引力波引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差模擬與分析

童明雷，丁勇恒，趙成仕，高峰，高玉平

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710600；3.中國(guó)科學(xué)院星系宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥230026；4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

引力波引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差模擬與分析

童明雷1，2，3，丁勇恒1，4，趙成仕1，2，高峰1，4，高玉平1，2

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710600；3.中國(guó)科學(xué)院星系宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥230026；4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

為了能將引力波引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差從總的脈沖星計(jì)時(shí)殘差中分離出來(lái)，我們介紹了3種形式的引力波（單一持續(xù)的引力波、單一瞬時(shí)的引力波和隨機(jī)引力波背景）及其對(duì)脈沖星計(jì)時(shí)殘差的影響，并利用脈沖星計(jì)時(shí)處理軟件Tempo2進(jìn)行了模擬，對(duì)模擬得到的這三種引力波源引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差進(jìn)行了分析比較。該工作在脈沖星時(shí)間尺度的建立及其應(yīng)用方面具有參考意義。

脈沖星；引力波；計(jì)時(shí)殘差

0 引言

毫秒脈沖星（自轉(zhuǎn)周期通常小于20 ms）的高度自轉(zhuǎn)穩(wěn)定性使之成為自然界天然的時(shí)鐘，其周期導(dǎo)數(shù)一般為10-20。以脈沖星自轉(zhuǎn)建立的時(shí)間尺度稱為脈沖星時(shí)，而由多顆自轉(zhuǎn)穩(wěn)定、計(jì)時(shí)噪聲小的毫秒脈沖星通過(guò)適當(dāng)?shù)乃惴山⒕C合脈沖星時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)，這是脈沖星計(jì)時(shí)的一個(gè)重要應(yīng)用。所謂脈沖星計(jì)時(shí)就是確定脈沖到達(dá)時(shí)間（TOA）的過(guò)程。由于單脈沖的強(qiáng)度不穩(wěn)定，不適合用來(lái)計(jì)時(shí)，而將幾百到幾千個(gè)單脈沖作周期折疊后平均，可得到穩(wěn)定的積分脈沖輪廓。將觀測(cè)得到的積分脈沖輪廓與標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓作相關(guān)處理，可以確定脈沖到達(dá)時(shí)間（TOA），由觀測(cè)者的參考原子鐘來(lái)記錄，然后經(jīng)過(guò)一系列的鐘差修正轉(zhuǎn)換到地球時(shí)（TT），再經(jīng)過(guò)涉及Roemer延遲、Shapiro延遲、Einstein延遲和大氣延遲等的計(jì)時(shí)模型轉(zhuǎn)換到太陽(yáng)系質(zhì)心坐標(biāo)時(shí)（TCB）。然后將其與脈沖星鐘模型在太陽(yáng)系質(zhì)心（SSB）處預(yù)報(bào)的TCB作差，得到脈沖星計(jì)時(shí)殘差。脈沖星鐘模型用相位可表示為：引起脈沖星計(jì)時(shí)殘差的原因有很多，比如TOA的測(cè)量誤差、脈沖星內(nèi)部的物理過(guò)程引起的計(jì)時(shí)噪聲、星際介質(zhì)的色散、原子鐘鐘差、宇宙中的引力波、地球歷表誤差及計(jì)時(shí)模型誤差等。多顆脈沖星組成計(jì)時(shí)陣（PTA），目前國(guó)際上有澳大利亞的PPTA、歐洲的EPTA以及北美的NANOGrav，這三者聯(lián)合起來(lái)組成了國(guó)際脈沖星計(jì)時(shí)陣IPTA。PTA使脈沖星計(jì)時(shí)得到廣泛的應(yīng)用，例如，可以探測(cè)引力波[1]、測(cè)量太陽(yáng)系行星質(zhì)量[2]、建立脈沖星時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)[3]。未來(lái)通過(guò)太空X射線望遠(yuǎn)鏡對(duì)多顆脈沖星的觀測(cè)，還可以應(yīng)用到深空自主導(dǎo)航領(lǐng)域。

宇宙中的引力波經(jīng)過(guò)脈沖星和地球時(shí)會(huì)產(chǎn)生額外的脈沖星計(jì)時(shí)殘差。若以探測(cè)引力波為目的，引力波就是信號(hào)，可以通過(guò)多顆毫秒脈沖星計(jì)時(shí)殘差的相關(guān)性提取引力波信號(hào)。雖然原子鐘鐘差和地球歷表誤差也會(huì)引起脈沖星計(jì)時(shí)殘差的相關(guān)性，但是與引力波引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差的相關(guān)性還是有區(qū)別的。原子鐘鐘差對(duì)觀測(cè)的所有脈沖星計(jì)時(shí)殘差影響相同，呈單極性；對(duì)于位于空間相同方向的兩顆脈沖星，地球歷表誤差對(duì)其計(jì)時(shí)殘差影響符號(hào)相同，對(duì)位于空間相反方向的兩顆脈沖星，地球歷表誤差對(duì)其計(jì)時(shí)殘差影響符號(hào)相反，大小則與脈沖星的黃緯有關(guān)，呈現(xiàn)偶極性；引力波對(duì)相對(duì)于測(cè)站張角為0°或180°分布的兩顆脈沖星的計(jì)時(shí)殘差影響符號(hào)相同，而對(duì)張角為90°的兩顆脈沖星的計(jì)時(shí)殘差影響符號(hào)相反，呈四極性。但對(duì)于以建立脈沖星時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)為目的，引力波就成了噪聲，很好地認(rèn)識(shí)這種噪聲進(jìn)而找到消除或減弱的方法，便可以提高脈沖時(shí)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)的精度。因此，無(wú)論出于何種目的，分析各種形式的引力波如何影響脈沖星計(jì)時(shí)殘差都是有意義的。本文主要討論3種形式的引力波：?jiǎn)我怀掷m(xù)的引力波、單一瞬時(shí)的引力波和隨機(jī)引力波背景。利用國(guó)際上被廣泛應(yīng)用的脈沖星計(jì)時(shí)處理軟件Tempo2[4-6]，模擬各種形式的引力波，得到不同的計(jì)時(shí)殘差。分析這些計(jì)時(shí)殘差的特征，有利于將引力波的影響納入到脈沖星計(jì)時(shí)模型中去，建立更高精度的脈沖星時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)。Tempo2是較為精確的脈沖星計(jì)時(shí)處理軟件，從TT轉(zhuǎn)換到TCB精度優(yōu)于1 ns。關(guān)于Tempo2的詳細(xì)介紹可參閱文獻(xiàn)[4-6]。由于太陽(yáng)系行星歷表誤差難于建立模型，本文采用JPL公布的DE421，原子時(shí)采用BIPM發(fā)布的TT（2011）。

1 單引力波源引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差

單引力波源分為兩種：一種是單一持續(xù)的引力波源，比如雙致密星的相互繞轉(zhuǎn)；另一種是單一瞬時(shí)的引力波源，比如雙致密星的并合。對(duì)于脈沖星計(jì)時(shí)陣所響應(yīng)的引力波頻率10-9～10-7Hz，致密星須為超大質(zhì)量黑洞，特征質(zhì)量一般為109M⊙，其中M⊙為太陽(yáng)質(zhì)量。下面分別討論這兩種引力波。

1.1單一持續(xù)引力波源

相互繞轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙黑洞在并合前的105～106a，其演化效應(yīng)可忽略，由于輻射周期性的引力波離地球非常遙遠(yuǎn)，例如blazar OJ287，離我們有Gpc之遙，而脈沖星距離地球約Kpc的量級(jí)，因此引力波完全可視為平面波。于是，引力波在橫向無(wú)跡規(guī)范下可寫為[7]

式（11）和（12）中的αp和δp分別是脈沖星的赤經(jīng)和赤緯。下面我們利用Tempo2模擬一個(gè)單一持續(xù)引力波源，其位置為：α=60°,δ=40°，頻率為ν=10-8Hz，幅度為h0=10-13，這里需要說(shuō)明的是，根據(jù)脈沖星計(jì)時(shí)陣對(duì)單引力波的限制，h0不應(yīng)大于1.7× 10-14[11]，但是為了在計(jì)時(shí)殘差中獲得更加清晰的引力波信號(hào)，我們的取值提高了一個(gè)量級(jí)。另外，我們選取噪聲較小的3顆脈沖星：J0437-4715，J1713+0747和J1909-3744。脈沖星的模型參數(shù)取自Parkes望遠(yuǎn)鏡釋放的數(shù)據(jù)“TheParkesPulsarTimingArray（PPTA）DataRelease1”。我們先分別模擬3顆脈沖星的TOA，測(cè)量誤差引起的白噪聲均方根設(shè)定為100 ns，然后加入模擬的引力波作為全局參數(shù)擬合。圖1左列是3顆脈沖星加入引力波后擬合前的計(jì)時(shí)殘差，這里計(jì)時(shí)殘差的單位μs代表微秒。我們可以清楚地看到正弦波信號(hào)，而且不同脈沖星引力波引起的計(jì)時(shí)殘差不同，這是因?yàn)橐Σㄒ鸬挠?jì)時(shí)殘差不但與引力波的幅度有關(guān)，還與引力波與脈沖星的空間位置分布有關(guān)，這一點(diǎn)可以從式（9）中看出。圖1右列是擬合后的殘差，基本是白噪聲，因此如果有如此強(qiáng)的單一持續(xù)引力波，多顆毫秒脈沖星的全局?jǐn)M合很容易檢測(cè)到它。需要指出的是，我們?cè)谏厦娴哪M中沒有考慮“脈沖星項(xiàng)”，因?yàn)門empo2對(duì)引力波信號(hào)作全局?jǐn)M合時(shí)沒有考慮“脈沖星項(xiàng)”，原因是引力波信號(hào)在計(jì)時(shí)殘差中體現(xiàn)的相關(guān)性主要在“地球項(xiàng)”。忽略“脈沖星項(xiàng)”不會(huì)對(duì)結(jié)果造成很大影響。為檢驗(yàn)Tempo2模擬單一持續(xù)引力波源的可靠性，我們將模擬結(jié)果和根據(jù)式（9）解析計(jì)算的結(jié)果做了比較。當(dāng)然，作解析計(jì)算時(shí)我們也忽略掉“脈沖星項(xiàng)”。圖2中的虛線是解析計(jì)算的結(jié)果，數(shù)據(jù)點(diǎn)及誤差棒是模擬的結(jié)果，而實(shí)線是模擬數(shù)據(jù)作的曲線擬合。從圖2中可以看出，解析結(jié)果和模擬結(jié)果在周期上符合得很好，但是在幅度上大約有26%的誤差。

圖1　單一持續(xù)引力波源引起的計(jì)時(shí)殘差

圖2　J0437-4715的模擬結(jié)果與解析計(jì)算比較

1.2單一瞬時(shí)引力波源

超大質(zhì)量雙黑洞由于持續(xù)輻射引力波，使得雙黑洞系統(tǒng)的能量減少，因而繞轉(zhuǎn)周期變得越來(lái)越短，彼此相距越來(lái)越近，最終雙黑洞發(fā)生并合事件，產(chǎn)生幅度巨大的爆發(fā)性引力波。由于這種爆發(fā)性引力波包含非振蕩項(xiàng)，導(dǎo)致了時(shí)空的永久性變形，因此其波形呈現(xiàn)永久性和非振蕩性，通常被稱作引力波“記憶”（GWM）[12]。引力波“記憶”效應(yīng)可瞬間改變脈沖星的視周期，如果被脈沖星計(jì)時(shí)陣同時(shí)監(jiān)測(cè)的話，脈沖星視周期改變依據(jù)脈沖星空間分布呈四極性。需要指出的是，引力波“記憶”與脈沖星中常見的“glicth”現(xiàn)象在脈沖星計(jì)時(shí)數(shù)據(jù)中表現(xiàn)不同，主要有以下幾點(diǎn)區(qū)別：1）“glitch”在改變脈沖星自轉(zhuǎn)頻率ν的同時(shí)，通常會(huì)伴隨頻率一階導(dǎo)數(shù)ν˙的改變，而引力波“記憶”只改變?chǔ)停?）“glitch”在改ν變后，過(guò)一段時(shí)間會(huì)恢復(fù)到原來(lái)的水平，而引力波“記憶”是永久性改變；3）目前的觀測(cè)中除了磁星中觀測(cè)到一個(gè)“anti-glitch”之外，所有的“glitch”只會(huì)增大ν，而引力波“記憶”可能使ν增大也可能使ν減?。?）“glitch”大都發(fā)生在年輕的脈沖星中，在毫秒脈沖星中很少發(fā)生，但引力波“記憶”產(chǎn)生的ν改變?cè)诤撩朊}沖星和正常脈沖星中都會(huì)出現(xiàn)；5）如果是脈沖星計(jì)時(shí)陣觀測(cè)，則引力波“記憶”使得所有脈沖星的ν都發(fā)生改變，而“glitch”屬于脈沖星的獨(dú)立事件，只能在個(gè)別脈沖星中觀測(cè)到。

下面我們討論一下引力波“記憶”如何影響脈沖星計(jì)時(shí)殘差。Favata[13]指出，對(duì)于圓軌道而言，引力波“記憶”只有“+”極化的分量，因此引力波“記憶”可以用一個(gè)階躍函數(shù)表示[14]：

式（15）中，ε=ΔM/M 為貢獻(xiàn)引力波“記憶”效應(yīng)的質(zhì)量比例，約為0.07[13]，μ=m1m2/（m1+m2）為雙黑洞的約化質(zhì)量，Dc為雙黑洞的共動(dòng)距離。則由引力波“記憶”引起的計(jì)時(shí)殘差仍然可以用式（8）計(jì)算。下面我們利用Tempo2模擬。首先設(shè)定一些參數(shù)：hm=10-13，α=60°，δ=40°。同樣選取上面的3顆毫秒脈沖星。圖3給出了自轉(zhuǎn)參數(shù)擬合前（左列）和擬合后（右列）的計(jì)時(shí)殘差。很明顯，3顆星擬合前的計(jì)時(shí)殘差在同一時(shí)間有線性變化，表示改變了視周期，但是改變的方式及大小都與脈沖星的位置分布有關(guān)。

圖3　引力波“記憶”引起的計(jì)時(shí)殘差

2 隨機(jī)引力波背景引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差

隨機(jī)引力波背景的成因主要分為3種：宇宙中多個(gè)雙星系統(tǒng)的繞轉(zhuǎn)和并合形成的隨機(jī)背景、暴漲后期形成的殘余引力波背景以及宇宙弦模型預(yù)言的引力波背景。這3種背景引力波的特征強(qiáng)度譜在脈沖星計(jì)時(shí)陣的響應(yīng)頻率范圍內(nèi)，都可以簡(jiǎn)單得表示為冪率形式：

式（18）中，σ2為由隨機(jī)引力波背景引起的脈沖星計(jì)時(shí)殘差的方差。目前，Shannon等人利用PPTA的觀測(cè)數(shù)據(jù)將A限制為：A＜2.7× 10-15[17]。由式（16）～（18）我們可以得出，P（ ν）∝ν2α-3，σ2∝ν2α-2。下面我們只討論兩種背景引力波，即多個(gè)超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)引力波和暴漲產(chǎn)生的殘余引力波。為方便敘述，我們分別稱作I型引力波背景和II型引力波背景。對(duì)于I型背景，譜指數(shù)為α=-2/3；而II型背景，譜指數(shù)為α≈-1。下面我們以計(jì)時(shí)紅噪聲較小的脈沖星J1713+0747為例，在其觀測(cè)數(shù)據(jù)上加上模擬的背景引力波，分析它的計(jì)時(shí)殘差變化。根據(jù)PPTA釋放的數(shù)據(jù)，利用Tempo2可以擬合出J1713+0747的視差，得到其視差距離為1.12Kpc。在此給出兩種情況的擬合后方均根殘差。為更加明顯地展示引力波背景引起的計(jì)時(shí)殘差，我們把引力波的幅度比上限值提高一個(gè)量級(jí)，A=2× 10-14。引力波源數(shù)設(shè)定為1000，頻率范圍取為：下限νlow=0.01/Tspan，上限νlow=1/（1d），其中Tspan為數(shù)據(jù)總的時(shí)間跨度，1d代表一天。引力波譜指數(shù)分別取為α=-2/3和α=-1。如圖4所示，左列是擬合前的計(jì)時(shí)殘差，右列是擬合后的計(jì)時(shí)殘差；第1行為沒有引力波的情況，第2行為I型背景引力波，第3行為II型背景引力波。我們可以看到，在模擬參數(shù)和條件相同的情況下，不同引力波背景產(chǎn)生的計(jì)時(shí)殘差不同，與其譜指數(shù)有關(guān)。II型引力波背景比I型引力波背景產(chǎn)生的計(jì)時(shí)殘差要顯著許多。因此，在相同強(qiáng)度下和相同源數(shù)下，II型引力波背景更有希望被探測(cè)到。當(dāng)然，由于，ng為引力波源數(shù)，引力波引起的計(jì)時(shí)殘差的均方根會(huì)隨ng的增大而降低。從擬合前的計(jì)時(shí)殘差可以看出，引力波背景對(duì)脈沖星的視周期影響非常明顯，因?yàn)橛?jì)時(shí)殘差基本呈線性變化趨勢(shì)。擬合后的計(jì)時(shí)殘差呈現(xiàn)出類似低頻紅噪聲的特征。但多顆脈沖星的計(jì)時(shí)殘差會(huì)呈現(xiàn)出Hellings-Downs曲線的相關(guān)性。在這里我們不做討論了，詳細(xì)原理可參見文獻(xiàn)[18]。

圖4　引力波背景引起的脈沖星J1713+0747的計(jì)時(shí)殘差

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用脈沖星計(jì)時(shí)處理軟件Tempo2模擬了3種形式的引力波對(duì)脈沖星計(jì)時(shí)殘差的影響。單一持續(xù)引力波會(huì)在脈沖星計(jì)時(shí)噪聲中留下周期性正弦波信號(hào)（對(duì)圓軌道而言），單一瞬時(shí)引力波可瞬間改變脈沖星的視周期，而引力波背景會(huì)在脈沖星擬合后的計(jì)時(shí)殘差中呈現(xiàn)低頻紅噪聲的特征。由于不同形式的引力波在脈沖星計(jì)時(shí)殘差中表現(xiàn)出各自的特征，因此比較容易從計(jì)時(shí)殘差中分離出來(lái)，從而得到引力波源的物理特征和屬性。另一方面，從脈沖星時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)或者脈沖星深空自主導(dǎo)航來(lái)講，引力波卻是我們數(shù)據(jù)處理中的噪聲，這類似于脈沖星本身的計(jì)時(shí)紅噪聲，當(dāng)然，計(jì)時(shí)紅噪聲無(wú)相關(guān)性，但引力波有相關(guān)性。更加清楚地認(rèn)識(shí)并估計(jì)這些噪聲，有利于建立綜合脈沖星時(shí)間尺度，也有利于提高深空脈沖星導(dǎo)航的精度。因此研究計(jì)時(shí)噪聲本身是有重要意義的。

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Simulations and analyses of pulsar timing residuals induced by gravitational waves

TONG Ming-lei1，2，3，DING Yong-heng1，4，ZHAO Cheng-shi1，2，GAO Feng1，4，GAO Yu-ping1，2
（1.National Time Service Center，ChineseAcademy of Sciences，Xi′an 710600，China；2.Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standard，National Time Service Center，ChineseAcademy of Sciences，Xi′an 710600，China；3.Key Laboratory for Research in Galaxies and Cosmology，ChineseAcademy of Sciences，Hefei 230026，China；4.University of ChineseAcademy of Sciences，Beijing 100049，China）

In order to separate the pulsar timing residuals induced by gravitational waves（GWs）from the total pulsar timing residuals，we introduced three kinds of GWs（single continuous GWs，single instantaneous GWs and stochastic gravitational wave background）and their influences on pulsar timing residuals.Moreover，we did some simulations using the processing software Tempo2 for pulsar timing，and gave some analyses and comparisons for the pulsar timing residuals obtained from the three kinds of the simulated gravitational waves.This work is of some significance in the construction of pulsar time scale and their applications.

pulsar；gravitational wave；timing residual

TN966+.7

A

1674-0637（2015）01-0044-08

10.13875/j.issn.1674-0637.2015-01-0044-08

2014-12-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11103024，11373028，11403030）；中國(guó)科學(xué)院“西部之光”人才培養(yǎng)計(jì)劃西部博士資助項(xiàng)目（2011BS10）；中國(guó)科學(xué)院“西部之光”人才培養(yǎng)計(jì)劃西部聯(lián)合學(xué)者資助項(xiàng)目（2010LH02）；中國(guó)科學(xué)院星系宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目（14010205）

童明雷，男，博士，副研究員，主要從事脈沖星計(jì)時(shí)與應(yīng)用研究。