毋文峰，宋建社，江克俠，李 浩，楊穎濤

（1．第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安710025；2．武警警官學(xué)院管理科學(xué)與工程系，四川成都610213；3．武警工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710086）

定期檢修多態(tài)退化可修系統(tǒng)的維修更換策略

毋文峰1，2，宋建社1，江克俠3，李 浩2，楊穎濤1

（1．第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安710025；2．武警警官學(xué)院管理科學(xué)與工程系，四川成都610213；3．武警工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710086）

針對(duì)帶定期檢修的多狀態(tài)退化可修系統(tǒng)提出了一種最優(yōu)維修更換策略。假定系統(tǒng)部件有多個(gè)失效狀態(tài)，并在故障時(shí)依概率進(jìn)入其中某個(gè)狀態(tài)，假定系統(tǒng)檢修“修復(fù)如舊”和故障維修“修復(fù)非新”，系統(tǒng)在檢修期間停止工作，檢修不影響系統(tǒng)壽命，系統(tǒng)依概率在工作狀態(tài)、定期檢修狀態(tài)和故障維修狀態(tài)時(shí)達(dá)到系統(tǒng)的有效年齡T，在系統(tǒng)更換策略為其有效年齡T的條件下，取系統(tǒng)經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望效益為目標(biāo)函數(shù)，利用推廣的幾何過程和更新過程理論建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并求出了系統(tǒng)期望效益的解析表達(dá)式，進(jìn)一步利用數(shù)值法或分析法可以求出最優(yōu)維修更換策略T＊。該維修更換策略及其模型對(duì)于工程實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義和參考價(jià)值。

幾何過程；可修系統(tǒng)；定期檢修；多狀態(tài)系統(tǒng)；更換策略；期望效益

0 引 言

單部件可修系統(tǒng)是可靠性理論與應(yīng)用領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題，它的維修更換策略研究具有重要的理論意義和經(jīng)濟(jì)價(jià)值［1］。其中，退化單部件可修系統(tǒng)故障修復(fù)是不能“修復(fù)如新”的，它被文獻(xiàn)［2］描述為一種單調(diào)幾何過程。目前，“修復(fù)非新”退化可修系統(tǒng)是可修系統(tǒng)中的一個(gè)熱門研究課題，文獻(xiàn)［3－9］針對(duì)“修復(fù)非新”退化可修系統(tǒng)進(jìn)行了相關(guān)研究。若單部件退化可修系統(tǒng)中，假設(shè)系統(tǒng)有1個(gè)正常狀態(tài)和K個(gè)失效狀態(tài)，即系統(tǒng)為多狀態(tài)系統(tǒng)，則該系統(tǒng)稱為多態(tài)退化可修系統(tǒng)，文獻(xiàn)［10］提出了推廣的幾何過程，用以研究具有多種失效狀態(tài)的退化可修系統(tǒng)，其他文獻(xiàn)還有［11－16］?？尚尴到y(tǒng)在使用和維護(hù)中，為了避免重大事故和重大損失的發(fā)生，往往還需要考慮定期檢修。定期檢修主要是為了及時(shí)排查系統(tǒng)是否發(fā)生故障，因此它一般可視為“修復(fù)如舊”的。文獻(xiàn)［17］就研究了單部件可修系統(tǒng)的定期檢修問題，它是取系統(tǒng)故障次數(shù)N為更換策略，求出了系統(tǒng)期望效益的解析表達(dá)式，相關(guān)文獻(xiàn)還有文獻(xiàn)［18－19］。

上述文獻(xiàn)中系統(tǒng)更換策略大多是取系統(tǒng)的故障次數(shù)N，并研究系統(tǒng)期望效益的解析表達(dá)式；然而對(duì)于軍用裝備等特殊對(duì)象系統(tǒng)，人們更多關(guān)心在系統(tǒng)壽命T一定的條件下，系統(tǒng)經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望效益是否最大。文獻(xiàn)［3］雖然是以系統(tǒng)的有效年齡T為更換策略來研究，但是它的目標(biāo)函數(shù)是系統(tǒng)經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的平均停機(jī)時(shí)間是否最小，而且它們只是考慮了比較理想、比較簡單的退化可修系統(tǒng)，與實(shí)際系統(tǒng)相差較大。因此，針對(duì)單部件退化可修系統(tǒng)，作者假定定期檢修“修復(fù)如舊”和故障維修“修復(fù)非新”，考慮系統(tǒng)具有多種失效狀態(tài)，系統(tǒng)的更換策略取其有效年齡T，并取系統(tǒng)經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望效益最大為目標(biāo)函數(shù)，利用推廣的幾何過程和更新過程理論研究并確定了最優(yōu)更換策略T＊，推導(dǎo)了該退化可修系統(tǒng)期望效益的解析表達(dá)式。

1 定 義

定義1 假設(shè)ξ，η是2個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)任何實(shí)數(shù)α，有P｛ξ≥α｝＞P｛η≥α｝，則稱ξ隨機(jī)地大于η，記為ξ＞stη。如果ξ隨機(jī)地小于η，記為ξ＜stη。因此，稱一個(gè)隨機(jī)過程｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機(jī)遞增（遞減）的，如果對(duì)所有的n＝1，2，…，滿足Xn＜st（＞st）Xn＋1。

定義2 設(shè)｛ξ（t），t≥0｝是一個(gè)計(jì)數(shù)過程，｛Xn，n＝1，2，…｝為獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量序列，且Xn的分布函數(shù)為Fn（t）＝F（an－1t）（n＝1，2，…；a＞0）。若，且滿足｛ξ（t）≥n｝＝｛Tn＜t｝（t≥0，n＝1，2，…），則稱計(jì)數(shù)過程｛ξ（t），t≥0｝為一個(gè)幾何過程，并稱Tn為第n個(gè)變化時(shí)刻，Xn為第n個(gè)變化間距。若a＞1，則｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機(jī)遞減的；若a＜1，則｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機(jī)遞增的；若a＝1，則｛Xn，n＝1，2，…｝為更新過程。

2 基本假定

假定1 初始時(shí)（即t＝0），系統(tǒng)是全新的；當(dāng)系統(tǒng)有效年齡達(dá)到T時(shí)，用新的同型部件更換系統(tǒng)，并且更換時(shí)間可忽略不計(jì)。

假定2 Tint為連續(xù)2次定期檢修之間時(shí)間間隔。若系統(tǒng)工作時(shí)間達(dá)到Tint而未發(fā)生故障，修理工立即檢修系統(tǒng)，并且檢修“修復(fù)如舊”；若工作時(shí)間未達(dá)到Tint而系統(tǒng)故障，修理工立即維修系統(tǒng)，并且維修是“修復(fù)非新”的；系統(tǒng)在檢修期間停止工作，檢修不影響系統(tǒng)壽命。

假定3 系統(tǒng)具有1個(gè)正常狀態(tài)和K個(gè)失效狀態(tài)，失效狀態(tài)分別記為1，2，…，K，系統(tǒng)隨機(jī)地進(jìn)入其中一個(gè)失效狀態(tài)而發(fā)生故障；K個(gè)失效狀態(tài)的發(fā)生概率分別為r1，r2，…，rK，且r1＋r2＋…＋rK＝1。

假定4 系統(tǒng)從第n－1次故障維修結(jié)束到第n次結(jié)束之間的時(shí)間間隔為其第n個(gè)周期（n＝1，2，…），Xn表示系統(tǒng)第n－1次故障維修后的工作時(shí)間，Yn表示系統(tǒng)第n次故障后的維修時(shí)間，表示系統(tǒng)在第n個(gè)周期中第i次檢修時(shí)間，之間相互獨(dú)立，記系統(tǒng)第n次故障時(shí)刻為tn，故障狀態(tài)為Sn（Sn∈｛1，2，…，K｝，n＝1，2，…）。假設(shè)

式中，lj∈｛1，2，…，K｝（j＝1，2，…，n－1）；a1＞1，a2＞1，…，aK＞1。同樣的，假設(shè)

式中，lj∈｛1，2，…，K｝（j＝1，2，…，n）；0＜b1＜1，0＜b2＜1，…，0＜bK＜1。假設(shè)

式中，lj∈｛1，2，…，K｝（j＝1，2，…，n－1）；0＜c1＜1；0＜c2＜1，…，0＜cK＜1；i＝1，2，…，ηn，ηn為系統(tǒng)在第n個(gè)周期中的檢修次數(shù)。

假定5 變量Xn，Yn，Zin（n＝1，2，…）之間是相互獨(dú)立的。

假定6 系統(tǒng)有效年齡在工作狀態(tài)達(dá)到T的概率為p，在定期檢修狀態(tài)達(dá)到T的概率為q；在維修狀態(tài)達(dá)到T的概率為r，并且p＋q＋r＝1。

假定7 系統(tǒng)工作報(bào)酬率為C1，檢修費(fèi)用率為C2，維修費(fèi)用率為C3，系統(tǒng)每次更換費(fèi)用為C4。

3 模型建立

根據(jù)模型假定，可以得到系統(tǒng)的一個(gè)可能進(jìn)程圖如圖1所示。

設(shè)D（T）為該系統(tǒng)在上述策略T下經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望效益，由更新報(bào)酬定理可得

圖1 系統(tǒng)進(jìn)程圖

在討論模型之前，首先引入幾個(gè)定理。

定理1 對(duì)?t＞0，n＝1，2，…，有

定理1表明，幾何過程｛Xn，n＝1，2，…｝是隨機(jī)遞減的，而幾何過程｛Yn，n＝1，2，…｝和｛，n＝1，2，…｝是隨機(jī)遞增的。證明參見文獻(xiàn)［10］。

證明見文獻(xiàn)［10］。

文獻(xiàn)［17］提出了可修系統(tǒng)定期檢修次數(shù)的概率分布，這里，本文提出推廣幾何過程的檢修次數(shù)概率分布，它適用于處理多失效狀態(tài)的退化可修系統(tǒng)模型。

4.統(tǒng)計(jì)學(xué)處理：采用SPSS 17.0進(jìn)行數(shù)據(jù)的整理和統(tǒng)計(jì)分析。計(jì)量資料用均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差表示，2組之間皮片成活率和平均換藥次數(shù)的比較因?yàn)榉讲畈积R，采用校正t檢驗(yàn)。以P<0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

定理3 設(shè)ηn為系統(tǒng)在第n個(gè)周期中的檢修次數(shù)，則它的概率分布為

式中，m＝0，1，2，…；n＝1，2，…，N，且

證明 根據(jù)假設(shè)以及ηn的定義

由于

且廣義積分

收斂。因此

證畢

設(shè)Zn表示系統(tǒng)在第n個(gè)周期中總的檢修時(shí)間，則

由定理3和條件期望的性質(zhì)有

設(shè)N為系統(tǒng)在［0，T］內(nèi)的故障次數(shù)，它是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量；事件A、B、C分別表示系統(tǒng)處于工作狀態(tài)、定期檢修狀態(tài)、故障維修狀態(tài)時(shí)達(dá)到T。

（1）事件A

若系統(tǒng)處于工作狀態(tài)時(shí)達(dá)到T，則系統(tǒng)正處于第（N＋1）個(gè)周期中，如圖1（a）所示，設(shè)M為系統(tǒng)在第（N＋1）個(gè)周期中的檢修次數(shù)，Tr為系統(tǒng)第（N＋1）個(gè)周期的系統(tǒng)壽命，則

且IA＝p，I為示性函數(shù)。因此，［0，T］內(nèi)的期望效益ER 為

（2）事件B

若系統(tǒng)處于定期檢修狀態(tài)時(shí)達(dá)到T，則系統(tǒng)也正處于第（N＋1）個(gè)周期中，如圖1（b）所示，同樣地，M為系統(tǒng)在第（N＋1）個(gè)周期中的檢修次數(shù)，Tr為系統(tǒng)第（N＋1）個(gè)周期的系統(tǒng)壽命，則

且IB＝q。因此，［0，T］內(nèi)的期望效益ER為

（3）事件C

若系統(tǒng)處于故障維修狀態(tài)時(shí)達(dá)到T，則系統(tǒng)正處于第N個(gè)周期中，如圖1（c）所示，則

且IC＝r。因此，［0，T］內(nèi)的期望效益ER為

因此，系統(tǒng)在策略T下經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的期望效益為

由于

所以

式中

Fn（T），Gn－1（T）和Qn（T）分別為的分布函數(shù)，即

由此可得系統(tǒng)在［0，T］內(nèi)的平均工作時(shí)間為

系統(tǒng)在［0，T］內(nèi)的平均維修時(shí)間為

系統(tǒng)在［0，T］內(nèi)的平均檢修時(shí)間為

綜合上述各式可得

進(jìn)一步，利用數(shù)值法或分析法可以求出最優(yōu)維修更換策略T＊，并使得該系統(tǒng)經(jīng)長期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望效益達(dá)到最大。

由于篇幅限制，關(guān)于模型的數(shù)值仿真實(shí)例不再贅述，另篇再敘。

4 結(jié) 論

本文帶定期檢修的多狀態(tài)退化可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略比較具有普適性和實(shí)用性，它不僅考慮到了退化可修系統(tǒng)的客觀規(guī)律，而且還考慮到了系統(tǒng)有效年齡在工作時(shí)間、定期檢修時(shí)間和故障維修時(shí)間均可達(dá)到的實(shí)際，以及系統(tǒng)具有多個(gè)失效狀態(tài)的情況。本文提出的最優(yōu)更換策略及其模型對(duì)于提高對(duì)象系統(tǒng)可靠性、安全性和經(jīng)濟(jì)效益均具有一定的指導(dǎo)意義和參考價(jià)值。

［1］Cao J H，Cheng K．Reliability in mathematics［M］．Beijing：Science Press，2006．（曹晉華，程侃．可靠性數(shù)學(xué)引論［M］．北京：科學(xué)出版社，2006．）

［2］Lam Y．Geometric processes and replacement problem［J］．ACTA Mathematica Applicatae Sinica，1988，4（4）：366－377．

［3］Jia J S，Liu S F，Shang J L．A study on an optimal maintenance policy based on the effective age of the system［J］．Journal ofHenan Normal University（Natural Science），2005，33（4）：10－12．（賈積身，劉思峰，尚江麗．基于系統(tǒng)有效年齡的最優(yōu)維修策略研究［J］．河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，33（4）：10－12．）

［4］Jia J S，Liu S F，Dang Y G．Study on the optimal replacement policy for a deteriorative repairable system［J］．Systems Engineering－Theory Methodology Applications，2006，15（1）：80－82，89．（賈積身，劉思峰，黨耀國．退化可修系統(tǒng)最優(yōu)更換策略［J］．系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2006，15（1）：80－82，89．）

［5］Jia J S，Wang D S，Duan Z H．Study on the mathematical model under optimal replacement for a deteriorative repairable system［J］．Mathematics in Practice and Theory，2006，36（4）：1－4．（賈積身，王東升，段振輝．退化可修系統(tǒng)最優(yōu)更換數(shù)學(xué)模型研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（4）：1－4．）

［6］Tan L，Chen T，Guo B．Optimal maintenance strategy for the repairable system consisting of one component based on geometric process［J］．System Engineering，2008，26（6）：88－92．（譚林，陳童，郭波．基于幾何過程的單部件可修系統(tǒng)最優(yōu)維修策略［J］．系統(tǒng)工程，2008，26（6）：88－92．）

［7］Lam Y．A geometric process maintenance model and optimal policy［J］．Journal of Quality in Maintenance Engineering，2013，19（1）：50－60．

［8］Yu M M，Tang Y H，F(xiàn)u Y H，et al．A deteriorating repairable system with stochastic lead time and replaceable repair facility［J］．Computers ＆Industrial Engineering，2011，62（2）：609－615．

［9］Xiang Y S，Cassady C R，Pohl E A．Optimal maintenance policies for systems subject to a Markovian operating environment［J］．Computers ＆Industrial Engineering，2011，62（1）：190－197．

［10］Lam Y，Zhang Y L，Zheng Y H．A geometric process equivalent model for a multistate degenerative system［J］．European Journal of Operational Research，2002，142（1）：21－29．

［11］Zhang Y L．An optimal replacement policy for a three－state repairable system with a monotone process model［J］．IEEE Trans．on Reliability，2004，53（4）：452－457．

［12］Zhang Y L，Richard C M，Lam Y，et al．A bivariate optimal replacement policy for a multistate repairable system［J］．Reliability Engineering and System Safety，2007，92（4）：535－542．

［13］Moghaddass R，Zuo M J，Pandey M．Optimal design and maintenance of a repairable multi－state system with standby components［J］．Journal of Statistical Planning and Inference，2012，142（8）：2409－2420．

［14］Cheng G Q，Li L，Tang Y H．Optimal replacement policy for a deteriorating series repairable system with multi－state［J］．Sys－tems Engineering－Theory ＆Practice，2012，32（5）：1118－1123．（成國慶，李玲，唐應(yīng)輝．多態(tài)退化串聯(lián)可修系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換策略［J］．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2012，32（5）：1118－1123．）

［15］Pang Y，Huang H Z，Liu Y，et al．Possibility theory based multi－state system reliability analysis［J］．Journal of Xi’an Jiaotong University，2013，47（3）：75－79．（龐煜，黃洪鐘，劉宇，等．多狀態(tài)系統(tǒng)的可能可靠性分析［J］．西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，47（3）：75－79．）

［16］Wang L H，Yue D Q．On reliability of a multi－state degraded system with minimal repairs and replacement policy［J］．Journal of Southwest China Normal University（Natural Science），2012，37（11）：14－18．（王麗花，岳德權(quán)．帶有小修和更換策略的多狀態(tài)退化系統(tǒng)的可靠性分析［J］．西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，37（11）：14－18．）

［17］Jia J S，Gao J L，Liu S F．Research on replacement model for regular overhauling repairable system［J］．Mathematics in Practice and Theory，2010，40（4）：114－119．（賈積身，高建來，劉思峰．定期檢修可修系統(tǒng)更換模型研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（4）：114－119．）

［18］Hu F，Deng S M．Optimal periodic preventive overhaul policy for degenerate production systems under a free－repair warranty［J］．Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2012，28（1）：63－78．

［19］Wang G J，Zhang Y L．A bivariate optimal replacement policy for a cold standby repairable system with preventive repair［J］．Applied Mathematics and Computation，2011，218（7）：3158－3165．

E－mail：peakxde＠163．com

宋建社（1954－），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)工程、維修信息化。

E－mail：jssong＠pub．xaonline．com

江克俠（1979－），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)工程、量子光學(xué)。

E－mail：jiangkexia＠163．com

李 浩（1984－），男，講師，博士研究生，主要研究方向?yàn)檐娛孪到y(tǒng)建模與優(yōu)化決策。

E－mail：lihao＠163．com

楊穎濤（1980－），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)工程、故障診斷。

E－mail：yangyt＠163．com

Maintenance and replacement policy for a repairable multi－state system with regular preventive repairs

WU Wen－feng1，2，SONG Jian－she1，JIANG Ke－xia3，LI Hao2，YANG Ying－tao1
（1．The Second Artillery Engineering University，Xi’an 710025，China；2．Department of Management Science and Engineering，Officers College of Chinese Armed Police Force，Chengdu 610213，China；3．Department of Physics，Engineering University of Chinese Armed Police Force，Xi’an 710086，China）

To study a deteriorating repairable multi－state system with regular preventive repairs，a new maintenance and replacement policy is proposed．Assume that the component in the system has more than one failure states．The occurrence of a failure state of any one type is mutually exclusive and stochastic．The regular preventive repair is“as good as old”and the repair after the system failure is not“as good as new”．The system is not running during the period of the regular preventive repairs and the effective age of the system is not effected by the regular preventive repairs．The arrival of the effective age of the system is assumed to be mutually stochastic at the working state，the preventive repair state or the maintenance state．Under these assumptions，we consider a replacement policy Tbased on the effective age of the system．By using the generalized geometric process theory and the renewal process theory，the mathematic model is been established and the explicit expression of the long－run expected profit per unit time is derived．The optimal maintenance and replacement policy T＊can be calculated by the computer．Finally，we discuss the results of the model．This model can be used as references to the failure system maintenance and replacement．

geometric process；repairable system；preventive repair；multi－state system；replacement policy；expected profit

TB 114．3

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．15

毋文峰（1978－），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)工程、可靠性維修工程。

1001－506X（2015）06－1319－06

2014－03－14；

2014－10－03；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014－11－19。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141119．2200．004．html

國家自然科學(xué)基金（61132008）資助課題