周　正

(廈門理工學院應用數學學院，福建 廈門 361024)

一類p-Laplace方程的無窮多解

周正

(廈門理工學院應用數學學院，福建 廈門 361024)

p-Laplace方程；Clark定理；變分方法；無窮多解

Clark定理[1]首先被D.C.Clark提出，它是研究臨界點理論的一個重要工具，經常被用于研究帶有對稱性的次線性微分方程.H.P.Heinz隨后給出了另一種形式的Clark定理：

文獻[3]利用定理2，考慮了如下p-Laplace方程：

(1)

定理3假設方程(1)滿足如下條件：

在文獻[4-6]中也有類似p(x)-Laplace方程，其(PS)條件往往由類似Ambroseti-Rabinowitz條件保證，而文獻[3]中的V滿足的條件對緊性有重要影響.注意到：若定理3中的條件(a2)中的M為一常數，比如M=1?L1(RN)，結論還成立嗎？作者因此考慮p>1時一類最特殊情形，即Q(x)=V(x)=1時對應的方程：

(2)

本文通過對f進行某些限制，采用類似文獻[3]的方法，我們得到了如下結果：

定理4假設方程(2)滿足如下條件：

(*) 存在正數δ>0,1≤γ0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f關于u為奇函數,且

1　證明過程

首先定義方程(2)的解：

下面分3步來證明定理4.

(3)

它是如下泛函對應的Euler方程

容易證明Φ∈C1(X,R),Φ為偶泛函,且Φ(0)=0.對于u∈X, 利用f的性質，有

注意到1≤γ

(4)

首先證明I2→0.

(5)

即

(6)

(7)

結合Sobolev不等式有

(8)

由(8)迭代得：

(9)

(10)

[1]CLARK D C.A variant of the Lusternik-Schnirelman theory[J].Indiana Univ Math J，1972，22:65-74.

[2]HEINZ H P.Free Lusternik-Schnirelman theory and the bifurcation diagrams of certain singular nonlinear systems[J].J Diff Eqn,66(1987),263-300.

[3]LIU Z,WANG Z Q.On Clark’s theorem and its applications to partially sublinear problems[J].Ann I H Poincar C AN,2014,108:18-213.

[4]ZHIKOV V V.Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticity theory[J].Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat,1986,50(4):675-710.

[5]ACERBI E,MINGIONE G.Regularity results for stationary electro-rheological fluids[J].Arch Ration Mech Anal,2002,164(3):213-259.

[6]LIU Z,WANG Z Q.Schr?dinger equations with concave and convex nonlin-earities[J].Zangew Math Phys,2005,56:609-629.

(責任編輯曉軍)

Infinitely Many Solutions to a p-Laplace Equation

ZHOU Zheng

(CollageofAppliedMathematics,XiamenUniversityofTechnology,Ximaen361024,China)

p-Laplaceequation;Clarktheorem;variationalmethod;infinitelymanysolutions

2014-11-02

2015-01-21

福建省教育廳科技項目(JA11240)

周正(1980-)，男，講師，博士，研究方向為偏微分方程.E-mail:zhouzhengslx@163.com

O175.29

A

1673-4432(2015)01-0091-04