何昊
談數學中的反證法
何 昊
(江蘇省南京市第十三中學鎖金分校)
摘 要:系統地介紹了理論基礎,對反證法的邏輯形式,唯一的負命題,命題,肯定命題三用反證法適用的命題類型進行了詳細討論。
關鍵詞:反證法;否定性;唯一性
在數學的諸多方法中,反證法是一種重要的證明方法,尤其在數學證明中,它是一種間接的證據,被稱為“一個最先進的武器”的數學家.反證法經常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡單地概括為“否定—推理—反駁—肯定”四個步驟.一個數學問題的解決方案,如果你覺得不足或沒有啟動的“條件”,不妨考慮反證法的使用.反證法的應用范圍很廣,比如代數、數論、幾何、組合等方面的應用.
一、反證法的概念及類型
反謂反證法,就是在要證明“若A則B”時,可以先將結論B予以否定,記作,然后從A與出發(fā),經正確的邏輯推理而得到矛盾,從而原命題得證.
反證法大致可分為以下兩種類型:
歸謬法:論題結論的反面只有一種情況,只要把這種情況推翻就達到了目的.
窮舉法:論題結論的反面不止一種情況,要一一駁倒,最后才能肯定原命題結論正確.
二、反證法常用于以下幾種命題的證明
1.存在性命題
例1:證明A,B,C,D,E五數之和等于5,則其中必有一個不小于1.
分析:這個問題似乎很簡單,但直接的證明是不容易的.因此,應用反證法,它可以很容易地證明.
證明:假設A,B,C,D,E都小于1,那么A+B+C+D+E<1×5=5
所以5個數都小于1不成立,故必有一個數不小于1,即原命題是正確的.
2.否定性命題
例2:設平面上有六個圓,每個圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明:平面上任一點都不會同時在這六個圓的內部.
分析:直接證明某點在哪些圓的內部,在哪些圓的外部,有些困難,故最好用反證法來證明.
證明:假設平面內有一點M同時在這六個圓的內部,為了方便,我們把繞M的六個圓心從某個開始按順時針方向分別記為A,B,C,D,E,F,連結MA,MB,MC,MD,ME,MF.
考慮△AMB,M在⊙A內,B在⊙A外,所以有AB>AM,同理,AB>BM,即在△AMB中,AB大于其他兩邊.
由“大邊對大角”知,∠AMB>∠ABM.同理,∠AMB>∠BAM.
所以,3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°,
所以∠AMB>60°.
同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.
所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.
但是,很顯然,這個角圍成了一個周角,它們的和不可能大于360°,出現矛盾.
故而假設不正確,所以原命題成立.
3.唯一性命題
例3:求證方程x=sinx+a(a為常數)的解唯一.
分析:直接解或證明是非常困難的,作為唯一的命題往往采用反證法證明.
所以原方程的解是唯一的.
從上面的例子中,我們可以看到,最大的優(yōu)勢是反證法——超過一個或幾個條件,從相反的結論來看,與一些已知的條件下,原出口的沖突,從而達到負的假設、肯定原命題的目的.從上面,我們應該充分利用反證法,必須正確把握靈活運用“反設”“歸謬”這兩個反證步驟.反設是反證法的第一步,能否正確否定結論,對論證的正確性有著直接的影響.
反證法是很巧妙的,它的應用是很廣泛的,但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法,卻很難回答,這是一個經驗問題.
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