diǎn)di，j相聯(lián)系的權(quán)因子；Ni，k（u）（i=0，1，L，m）和Nj，1（v）（j=0，1， ，n）分別為u向k次和v向1次的規(guī)范B樣條基，分別由u向節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1， ，um+k+1]與v向節(jié)點(diǎn)矢量v=[v0，v1， ，vn+1+1]決定。

在大多數(shù)工程應(yīng)用中，k 、l 取為3，可滿足產(chǎn)品定義的要求。

二、NURBS曲面的反求

2.1NURBS曲線的反求

2.1.1基本原理

由三次NURBS曲線的齊次坐標(biāo)表達(dá)式：

其中：Di（i=0，1， ，n）為NURBS曲線的帶權(quán)控制頂點(diǎn)，即Di=[widi wi]；H{}表示中心投影變換，投影中心取為齊次坐標(biāo)系的原點(diǎn)，即

可知： 一條二維空間中三次NURBS曲線可以看成是三維空間的非有理三次B 樣條曲線 在超平面w=1上的投影，因此，若一條三維空間的 k 次非有理B樣條曲線依次通過點(diǎn)Qj（j=0，1， ，m），則改曲線在超平面w=1上的投影必通過qj（j=0，1， ，m），其中qj是Qj超平面w=1上的投影。也就是說，三維空間中由控制定點(diǎn)Di= [widi wi]=[wixi wiyi wi]（i=0，1， ，m）決定的非有理B樣條曲線在超平面w=1上的投影，正好就是二維平面上以di=[xi yi]（i=0，1，L，n）為控制定點(diǎn)、以wi（i=0，1， ，m）為權(quán)值決定的NURBS曲線。

2.1.2NURBS曲線的反求

為了使一條三次B樣條曲線通過一組數(shù)據(jù)點(diǎn)Qj=[wjqj wj]，反求過程一般地使曲線的首末端點(diǎn)分別與首末數(shù)據(jù)點(diǎn)一致，使曲線的分段連接點(diǎn)分別依次與B樣條曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)，即Qi點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)值u3+j（i=0，1， ，m）。該B樣條插值曲線將有n個控制頂點(diǎn)Di（i=0，1，L，n）與節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1，L，un+3+1]來定義，其中，n=m+3-1，即控制點(diǎn)數(shù)目要比數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目多出3-1=2個，共有m +3個未知頂點(diǎn)。由端點(diǎn)插值要求，應(yīng)取3+1=4重節(jié)點(diǎn)端點(diǎn)的固支條件。取規(guī)范定義域 ，于， 是有u0=u1= =u3=0，un+1=un+2= =un+3+1=1。對數(shù)據(jù)點(diǎn)取規(guī)范積累弦長參數(shù)化得 ，相應(yīng)可確定定義域內(nèi)節(jié)點(diǎn)值u3+i=u%i（i=0，1，L，m），即從u3起的定義域內(nèi)節(jié)點(diǎn)值依次取 起的數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)值，這樣就可由插值條件給出n +1個控制頂點(diǎn)為未知矢量的 m+1 個線性方程：

將曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值依次代入方程（3），應(yīng)滿足插值條件：

共含有m+1=n-1個方程。

將所求的控制頂點(diǎn)Di=（i=0，1， ，m）在超平面w=1上進(jìn)行投影即得S所求NURBS 曲線的控制頂點(diǎn)di=Di（i=0，1， ，n）/w=1。

2.2NURBS曲面的反求

首先根據(jù)給定的型值點(diǎn)qi，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n）沿n向反求NURBS 曲線控制多邊形頂點(diǎn)得到控制點(diǎn)為Di，j（i=0，1，L，m+2，j=0，1，L，n），然后沿v向反求NURBS曲線控制多邊形頂點(diǎn)。則由兩次反求可以得到控制點(diǎn)網(wǎng)格di，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n），由di，j定義的NURBS曲面即插值于原始的型值點(diǎn)qi，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n）。

三、船體曲面造型實例

將di，j（i=0，1，L，m，j=0，1，L，n）、節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢量及權(quán)因子等作為參數(shù)，代入式（2）可以得到所求船體NURBS曲面模型p（u， v） （u， v [0，1]）。

對曲面進(jìn)行三角形劃分，當(dāng)曲面片很小時，各曲面片趨近于平面片，曲面的繪制轉(zhuǎn)化為三角形面片的繪制。對曲面進(jìn)行三角形填充后，經(jīng)過濃淡處理即可得到逼真的各種船體模型。

圖1（a）為根據(jù)上述方法，求得部分船體曲面經(jīng)過三角形細(xì)分后的線框圖，圖1（b）為對三角形面片經(jīng)過濃淡處理后生成的部分船體曲面真實感模型。

四、結(jié)束語

本文對船體造型中NURBS曲面反求的若干問題進(jìn)行了深入分析與研究，實現(xiàn)了復(fù)雜船體曲面的NURBS造型，結(jié)果表明，NURBS方法在形狀定義方面比其他方法具有更強(qiáng)大的功能，且具有局部修改方便、光順性好的優(yōu)點(diǎn)，為復(fù)雜船體曲面的加工奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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