第9講 “動態(tài)幾何問題”復(fù)習(xí)精講

薛鶯 陳鋒

專題精講

幾何動態(tài)問題是以幾何知識和圖形為背景，滲透運動變化的一類幾何問題，它集質(zhì)點的運動、線段的移動、圖形的變化、探究存在性、開放性于一體，集幾何、代數(shù)知識于一體，是數(shù)與形的巧妙結(jié)合.此類問題常常情景新穎、解法靈活、難度大、思考性和挑戰(zhàn)性強，能更好地考查同學(xué)們的綜合能力，近年來備受各地中考命題者的青睞.

解決幾何動態(tài)問題需要建立發(fā)展的動態(tài)觀和特殊的靜態(tài)觀，建立函數(shù)模型或方程模型，用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程.抓住圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”的特征，一方面要注意將運動過程中的各個時刻的圖形分類畫圖，由“靜”變“動”、由“動”變“靜”、“動”“靜”轉(zhuǎn)換：另一方面還要善于抓住在運動過程中某一特殊位置（靜態(tài)）的等量關(guān)系和變量關(guān)系，通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中保留或具有某種不變關(guān)系或特殊關(guān)系以及特定的限制條件.

重點題型例析

一、在靜態(tài)圖形中運用動態(tài)思雒，尋找信息源

例1 如圖1，已知△ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從4、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點JD運動的速度是1 cm/s，點Q運動的速度是2 cm/s，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時問為￡（s），解答下列問題：

反思：運用動態(tài)思維從問題的靜態(tài)信息中找到切入點，學(xué)會“靜中觀動”，“靜中思動”，根據(jù)圖形在運動變化的過程中的特點，適時地引人參數(shù)，則點、線、面的運動變化可通過參數(shù)的變化表現(xiàn)出來，從而使問題得以解決，

二、在動態(tài)幾何問題中捕捉靜態(tài)瞬間，提煉特殊點

例2 （2013.武漢）如圖2，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足A E=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是

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解析：做動態(tài)幾何題要養(yǎng)成的基本習(xí)慣——首先區(qū)分“動”與“不動”.正方形ABCD及對角線BD不動.E、F、G、H四點都動，但AE=DF的關(guān)系不變.再看是否有隱含的“不變”，仔細(xì)觀察圖形特點，憑直觀不難猜想到似乎有AH上BH，暫且以此為目標(biāo)進(jìn)行推理，易證△ABE≌△DCF.△ABC≌△CBC.故∠BAH+∠ABH=∠BCG+∥DCC=∠ BCD=900.則∠A HB=900，猜想正確，進(jìn)而點H運動在以AB為直徑的半圓O上，如圖3，由直觀可知連接OD交半圓于H，，DH1=、/丁-1即為所求的最小值.

反思：由于“動態(tài)”的存在，在明確了動態(tài)全程的基礎(chǔ)上，根據(jù)運動特點和規(guī)律，通過觀察，比較分析圖形，找出圖形特殊的位置關(guān)系，畫出特殊的位置下的圖形后，就將動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化成了靜態(tài)的圖形問題，這樣就可以更直觀地進(jìn)行研究了.解決此類問題關(guān)鍵就是要善于在動態(tài)問題中，捕捉運動中的“靜態(tài)”瞬間，提煉特殊位置的“靜態(tài)”的不變量，從而達(dá)到解題的目的.

三、“以動制動”建立函數(shù)關(guān)系式，確定分界點

例3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OA BC是矩形，點B的坐標(biāo)為（4，3）.平行于對角線AC的直線m從原點D出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線m與矩形OA BC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）.

（1）點A的坐標(biāo)是____ ，點C的坐標(biāo)是____.

（2）當(dāng)t=____秒或____秒時，MN=1Ac.

（3）設(shè)△OMN的面積為Js，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

（4）探求（3）中得到的函數(shù)S有沒有最大值？若有，求出最大值：若沒有，要說明理由.

解析：本題應(yīng)抓住直線在平移過程中保持的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.運用動態(tài)的觀點，將各個時刻的圖形分別畫出來，建立函數(shù)關(guān)系，再設(shè)法分別求解.

（1）應(yīng)依次填（4，0），（0，3）.

（2）應(yīng)依次填2，6.

（3）運用動態(tài)的觀點，將各個時刻的圖形分別畫出來.

反思：“以動制動”就是根據(jù)運動圖形的變化規(guī)律建立不同的函數(shù)關(guān)系，通過研究函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素之間的關(guān)系.分類畫圖的方法在解決此類動態(tài)幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，各個擊破.提煉出不同圖形下的函數(shù)關(guān)系，迅速把握問題實質(zhì)，從而達(dá)到解題的目的.

中考命題預(yù)測.

1.如圖6，已知等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20 cm，AC與MN在同一直線上，開始時點A與點N重合，讓△ABC以每秒2 cm的速度向左運動，最終點A與點M重合，則重疊部分面積y（cm2）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式為____.

2.如圖7，已知OO的半徑為6 cm，射線PM經(jīng)過點O，OP=IO cm，射線PN與OO相切于點Q.A，B兩