陸安山

（欽州學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，廣西 欽州535000）

混沌是一種具有初值敏感性、遍歷性等極端復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的確定性系統(tǒng)，因在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、電子信息等方面有巨大的應(yīng)用價(jià)值和潛力，吸引了各領(lǐng)域科學(xué)工作者廣泛研究混沌的建構(gòu)、非線性電路實(shí)現(xiàn)、保密通信、控制同步[1-3]等，并取得了豐碩的成果?；煦绲耐阶?990年Ott、Grobogi和Yorker提出OGY方法[4]，成功控制混沌穩(wěn)定在周期軌道后，Pecora和Corroll首次提出混沌同步[5]的概念，并在實(shí)驗(yàn)室用電路實(shí)現(xiàn)這一同步控制思想，引起人們的廣泛關(guān)注，迅速成為人們研究的熱點(diǎn)之一。研究者按照混沌不同的同步形式如延遲同步、完全同步、廣義同步、投影同步等，提出了如非線性控制、滑?？刂啤⒆赃m應(yīng)控制等多種混沌同步方法[6-8]，混沌現(xiàn)象也開(kāi)始從負(fù)面的作用走上正面利用的道路。文獻(xiàn)[9]提出一個(gè)包含H部件[10]、僅含一個(gè)非線性項(xiàng)的新三維非線性系統(tǒng)（Wu系統(tǒng)），并研究其記憶效應(yīng)和混沌特性。通過(guò)數(shù)值分析和設(shè)計(jì)電路實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證該系統(tǒng)是一個(gè)含廣義記憶元件、單渦卷吸引子，存在分岔、混沌和陣發(fā)混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的混沌系統(tǒng)。該文主要研究在非線性耦合函數(shù)作用下，該系統(tǒng)（Wu系統(tǒng)）的同步以及同步控制器的尋獲問(wèn)題。

1 簡(jiǎn)單憶阻混沌系統(tǒng)

武花干等人在文獻(xiàn)[9]提出一個(gè)含有H部件、僅含一個(gè)非線性項(xiàng)的新三維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其模型如下。

理論分析了該系統(tǒng)的廣義記憶元件特性、混沌動(dòng)力學(xué)行為，并用數(shù)值模擬和電路設(shè)計(jì)手段，相互驗(yàn)證了該系統(tǒng)是一個(gè)含有H部件的簡(jiǎn)單記憶混沌系統(tǒng)。對(duì)不同μ的參數(shù)值有不同的動(dòng)力學(xué)行為，當(dāng)μ≥0.831時(shí)系統(tǒng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài)。系統(tǒng)（1）式狀態(tài)變量x隨參數(shù)μ變化的分岔圖如圖1所示。當(dāng)μ=0.95時(shí)，式（1）的部件H的廣義記憶元件的z（t）h（t）曲線如圖2所示，吸引子yz相圖如圖3所示，時(shí)域波形圖如4所示。

圖1 μ-x分岔圖

圖2 z（t）-h（t）曲線

圖3 y-z曲線

圖4 t-z曲線

研究還表明該簡(jiǎn)單憶阻混沌系統(tǒng)僅存在一個(gè)確定的平衡點(diǎn)，其動(dòng)力學(xué)行為依賴(lài)于可調(diào)參數(shù)μ。μ取不同值時(shí)，系統(tǒng)的行為可由倍周期分岔通向混沌道路，在μ=0.476、0.6、0.856、0.898處，存在陣發(fā)混沌現(xiàn)象。該簡(jiǎn)單憶阻混沌系統(tǒng)（1）存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

2 簡(jiǎn)單憶阻混沌系統(tǒng)的同步

2.1 理論分析

該文用非線性函數(shù)耦合同步法[11-12]進(jìn)行控制同步。設(shè)給定連續(xù)混沌系統(tǒng)為X˙（t）=F（X（t），t），適當(dāng)分離為：

其中X（t）∈Rn是系統(tǒng)的n維狀態(tài)矢量，G（X（t））為X˙（t）的線性部分，且有G（X（t））=AX（t），A為滿秩的常數(shù)矩陣，其特征值的實(shí)部全部為負(fù)。是的非線性部分。同理，可構(gòu)造一個(gè)新的連續(xù)混沌響應(yīng)系統(tǒng)：

Y（t）∈Rn是系統(tǒng)的n維狀態(tài)矢量，則系統(tǒng)（3）和（4）的同步誤差定義為e（t）=Y（t）-X（t），可得=G（Y（t））-G（X（t））。

對(duì)于簡(jiǎn)單憶阻混沌系統(tǒng)（1），驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

響應(yīng)系統(tǒng)為：

設(shè)

可得驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)的誤差函數(shù)為

當(dāng)取非線性控制器為

則

其中滿秩的常數(shù)矩陣為A=則其三個(gè)特征根分別為λ1=-c、λ2=-d、λ3=-1。當(dāng)c＞0、d＞0時(shí)，滿秩矩陣A的三個(gè)特征根均小于零，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)知，誤差系統(tǒng)（9）漸近穩(wěn)定，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（6）和響應(yīng)系統(tǒng)（7）達(dá)到同步。

2.2 數(shù)值仿真

該文用matlab數(shù)學(xué)軟件對(duì)簡(jiǎn)單憶阻混沌系統(tǒng)（1）的誤差系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真研究。取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)為和誤 差 系 統(tǒng) 初 值 分 別 為：x1（0）、y1（0）、z1（0）=-10，x2（0）、y2（0）、z2（0）=10，e1（0）、e2（0）、e3（0）=20，μ=0.95，c=2.5，d=2，則時(shí)間t與驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)變量的變化圖如圖5所示，同步誤差效果如圖6所示?？梢?jiàn)te1=3.426s、te2=2.815s和te3=3.836s時(shí)，誤差e1（t）、e2（t）和e3（t）已穩(wěn)定到零點(diǎn)，驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步。

3 結(jié)語(yǔ)

該文利用非線性函數(shù)耦合混沌同步法，研究簡(jiǎn)單記憶混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題。通過(guò)誤差系統(tǒng)構(gòu)建特征值實(shí)部皆為負(fù)值的常滿秩矩陣，從而求解同步控制器，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單記憶混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步目標(biāo)。該方法使得同步控制器更易于尋獲，理論和數(shù)值分析都驗(yàn)證了該同步方法的正確性，為同步控制器易尋獲性提供了有益的思路。

圖5 時(shí)間與驅(qū)動(dòng)、響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)變量的變化圖

圖6 誤差系統(tǒng)同步響應(yīng)曲線

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