張四保，宋愛麗(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什844008)

融數(shù)學(xué)建模思想于數(shù)學(xué)分析教學(xué)的探討*

張四保，宋愛麗
(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什844008)

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)類各專業(yè)的一門主干基礎(chǔ)課程，該課程的教學(xué)存在著一定的難度;將數(shù)學(xué)建模思想與方法融入“數(shù)學(xué)分析”課程的教學(xué)是提高該課程教育教學(xué)質(zhì)量與培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的一條有效途徑，就融數(shù)學(xué)建模思想方法于數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中，提出幾點(diǎn)想法.

數(shù)學(xué)分析;數(shù)學(xué)建模;思想;教學(xué)

“數(shù)學(xué)分析”課程是數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)的一門主干基礎(chǔ)課程.學(xué)好“數(shù)學(xué)分析”課程是學(xué)好其他一些后繼課程如“微分方程”、“復(fù)變函數(shù)”、“實(shí)變函數(shù)”、“泛函分析”與“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”等課程的必備基礎(chǔ).同時(shí)“數(shù)學(xué)分析”課程也是以更高層次、更深入地理解中學(xué)數(shù)學(xué)教材所必需的基礎(chǔ).通過“數(shù)學(xué)分析”課程基本知識(shí)的傳授與相關(guān)習(xí)題、實(shí)例的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的學(xué)風(fēng)，邏輯思維能力，分析和解決問題的能力有進(jìn)一步提高.特別是注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).力爭(zhēng)為把學(xué)生培養(yǎng)成既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、又有科學(xué)創(chuàng)新精神的人才打下良好的基礎(chǔ).因此該課程的教學(xué)好壞在一定程度上關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)與提高.

1　數(shù)學(xué)建模及其思想內(nèi)涵

模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的原型的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.

數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model)是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而做的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu).具體來說，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式.

數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling)簡(jiǎn)單理解就是建立數(shù)學(xué)模型的全過程，也就是在深入調(diào)查研究，了解實(shí)際問題，做出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)，分析其內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，獲得數(shù)學(xué)模型，然后通過求解、計(jì)算得到的模型結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn).數(shù)學(xué)建模的一般步驟如圖1所示，全過程如圖2所示.

圖1　數(shù)學(xué)建模的一般步驟

圖2　數(shù)學(xué)建模的全過程

2　融數(shù)學(xué)建模思想于“數(shù)學(xué)分析”課程中的作用與意義

作為數(shù)學(xué)類最重要的基礎(chǔ)課之一，數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯性和歷史繼承性決定了“數(shù)學(xué)分析”在數(shù)學(xué)科學(xué)中舉足輕重的地位，數(shù)學(xué)的許多新思想，新應(yīng)用都源于這一堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).“數(shù)學(xué)分析”由于對(duì)微積分在理論體系上的嚴(yán)格化和精確化，確立了在數(shù)學(xué)科學(xué)中的基礎(chǔ)地位，并運(yùn)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.同時(shí)，數(shù)學(xué)研究的主體是經(jīng)過抽象后的對(duì)象，數(shù)學(xué)的思考方式有鮮明的特色，包括抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號(hào)運(yùn)算等，這些知識(shí)和能力的培養(yǎng)需要通過系統(tǒng)、扎實(shí)而嚴(yán)格的基礎(chǔ)教育來實(shí)現(xiàn)，“數(shù)學(xué)分析”課程正是其中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié).

“數(shù)學(xué)分析”的教學(xué)存在著諸多問題.例如，對(duì)于剛進(jìn)入大學(xué)的新生，不太適應(yīng)大學(xué)教師的教學(xué)方法與模式;學(xué)生認(rèn)為“數(shù)學(xué)分析”課程過于抽象，與實(shí)際生活距離較遠(yuǎn)，對(duì)該課程缺乏學(xué)習(xí)熱情和動(dòng)力［1］.融數(shù)學(xué)建模思想方法于“數(shù)學(xué)分析”課程的教學(xué)中，配合適量的數(shù)學(xué)模型內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的掌握，提高學(xué)生分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用能力，同時(shí)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與熱情，提高自身素質(zhì)和素養(yǎng).可以起到以下作用:激發(fā)學(xué)生的參與探索的興趣;增強(qiáng)聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與實(shí)際運(yùn)用的能力;促進(jìn)“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)的改革;提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

3　融數(shù)學(xué)建模思想于“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)

“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中要求掌握的很多內(nèi)容可以看作是數(shù)學(xué)建模的模型求解階段，比如函數(shù)的可微性、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的計(jì)算等［2］.因此，在實(shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)適當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)模型的建模全過程來進(jìn)行講解，使學(xué)生了解問題的來龍去脈，逐步的進(jìn)行分析、求解等，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中系統(tǒng)地了解與掌握分析問題、解決問題的思想與方法，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更好的培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

3.1融數(shù)學(xué)建模思想于概念、定義教學(xué)之中

從恰當(dāng)?shù)陌咐幸敫拍钍菍?shù)學(xué)建模思想融入“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)的重要形式［3］.“數(shù)學(xué)分析”課程中有很多非常重要的概念，如函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、重積分、級(jí)數(shù)等，這些概念都是從一些具體問題出發(fā)，抓住其在數(shù)量關(guān)系等方面的共同本質(zhì)和特性而加以概括、抽象出來的.在一些重要概念教學(xué)過程中，對(duì)概念的引入，任課教師要精心設(shè)計(jì)，這樣在知識(shí)傳授過程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想、方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，知曉知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈，使學(xué)生明白那些看似枯燥無味的概念不是頭腦中所固有的，而是有著很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)背景，有其特有的物理原型和表象的.

例如，對(duì)于定積分概念，初學(xué)時(shí)學(xué)生倍感這一概念很抽象.其實(shí)，這一概念是在很多具體原型的基礎(chǔ)之上抽象而得到的，如求曲邊梯形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等.在教學(xué)過程之中可以將求曲邊梯形面積作為原型，借助“不變代變”的思想，通過“分劃→近似→求和→取極限”4個(gè)步驟，最終將無限細(xì)分所得的近似值的極限定義為曲邊梯形面積的值，從而這個(gè)幾何問題得到解決［4］.通過這一數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行教學(xué)，可以使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)并理解這一概念，比把概念用抽象、不易理解的數(shù)學(xué)符號(hào)直接呈現(xiàn)給學(xué)生要生動(dòng)、形象、有趣的多，更容易使學(xué)生記住、理解、掌握知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情勢(shì)必會(huì)更高，可以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

又例如，在講授無窮級(jí)數(shù)這一概念時(shí)，為了引入該概念，任課教師可以介紹“阿基里斯追龜悖論”.對(duì)于該悖論，教師在分析完該悖論的內(nèi)容、產(chǎn)生的原因、哲學(xué)辨析之后，可建立簡(jiǎn)單的模型來解釋，其詳細(xì)過程可參見文獻(xiàn)［5］.芝諾悖論涉及到了無窮項(xiàng)求和，這是學(xué)生先前并未接觸到的，只是熟知有限項(xiàng)求和的相關(guān)內(nèi)容.教師引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)的有限項(xiàng)求和概念，結(jié)合已學(xué)的極限理論，逐漸給出無窮項(xiàng)求和的可能性及基本方法，極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

3.2融數(shù)學(xué)建模思想于定理、結(jié)論教學(xué)之中

“數(shù)學(xué)分析”中有很多較為抽象、不易理解的定理，如何講授這樣的定理，使學(xué)生更容易理解、掌握與靈活運(yùn)用定理解決一些實(shí)際問題，這是教學(xué)過程的一大難點(diǎn)［6］.對(duì)于定理的證明，可將定理的結(jié)論視為是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，將定理的條件視為模型的假設(shè)條件，即可根據(jù)預(yù)先設(shè)置好的問題情景逐步地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，最終建立相應(yīng)的模型.這樣融入數(shù)學(xué)建模思想于教學(xué)的方法，一方面使學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面讓他們體驗(yàn)到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，是培養(yǎng)學(xué)生意識(shí)與創(chuàng)新能力的好途徑.

多年來，在講授數(shù)學(xué)課程的過程中，常常會(huì)遇到學(xué)生提出這樣一個(gè)問題:數(shù)學(xué)知識(shí)究竟有什么用?許多學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識(shí)有用，必須學(xué)好，但在實(shí)際生活中似乎又看不到數(shù)學(xué)有什么用，也不知道怎樣用，在什么時(shí)候用，尤其是數(shù)學(xué)中的定理結(jié)論之類.這樣一來，學(xué)生會(huì)喪失學(xué)習(xí)的興趣.為了提高學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，在一些定理、結(jié)論的教學(xué)過程中，適時(shí)增加一些數(shù)學(xué)模型的實(shí)例.

案例:椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎［7］?

模型的假設(shè):①4條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，4只腳連線呈正方形;②地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;③地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少3只腳同時(shí)著地.

模型的構(gòu)成:利用正方形的對(duì)稱性，以椅腳連線為對(duì)稱，椅腳按O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)示意圖如圖3所示，用θ(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置，4只腳著地表明4個(gè)椅腳與地面的距離為零，其中這4個(gè)距離都是θ的函數(shù).根據(jù)正方形對(duì)稱性，4個(gè)距離中可以進(jìn)行組合，實(shí)際考慮兩個(gè)距離:A，C兩腳與地面距離之和，用f(θ)表示;B，D兩腳與地面距離之和，用g(θ)表示.根據(jù)假設(shè)②可知，f(θ)與g(θ)為連續(xù)函數(shù)，椅子在任意位置至少3只腳著地，于是正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)任意θ，f(θ)，g(θ)中至少一個(gè)為0.這樣，椅子能不能在不平的地面上放穩(wěn)這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型:已知f(θ)與g(θ)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意θ，f(θ)·g(θ)= 0，且g(θ)=0，f(θ)＞0，證明存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.

圖3　椅腳旋轉(zhuǎn)示意圖

模型求解:由連續(xù)函數(shù)的根的存在定理解決此問題.

這樣把理論應(yīng)用到實(shí)踐中去，解決一些實(shí)際問題，可以達(dá)到加深理解，深化、鞏固所學(xué)理論的作用.

3.3融數(shù)學(xué)建模思想于作業(yè)之中

作業(yè)是學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，自覺、有目的地分析問題、解決問題，將學(xué)得的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際的智力活動(dòng)過程，是鞏固新授知識(shí)，形成技能技巧，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生智力的重要途徑，是課堂教學(xué)過程中不可跨越的一環(huán).通過寫作業(yè)可以檢查學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，充分發(fā)揮學(xué)生的智慧和潛力，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.針對(duì)“數(shù)學(xué)分析”理論性較強(qiáng)的特點(diǎn)，有目的讓學(xué)生解決一些實(shí)際問題.只有把理論應(yīng)用到實(shí)踐中去，解決幾個(gè)實(shí)際問題，才能達(dá)到理解、深化、鞏固所學(xué)理論的效果［8］.在“數(shù)學(xué)分析”的習(xí)題課教學(xué)中，教師可根據(jù)實(shí)際情況適時(shí)將教材中的一些純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行改編、加工成一些具有實(shí)際意義的應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析有關(guān)理論知識(shí)以及思想、方法來解決問題.這一過程事實(shí)上就是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過程.通過這樣應(yīng)用題目的解決，使學(xué)生能夠更加深刻地體會(huì)到學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”的樂趣和意義.

4　融數(shù)學(xué)建模思想于“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中應(yīng)注意的問題

融數(shù)學(xué)建模思想于“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中，一定要把握度的問題，在一些問題上不要刻意去追求.由于課時(shí)有限，課堂教學(xué)過程中“插入”內(nèi)容課時(shí)不宜安排過多，否則將會(huì)影響課程教學(xué)計(jì)劃;但又不能“蜻蜓點(diǎn)水”，沒有一定的深度.這就要求教師要充分研究“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)內(nèi)容，精選合適的案例，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的思想，并將之作為“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)的延伸性和推廣性內(nèi)容來講授.在這過程中，需注意以下幾條:注意循序漸進(jìn)性，切記急功近利;案例要精，反映主題;正確處理好與數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)的關(guān)系.

5　結(jié)語

目前，在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽活動(dòng)的影響與推動(dòng)下，“數(shù)學(xué)建?！迸c“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”等課程已是各個(gè)高校高年級(jí)的選修或必修課程.“數(shù)學(xué)分析”是大一年級(jí)的基礎(chǔ)課程之一，融數(shù)學(xué)建模思想、方法于“數(shù)學(xué)分析”課程的教學(xué)中，這對(duì)教育教學(xué)改革具有積極的意義，這將有助于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與能力，逐漸提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)理論與原理解決實(shí)際問題的能力.在具體實(shí)施的過程中，教師應(yīng)處理好教學(xué)內(nèi)容的“嚴(yán)謹(jǐn)性”和“實(shí)用性”的關(guān)系，以促進(jìn)教育教學(xué)改革的持續(xù)良性發(fā)展.

［1］師文英，陳俊敏，高紅亞.關(guān)于數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的幾點(diǎn)思考［J］.教育教學(xué)論壇，2011(27):141-142

［2］徐艷艷，陳廣貴.關(guān)于如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課興趣的幾點(diǎn)思考［J］.高等教育研究，2014，31(1):18-20

［3］李聲鋒，張?jiān)Ｉ?，梅紅.將數(shù)學(xué)建模思想融入“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)的探索與實(shí)踐［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27(7):247-248

［4］王娟，侯玉雙，劉興薇，等.數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科技信息，2013(23):42-44

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［7］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.4版.北京:高等教育出版社，2011

［8］韋程?hào)|，羅雪晴，程艷琴.在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐［J］.高教論壇，2008(3):77-79

Discussion on Infiltrating the Idea of Mathematical Modeling in Mathematical Analysis Teaching

ZHANG Si-bao，SONG Ai-li
Department of Mathematics，Kashgar University，Kashgar 844008，China

Mathematical Analysis is an essential course for themajor ofmathematical science.There are some difficulties in teaching this course.To infiltrate the idea and method ofmathematicalmodeling in the Mathematical Analysis teaching can improve the quality of education and teaching，and it is one of the effectivemethod of training students’innovative and practical ability.This paper proposes some thoughts on the infiltration.

Mathematical Analysis;mathematicalmodeling;idea;teaching

G642;O141

A

1672－058X(2015)09－0098－04

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.023

2014－07－17;

2015－01－15.

喀什師范學(xué)院教研教改重點(diǎn)課題階段性成果(KJGZ1301).

張四保(1978-)，男，江西峽江人，講師，碩士，從事數(shù)論研究.