◆朱旭春 周 紅
(山東省昌邑市文山中學(xué))
數(shù)學(xué)在我們的日常生活中十分有用。生產(chǎn)實踐中,很多事物情況的描述都可以使用數(shù)學(xué)模型表示。例如,在建筑領(lǐng)域中,電梯使用首先是建造出一個描述實際使用電梯的數(shù)學(xué)模型,然后再設(shè)計相應(yīng)的PLC 程序指令完成這個數(shù)學(xué)模型的要求。高中數(shù)學(xué)在選擇部分出現(xiàn)了“數(shù)列與差分”這個專題,也是我們生活中常常遇到的問題。數(shù)列和差分屬于離散數(shù)學(xué)的一部分,是學(xué)生上大學(xué)之后,開展的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。數(shù)列是通過離散的數(shù)字或是表達式反映數(shù)學(xué)模型。例如,中國福利彩票每期開獎數(shù)據(jù),可以用數(shù)列表示出來,一些彩民就是利用長期數(shù)列查找出其中的一些數(shù)學(xué)模型及其規(guī)律。再如,滬深股票的漲跌數(shù)據(jù),也是可以由一些離散的數(shù)列表示出來,操盤手利用平時的經(jīng)驗,數(shù)據(jù)走向達到一定值時,開始進行運作??傊?,數(shù)列在生活中的應(yīng)用數(shù)不勝數(shù)。差分是對數(shù)列的進一步運算得出的,它實際上也是一種新的數(shù)列,是對原來數(shù)列規(guī)律的一種反應(yīng)。如一個數(shù)列的一階差分數(shù)列是一組常數(shù),則原數(shù)列就是線性函數(shù)列,也就是常說的等差數(shù)列,當(dāng)一個數(shù)列的二階差分數(shù)列中出現(xiàn)了一個大于零的數(shù)時,原數(shù)列表示在坐標軸上的點就是從這個位置開始凹的,反之是開始凸的。
高中數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)就是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,尤其是現(xiàn)在課程改革之后,很多時候?qū)⒋髮W(xué)中的高等數(shù)學(xué)中的基本知識點下放到高中數(shù)學(xué)的選修部分中,這就給高中的教學(xué)工作帶來了不小壓力。導(dǎo)數(shù)、矩陣、布爾代數(shù)、數(shù)列和差分都屬于這種高等數(shù)學(xué)中基本的知識點,現(xiàn)在已經(jīng)是高中數(shù)學(xué)的必修或選修的一部分。數(shù)列和差分是選修的部分,國家的普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)課標對這部分的學(xué)習(xí)不是硬性要求,指出根據(jù)學(xué)校和教師情況逐步開設(shè)這部分內(nèi)容,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,以及學(xué)生以后運用該知識解決問題的能力。
根據(jù)課標要求,數(shù)列和差分的學(xué)習(xí)涉及理解數(shù)列差分的概念;一階、二階差分對數(shù)列的描述含義;差分與數(shù)列的升降、最值、凸凹之間的聯(lián)系;一階線性差分的方程方面內(nèi)容(齊次方程和差分為恒值的情況)。
這部分的教學(xué)主要分為兩大部分:差分概念及與數(shù)列的關(guān)系、差分方程。其總體思路為,從易到難,按照教材的順序,先講差分概念,再說與數(shù)列的關(guān)系,最后談一談差分方程方面的內(nèi)容。講授過程中加強對教材的再次開發(fā),從簡單的事例著手,從學(xué)生感興趣的問題談起,注重學(xué)習(xí)興趣在教學(xué)過程中的作用,同時注重教學(xué)內(nèi)部的邏輯脈絡(luò),注意啟發(fā)式教學(xué)在教學(xué)過程中的應(yīng)用,引導(dǎo)學(xué)生積極思考差分與數(shù)列之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一方面注重教學(xué)內(nèi)容的講解,另一方面加強學(xué)生實際演算能力,可以進一步加強對知識點的掌握和理解。最后是學(xué)習(xí)效果評價,這一部分是選修內(nèi)容,在理解和掌握過程中一些學(xué)生存在難度,尤其是差分方程涉及的內(nèi)容更加困難,所以評價過程以了解知道為主,不需要所有學(xué)生都能掌握運用。
首先,開始講課之前,要求學(xué)生開展預(yù)習(xí),提前一天布置學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)列的有關(guān)概念。如等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項式、數(shù)列和的通項式、系數(shù)矩陣與方程組解的關(guān)系等。預(yù)習(xí)差分的有關(guān)概念。例如,一階差分、二階差分、(非)齊次差分方程、(非)線性差分方程等。
其次,在課堂上,主要分為三塊內(nèi)容——差分概念、與數(shù)列的關(guān)系和差分方程。第一部分,使用生活中的事例引出差分的概念,例如,開車時每小時記錄一下里程表上的公里數(shù),將形成一個數(shù)列,再把這個數(shù)列每一項進一步相減,便是差分,由此引出其理論概念。進一步介紹這一次相減后的差分屬于一階差分,再減一次屬于二階差分,如此下去。這時可以啟發(fā)一下學(xué)生思考,我們的等差數(shù)列的一階差分是什么,從而引出差分與數(shù)列的關(guān)系,例如,一階差分是常數(shù)列,則原數(shù)列就是線性數(shù)列,就是通常所說的等差數(shù)列。進一步啟發(fā)式引導(dǎo)第二部分,差分與數(shù)列的升降、最值、凸凹之間的聯(lián)系。關(guān)于數(shù)列與差分的關(guān)系這部分知識點適合用啟發(fā)式的教學(xué)方法,因為這部分內(nèi)容有一些是前面課程涉及到的,可以前后聯(lián)系,啟發(fā)式教學(xué)可以使得學(xué)生使用聯(lián)系的眼光看問題,對知識有整體的把握。在形成有效的整體感的同時,增加對數(shù)列和差分這部分知識掌握的興趣。第三部分與前兩個部分可能沒有什么表面上的聯(lián)系??梢韵冉榻B一下差分方程的一系列概念,如(非)齊次差分方程、(非)線性差分方程。然后啟發(fā)學(xué)生回想一下系數(shù)矩陣與方程組的關(guān)系,聯(lián)系現(xiàn)在學(xué)習(xí)的差分方程的解,思考兩者之間有什么相似處和不同處。這樣可以同時加深對這兩方面知識的掌握程度。在教學(xué)的過程中,要給足學(xué)生自己獨立思考、自己演算的時間,這樣他們對知識的理解將才有感性認識。同時要尊重學(xué)生的對知識點“質(zhì)疑”,鼓勵學(xué)生將自己的“質(zhì)疑”說出來,因為這種“質(zhì)疑”就是他對這個知識的疑問,可能這也是其他學(xué)生都有的疑問,在教學(xué)的過程中暴露出來之后,教師進行正確地引導(dǎo),可以及時糾正這種對知識點認識的偏差。
最后,布置一定的習(xí)題,鞏固其知識的掌握、糾正一些不正確的觀點,同時教師可以通過習(xí)題找出學(xué)生在哪些知識點上還存在問題,以便以后進一步講解,綜合評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,分析教師的教學(xué)設(shè)計和方法是否存在進一步改善的地方。
數(shù)列和差分是離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念,是大學(xué)課程的一部分,近年來的教育改革,提出了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),大抓素質(zhì)能力養(yǎng)成,所以一些大學(xué)里較為簡單的知識點進一步下放到高中,給學(xué)生提供進一步探究的領(lǐng)域,有效地引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)的積極性和興趣。高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列和差分的內(nèi)容屬于選修部分,同時這一部分內(nèi)容難度還是很大的,對一些有能力的同學(xué)可以做適當(dāng)?shù)囊螅遣荒軐θw學(xué)生提出完全掌握的要求??傊魏螌n}的教學(xué)設(shè)計都是多樣的,本人從自身的經(jīng)驗角度,提出一些關(guān)于數(shù)列和差分專題的教學(xué)設(shè)計,望為他人教學(xué)提供有效參考。
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