梁翠萍 孫一銘 岳曉峰 董曉云

（河南師范大學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453007）

1 模型假設(shè)

1）月球表面附近沒有大氣，著陸器的動力學(xué)模型中沒有大氣阻力項(xiàng)。

2）軟著陸過程一般在幾百秒的范圍內(nèi)，所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動等因素均忽略不計(jì)，該過程可以在二體模型下描述。

3）主減速發(fā)動機(jī)的推力在主減速階段大小恒定為7500N。

2 模型的建立與求解

2.1 針對著陸準(zhǔn)備軌道近遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置及速度問題模型的建立與求解

2.1.1 模型的建立與求解

近月點(diǎn)速度

由火箭反射及其變軌的理論知識，可知火箭在不同的軌道的重合位置上速度是相等的。同理，位于橢圓準(zhǔn)備軌道上的近月點(diǎn)的速度等于圓周繞月軌道經(jīng)過該點(diǎn)時(shí)的速度。物體做圓周運(yùn)動時(shí)滿足：F向＝m

由分析可知，此時(shí)的向心力只有萬有引力，所以有：F向＝F萬＝G

其中，r為近月點(diǎn)距月心的距離，M為月球的質(zhì)量，m為著陸器的質(zhì)量，G為萬有引力常數(shù)。

2.2 針對嫦娥三號著陸軌道及6個(gè)階段最優(yōu)控制問題模型的建立與求解

2.2.1 主減速階段的著陸軌道及最優(yōu)控制策略的求解

（1）模型建立

這一過程可以在二體模型下描述。其中為σ月球質(zhì)心，x軸方向?yàn)樵滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?，y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉?/p>

其動力學(xué)方程如下：r＝v；θ＝ω；v＝（F/m）sinψ－μ/r2+rω2；

ω=-（（F/m）cosψ+2vω）/r；m=-F/Isp

在上式中r為著陸器與月心距離，v為著陸器徑向速度，θ為著陸器極角，ω為著陸器極角角速度，μ為月球引力常數(shù)，F(xiàn)著陸器制動發(fā)動機(jī)推力，m為著陸器質(zhì)量，ψ為制動發(fā)動機(jī)推力方向角，其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角，Isp為制動發(fā)動機(jī)比沖。

根據(jù)動力下降段的起點(diǎn)位置即近月點(diǎn)的位置可以確定動力學(xué)方程初始條件，如下

其中rp，ra分別為近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的半徑。

終端條件為到達(dá)高度為 3km 的位置，即：rf＝R＋3km；v＝57m/s

其中R為月球半徑。優(yōu)化變量為制動發(fā)動機(jī)推力方向角ψ（t）。優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足初始條件和終端條件的前提下，使著陸過程中燃料消耗最少，即：

（2）模型求解

求解DACA算法應(yīng)用過程的具體步驟如下：

1）設(shè)置初始參數(shù)，包括螞蟻數(shù) num＿ant，循環(huán)次數(shù) num＿clc，揮發(fā)系數(shù)ρ，調(diào)節(jié)系數(shù)，所有路徑信息素量初值τ0，螞蟻初始位置。初始化數(shù)據(jù)如下：rp＝1752.013km，ra＝1837.013km，R＝1737.013km，m0＝2400kg，F(xiàn)＝7500N，Isp＝2940m/s

用函數(shù)逼近法進(jìn)行參數(shù)化的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：前面已經(jīng)說明將軌跡離散化為9段，那么待優(yōu)化參數(shù)共11個(gè)，即10個(gè)推力方向角和1個(gè)終端時(shí)刻tf。在用蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化過程中需要確定這11個(gè)優(yōu)化參數(shù)的搜索范圍。對于10個(gè)方向角，由經(jīng)驗(yàn)可知，推力方向角的變化范圍為：0°＜ψi＜90°，i＝1，2，…，10

對于終端時(shí)刻tf，根據(jù)齊奧爾科夫斯基公式和軟著陸初始條件，可由下式估計(jì)：tf=1-exp（（Vf－V0）/Isp）（Ispm0/F）

式中Vf和V0分別表示著陸器的終端速度和初始速度，經(jīng)計(jì)算確定搜索范圍為：500＜tf＜700

十進(jìn)制蟻群算法中的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：

num＿ant＝1000，num＿clc＝50，K＝5，Q＝0.5，ρ＝0.2，τ0＝5

2）根據(jù)轉(zhuǎn)移概率公式計(jì)算每只螞蟻的轉(zhuǎn)移概率，然后依據(jù)賭輪原則為每只螞蟻選擇下一個(gè)路經(jīng)城市。重復(fù)上述操作直至所有螞蟻均完成一次循環(huán)。

3）將每只螞蟻的路徑解碼為優(yōu)化參數(shù)值，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，找出最好的前10只螞蟻的路徑。然后，計(jì)算依據(jù)信息素更新規(guī)則更新相關(guān)路徑上的信息素。

4）判斷是否滿足終止條件，不滿足則重復(fù)前三步，否則結(jié)束計(jì)算輸出結(jié)果。

根據(jù)算法最終求得終端時(shí)刻tf的最終優(yōu)化值.為：573.13s。并且，嫦娥三號距離月心的距離隨時(shí)間的遞增呈現(xiàn)遞減趨勢（從1772000米降到1752000米），其下降速度也在不斷下降。

（3）結(jié)果分析

1）分析蟻群算法優(yōu)化后的值，可以發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)遞增趨勢，符合現(xiàn)實(shí)，說明模型求解的正確性。

2）探測器距月心的距離隨時(shí)間的變化其下降的速度逐漸遞減，這是因?yàn)樗俣仍诓粩鄿p小，所以距離變化的速度也在不斷的減小,符合實(shí)際。反映該模型結(jié)果的合理性。

3 模型優(yōu)缺點(diǎn)

3.1 優(yōu)點(diǎn)

1）我們的模型具有堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)，很多物理理論能夠簡明的解出所需求得的物理量，能夠快速滿足人們的需求。

2）模型充分考慮了能耗問題，找出了能耗最優(yōu)的方法。

3.2 缺點(diǎn)

1）我們的模型因?yàn)樽非蟾咝В院雎粤艘恍┐我蛩?，模型建立的較為理想化。

2）我們在考慮問題時(shí)將一些次要的階段簡要考慮，沒有詳細(xì)分析次要階段。

［1］段佳佳,徐世杰,朱建豐.基于蟻群算法的月球軟著陸軌跡優(yōu)化[J].宇航學(xué)報(bào),2008,29(2):476-480.

［2］新華網(wǎng).嫦娥三號落月在即解密如何實(shí)現(xiàn)月球軟著陸[OL].http://www.js.xinhuanet.com/2013-12/12/c_118520433.htm，2014-9-15.

［3］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2005:1-200.